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1、第 2525 讲 圆的有关性质 【知识梳理】 知识点一：圆的概念及性质 1圆的概念 (1)在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 随之旋转所形 成的图形叫做圆固定的端点叫圆心，线段 OA 叫做半径； (2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合 2圆的对称性 (1)圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴； (2)圆是以圆心为对称中心的中心对称图形； (3)圆是旋转对称图形圆绕圆心旋转任意角度，都能和原来的图形重合这就是圆的旋 转不变性 重点： 圆的概念 难点： 圆的对称性 知识点二：垂径定理及其推论 1垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所
2、对的两条弧 2推论 (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； (2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； (3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 重点：垂径定理的。 难点：对其垂径定理推论的运用 知识点三：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 1定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心 距相等 2推论 同圆或等圆中：(1)两个圆心角相等；(2)两条弧相等；(3)两条弦相等；(4)两条弦的弦心 距相等四项中有一项成立，则其余对应的三项都成立 重点：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系。 难点：圆心角、弧、
3、弦、弦心距之间的关系。 知识点四：圆心角与圆周角 1 1概念：顶点在圆心上的角叫圆心角；顶点在圆上，角的两边和圆都相交的角叫圆周角 2性质 (1)圆心角的度数等于它所对弧的度数； (2)一条弧所对的圆周角的度数等于它所对圆心角的一半； (3)同弧或等弧所对的圆周角相等同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等； (4)半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径 重点：圆周角的定义。 难点：.圆周角性质的运用 知识点五：垂径定理的应用 用垂径定理进行计算或证明，常需作出圆心到弦的垂线段(即弦心距)，则垂足为弦的中点， 再利用解半径、弦心距和弦的一半组成的直角三角形来达到求解的目的 重
4、点：垂径定理的理解 难点：垂径定理的及其推论的运用。 【考点解析】 考点一：圆周角与圆心角的应用 【例题1 1】（20172017青海西宁）如图，四边形ABCD 内接于O，点E 在 BC 的延长线上，若BOD=120， 则DCE= 60 【考点】M6：圆内接四边形的性质；M5：圆周角定理 【分析】先根据圆周角定理求出A 的度数，再由圆内接四边形的性质即可得出结论 【解答】解：BOD=120， A= BOD=60 四边形 ABCD是圆内接四边形， DCE=A=60 故答案为：60 2 【例题 2 2】如图，圆 O 是 RtABC 的外接圆，ACB=90，A=25，过点 C 作圆 O 的切线， 交
5、 AB的延长线于点 D，则D 的度数是（ ） A25 B40 C50 D65 【考点】切线的性质；圆周角定理 【分析】首先连接 OC，由A=25，可求得BOC 的度数，由 CD 是圆 O 的切线，可得 OCCD， 继而求得答案 【解答】解：连接 OC， 圆 O 是 RtABC 的外接圆，ACB=90， AB 是直径， A=25， BOC=2A=50， CD 是圆 O 的切线， OCCD， D=90BOC=40 故选 B 考点二、垂径定理及应用 【例 3 3】如图，AB 为O 的直径，AB=6，AB弦 CD，垂足为 G，EF切O 于点 B，A=30， 连接 AD、OC、BC，下列结论不正确的是（
6、 ） 3 AEFCD BCOB 是等边三角形 CCG=DG D 的长为 【考点】弧长的计算；切线的性质 【分析】根据切线的性质定理和垂径定理判断 A；根据等边三角形的判定定理判断 B；根据垂 径定理判断 C；利用弧长公式计算出 的长判断 D 【解答】解：AB 为O 的直径，EF切O 于点 B， ABEF，又 ABCD， EFCD，A 正确； AB弦 CD， = ， COB=2A=60，又 OC=OD， COB 是等边三角形，B 正确； AB弦 CD， CG=DG，C 正确； 的长为： =，D 错误， 故选：D 【例题 4 4】如图，O 的半径为 4，ABC 是O 的内接三角形，连接 OB、OC
