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1、1.31.3 中国古代数学中的算法案例 (建议用时：45分钟) 学业达标 一、选择题 1.以下是利用更相减损之术求 114和 36的最大公约数的操作步骤： (114,36)(78,36)(42,36)(6,36)(6,30)(6,24)(6,18)(6,12)(6,6)，那 么 114和 36的最大公约数为( ) A.1 B.12 C.6 D.36 【解析】 由条件知最大公约数为 6. 【答案】 C 2.自然数 8 251和 6 105的最大公约数为( ) A.37 B.23 C.47 D.111 【解析】 利用更相减损之术可得它们的最大公约数为 37. 【答案】 A 3.用秦九韶算法计算多项
2、式 f(x)3x64x55x46x37x28x1 当 x0.4时的值时， 需要做乘法和加法的次数分别是( ) A.6,6 B.5,6 C.5,5 D.6,5 【解析】 秦九韶算法中需用加法和乘法的次数，由多项式的次数 n 可知，选 A. 【答案】 A 1 4.五次多项式 f(x)4x53x42x3x2x ，用秦九韶算法求 f(2)等于( ) 2 【导学号：00732031】 197 197 183 183 A. B. C. D. 2 2 2 2 1 【解析】 f(x)(4x3)x2)x1)x1)x ， 2 1 f(2)(4(2)3)(2)2)(2)1)(2)1)(2) 2 197 . 2 【答
3、案】 A 5.已知 f(x)x52x33x2x1，应用秦九韶算法计算 x3 时的值时，v3的值为( ) A.27 B.11 C.109 D.36 【解析】 将函数式化成如下形式， f(x)(x0)x2)x3)x1)x1， 由内向外依次计算： 1 v01， v11303， v233211， v3113336， v43631109， v510931328. 【答案】 D 二、填空题 6.用更相减损之术求 36和 134 的最大公约数，第一步应为_. 【导学号：00732032】 【解析】 第一步为较大的数减去较小的数. 【答案】 1343698 7.用秦九韶算法求多项式 f(x)7x55x410x
4、310x25x1 当 x2 时值的算法： 第一步，x2. 第二步，f(x)7x55x410x310x25x1. 第三步，输出 f(x). 第一步，x2. 第二步，f(x)(7x5)x10)x10)x5)x1. 第三步，输出 f(x). 需要计算 5 次乘法，5 次加法. 需要计算 9 次乘法，5 次加法. 以上说法中正确的是_(填序号). 【解析】 是直接求解，并不是秦九韶算法，故错.对于一元最高次数是 n 的多项式， 应用秦九韶算法需要运用 n 次乘法和 n 次加法，故正确. 【解析】 8.用秦九韶算法求多项式 f(x)15x10x210x35x4x5在 x2 的值时，v3的值为 _. 【解
5、析】 f(x)15x10x210x35x4x5 (x5x10x10)x5)x1， 在 x2 时，v1253，v223104， v34(2)102. 【答案】 2 三、解答题 9.用秦九韶算法求多项式 f(x)x62x53x44x35x26x 当 x2 时的值. 2 【解】 f(x)x62x53x44x35x26x (x2)x3)x4)x5)x6)x 所以有 v01； v11224； v242311； v3112426； v4262557； v55726120； v61202240. 故当 x2 时，多项式 f(x)x62x53x44x35x26x 的值为 240. 10.求三个数 168,54
6、,264 的最大公约数. 【 解 】 (168,54)(114,54)(60,54)(6,54)(6,48)(6,42) (6,36)(6,30)(6,24)(6,18)(6,12) (6,6)， 168 和 54的最大公约数为 6. (54,264)(210,54)(156,54)(102,54)(48,54)(48,6)(42,6)(6,6)， 54 和 264 的最大公约数为 6. 故 168,54,264的最大公约数为 6. 能力提升 1.下列哪组的最大公约数与 1 855,1 120 的最大公约数不同( ) A.1 120,735 B.385,350 C.385,735 D.1 85
7、5,325 【 解 析 】 (1 855,1 120)(735,1 120)(735,385)(350,385)(350,35) (315,35)(35,35)，1 855与 1 120的最大公约数是 35，由以上计算过程可知选 D. 【答案】 D 2.用秦九韶算法计算多项式 f(x)x612x560x4160x3240x2192x64，当 x2 时 的值为( ) A.10 B.40 C.0 D.32 【解析】 将 f(x)改写为 f(x)(x12)x60)x160)x240)x192)x64. 由内向外依次计算一次多项式当 x2 时的值 v01， v1121210， v21026040， v
8、340216080， 3 v480224080， v580219232， v6322640. f(2)0，即 x2 时，原多项式的值为 0. 【答案】 C 3 用秦九韶算法求函数 f(x)12xx23x32x4，当 x1 时的值时，v2 的结果是 _. 【解析】 此题的 n4，a42，a33，a21，a12，a01， 由秦九韶算法的递推关系式Error!(k1,2，n)， 得 v1v0xa32(1)35，v2v1xa25(1)16. 【答案】 6 4.有甲、乙、丙三种溶液分别重 147 g,343 g,133 g，现要将它们分别全部装入小瓶中，每 个小瓶装入液体的质量相同，每瓶最多装多少克溶液？ 【导学号：00732033】 【解】 每个小瓶装的溶液的质量应是三种溶液质量的最大公约数，先求 147和 343的最 大公约数.343147196,19614749,1474998,984949. 所以 147和 343的最大公约数为 49. 同理可求得 49与 133 的最大公约数为 7. 所以每瓶最多装 7 克. 4