7、若BAC 与BOC 互补，则弦 BC的长为（ ） A3 B4 C5 D6 【考点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形 【分析】首先过点 O 作 ODBC 于 D，由垂径定理可得 BC=2BD，又由圆周角定理，可求得BOC 的度数，然后根据等腰三角形的性质，求得OBC 的度数，利用余弦函数，即可求得答案 【解答】解：过点 O 作 ODBC 于 D， 则 BC=2BD， 4 ABC 内接于O，BAC 与BOC 互补， BOC=2A，BOC+A=180， BOC=120， OB=OC， OBC=OCB= =30， O 的半径为 4， BD=OBcosOBC=4 =2 ， BC=4 故选：B 【中考热
8、点】 （20172017 浙江湖州）如图，已知在ABC 中，AB=AC以 AB 为直径作半圆 O，交 BC于点 D若 BAC=40，则 的度数是 140 度 【考点】M5：圆周角定理；KH：等腰三角形的性质 【分析】首先连接 AD，由等腰ABC中，AB=AC，以 AB 为直径的半圆交 BC于点 D，可得BAD= CAD=20，即可得ABD=70，继而求得AOD 的度数，则可求得 的度数 【解答】解：连接 AD、OD， AB 为直径， ADB=90， 即 ADBC， AB=AC， 5 BAD=CAD= BAC=20，BD=DC， ABD=70， AOD=140 的度数为 140； 故答案为 14
9、0 【达标检测】 一、 选择题： 1. （20172017 广东）如图，四边形 ABCD 内接于O，DA=DC，CBE=50，则DAC的大小为（ ） A130 B100 C65 D50 【考点】M6：圆内接四边形的性质 【分析】先根据补角的性质求出ABC的度数，再由圆内接四边形的性质求出ADC 的度数， 由等腰三角形的性质求得DAC 的度数 【解答】解：CBE=50， ABC=180CBE=18050=130， 四边形 ABCD为O 的内接四边形， D=180ABC=180130=50， DA=DC， DAC= =65， 故选 C 2. （20172017 贵州安顺）如图，O 的直径 AB=4
10、，BC切O 于点 B，OC 平行于弦 AD，OC=5，则 AD 6 的长为（ ） A B C D 【考点】T7：解直角三角形；JA：平行线的性质；M5：圆周角定理 【分析】首先由切线的性质得出OBBC，根据锐角三角函数的定义求出cosBOC的值；连接BD， 由直径所对的圆周角是直角，得出ADB=90，又由平行线的性质知A=BOC，则 cosA=cos BOC，在直角ABD中，由余弦的定义求出 AD的长 【解答】解：连接 BD AB 是直径，ADB=90 OCAD，A=BOC，cosA=cosBOC BC 切O 于点 B，OBBC， cosBOC= = ， cosA=cosBOC= 又cosA=
11、 ，AB=4， AD= 故选 B 3. (2017 湖北宜昌)如图，四边形 ABCD 内接O，AC平分BAD，则下列结论正确的是（ ） 7 AAB=AD BBC=CD C DBCA=DCA 【考点】M4：圆心角、弧、弦的关系 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对各选项进行逐一判断即可 【解答】解：A、ACB与ACD 的大小关系不确定，AB与 AD 不一定相等，故本选项错误； B、AC平分BAD，BAC=DAC，BC=CD，故本选项正确； C、ACB与ACD 的大小关系不确定， 与 不一定相等，故本选项错误； D、BCA与DCA 的大小关系不确定，故本选项错误 故选 B 4. （2017山东泰安）
12、如图，ABC内接于O，若A=，则OBC等于（ ） A1802 B2 C90+ D90 【考点】M5：圆周角定理 【分析】首先连接 OC，由圆周角定理，可求得BOC的度数，又由等腰三角形的性质，即可求 得OBC 的度数 【解答】解：连接 OC， ABC 内接于O，A=， BOC=2A=2， OB=OC， OBC=OCB= =90 故选 D 8 二、填空题： 5. （2017.2017.四川眉山）如图，AB 是O 的弦，半径 OCAB于点 D，且 AB=8cm，DC=2cm，则 OC= 5 cm 【考点】M2：垂径定理；KQ：勾股定理 【分析】连接 OA，根据垂径定理求出 AD，根据勾股定理 R2
13、=42+（R2）2，计算求出 R 即可 【解答】解：连接 OA， OCAB， AD= AB=4cm， 设O 的半径为 R， 由勾股定理得，OA2=AD2+OD2， R2=42+（R2）2， 解得 R=5 OC=5cm 故答案为 5 6. （20172017 青海西宁）如图，AB 是O 的直径，弦 CD 交 AB于点 P，AP=2，BP=6，APC=30， 则 CD的长为（ ） 9 【考点】M2：垂径定理；KO：含 30度角的直角三角形；KQ：勾股定理 【分析】作 OHCD于 H，连结 OC，如图，根据垂径定理由 OHCD 得到 HC=HD，再利用 AP=2，BP=6 可计算出半径 OA=4，则
14、 OP=OAAP=2，接着在 RtOPH中根据含 30度的直角三角形的性质计 算出 OH= OP=1，然后在 RtOHC中利用勾股定理计算出 CH= ，所以 CD=2CH=2 【解答】解：作 OHCD于 H，连结 OC，如图， OHCD， HC=HD， AP=2，BP=6， AB=8， OA=4， OP=OAAP=2， 在 RtOPH中，OPH=30， POH=30， OH= OP=1， 在 RtOHC中，OC=4，OH=1， CH= = ， CD=2CH=2 7. （2017湖北荆州）如图，A、B、C 是O 上的三点，且四边形 OABC 是菱形若点 D 是圆上 异于 A、B、C 的另一点，则
15、ADC 的度数是 60 或 120 10 【考点】M6：圆内接四边形的性质；L8：菱形的性质；M5：圆周角定理 【分析】连接 OB，则 AB=OA=OB 故可得出AOB 是等边三角形，所以ADC=60， ADC=120，据此可得出结论 【解答】解：连接 OB， 四边形 OABC是菱形， AB=OA=OB=BC， AOB 是等边三角形， ADC=60，ADC=120 故答案为：60或 120 8. （2017新疆）如图，O 的半径 OD垂直于弦 AB，垂足为点 C，连接 AO并延长交O 于点 E，连接 BE，CE若 AB=8，CD=2，则BCE的面积为（ ） 【考点】M5：圆周角定理；M2：垂径
16、定理 【分析】先根据垂径定理求出 AC 的长，再设 OA=r，则 OC=r2，在 RtAOC中利用勾股定理 求出 r 的值，再求出 BE的长，利用三角形的面积公式即可得出结论 【解答】解：O 的半径 OD 垂直于弦 AB，垂足为点 C，AB=8， AC=BC= AB=4 设 OA=r，则 OC=r2， 11 在 RtAOC中， AC2+OC2=OA2，即 42+（r2）2=r2，解得 r=5， AE=10， BE= = =6， BCE 的面积= BCBE= 46=12 【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键 三、解答题 9. 正方形 ABCD 内接于O，如图
17、所示，在劣弧 上取一点 E，连接 DE、BE，过点 D 作 DFBE 交O 于点 F，连接 BF、AF，且 AF 与 DE相交于点 G，求证： （1）四边形 EBFD 是矩形； （2）DG=BE 【考点】正方形的性质；矩形的判定；圆周角定理 【分析】（1）直接利用正方形的性质、圆周角定理结合平行线的性质得出BED=BAD=90， BFD=BCD=90，EDF=90，进而得出答案； （2）直接利用正方形的性质 的度数是 90，进而得出 BE=DF，则 BE=DG 【解答】证明：（1）正方形 ABCD 内接于O， BED=BAD=90，BFD=BCD=90， 又DFBE， EDF+BED=180，
18、 EDF=90， 四边形 EBFD是矩形； （2）正方形 ABCD 内接于O， 的度数是 90， AFD=45， 12 又GDF=90， DGF=DFC=45， DG=DF， 又在矩形 EBFD中，BE=DF， BE=DG 10. （20172017 广东）如图，AB 是O 的直径，AB=4 ，点 E 为线段 OB 上一点（不与 O，B 重 合 ），作 CEOB，交O 于点 C，垂足为点 E，作直径 CD，过点 C 的切线交 DB的延长线于点 P，AF PC 于点 F，连接 CB （1）求证：CB是ECP的平分线； （2）求证：CF=CE； （3）当 = 时，求劣弧 的长度（结果保留 ） 【考
19、点】S9：相似三角形的判定与性质；M2：垂径定理；MC：切线的性质；MN：弧长的计算 【分析】（1）根据等角的余角相等证明即可； （2）欲证明 CF=CE，只要证明ACFACE 即可； （3）作 BMPF 于 M则 CE=CM=CF，设 CE=CM=CF=4a，PC=4a，PM=a，利用相似三角形的性质求 出 BM，求出 tanBCM的值即可解决问题； 【解答】（1）证明：OC=OB， OCB=OBC， PF 是O 的切线，CEAB， OCP=CEB=90， PCB+OCB=90，BCE+OBC=90， BCE=BCP， BC 平分PCE 13 （2）证明：连接 AC AB 是直径， ACB=90， BCP+ACF=90，ACE+BCE=90， BCP=BCE， ACF=ACE， F=AEC=90，AC=AC， ACFACE， CF=CE （3）解：作 BMPF 于 M则 CE=CM=CF，设 CE=CM=CF=4a，PC=4a，PM=a， BMCPMB， = ， BM2=CMPM=3a2， BM= a， tanBCM= = ， BCM=30， OCB=OBC=BOC=60， 的长= = 14