《2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程章末分层突破学案新人教A版选修1_1201707192100.wps》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程章末分层突破学案新人教A版选修1_1201707192100.wps（19页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第二章 圆锥曲线与方程 自我校对 y2 x2 1(ab0) a2 b2 (0,1) 0，b0) a2 b2 (1， ) 1 圆锥曲线的定义与性质 对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要 的解题策略，如：(1)在求轨迹时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的 方程，写出所求的轨迹方程；(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题时， 常用定义结合解三角形的知识来解决；(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦 点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决.总之，圆锥曲线的定义、 性质在解题中有重要作用，要注意
2、灵活运用. x2 y2 (1)F1，F2是椭圆 1(ab0)的两焦点，P是椭圆上任一点，从任一焦点引 a2 b2 F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为 Q，则点 Q的轨迹为( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 x2 y2 (2)椭圆 1(a为定值，且 a 5)的左焦点为 F，直 线 xm与椭圆相交于点 A、B，FAB a2 5 的周长的最大值是 12，则该椭圆的离心率是_. 【规范解答】 (1)延长垂线 F1Q交 F2P的延长线于点 A，如图所示，则APF1是等腰三角形，|PF1| |AP|，从而|AF2|AP|PF2|PF1|PF2|2a.由题意知 O是 F1F2 1 的中点，
3、Q是 AF1 的中点，连接 OQ，则|OQ| |AF2|a. 2 Q点的轨迹是以原点 O为圆心，半径为 a的圆.故选 A. 2 (2)设椭圆的另一个焦点为 F则，FAB 的周长|FA|AB|FB|FA|FA|FB| a25 2 |FB|4a，所以 4a12，a3，e . a 3 2 【答案】 (1)A (2) 3 1.圆锥曲线的定义是推导标准方程和几何性质的基础，也是解题的重要工具，灵活运用定 义，可避免很多复杂的计算，提高解题效率，因此在解决圆锥曲线的有关问题时，要有运用圆 “”锥曲线定义解题的意识， 回归定义 是一种重要的解题策略. 2.应用圆锥曲线的性质时，要注意与数形结合、方程等思想结
4、合运用. 再练一题 x2 y2 1.(1)已知双曲线 1，直线 l 过其左焦点 F1，交双曲线左支于 A，B 两点，且|AB| m 7 4，F2为双曲线的右焦点，ABF2的周长为 20，则 m 的值为( ) A.8 B.9 C.16 D.20 (2)如图 21 所示，动圆 P 与定圆 C：(x1)2y21 外切且与 y 轴相切，则圆心 P 的轨迹 为_. 【导学号：97792032】 图 21 【解析】 (1)由双曲线的定义可知， |AF2|AF1|2 m，|BF2|BF1|2 m， 所以(|AF2|BF2|)(|AF1|BF1|)4 m， |AF2|BF2|AB|4 m， |AF2|BF2|
5、44 m. 又|AF2|BF2|AB|20， 即 44 m420，所以 m9.故选 B. 3 (2)设 P(x，y)，动圆 P的半径为 r. 两圆外切，PCr1. 又圆 P与 y轴相切，r|x|(x0)， 即 x12y2|x|1， 整理得 y22(|x|x). 当 x0 时，得 y24x；当 x0 时，得 y0. 点 P的轨迹方程是 y24x(x0)或 y0(x0)，表示一条抛物线(除去顶点)或 x轴的 负半轴. 【答案】 (1)B (2)一条抛物线(除去顶点)或 x轴的负半轴 直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线一般有三种位置关系：相交、相切和相离. 把直线方程与圆锥曲线方程联立成方程组
6、，消去一个变量后，转化为一元二次方程 ax2bx c0.当 a0 时，若 0，直线与圆锥曲线相交，有两个不同的公共点；若 0，直线与 圆锥曲线相切，有一个公共点；若 b0)的离心率 e ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面 a2 b2 2 积为 4. (1)求椭圆的方程； (2)设直线 l与椭圆相交于不同的两点 A，B，已知点 A的坐标为(a,0). 4 2 若|AB| ，求直线 l的倾斜角； 5 若点 Q(0，y0)在线段 AB的垂直平分线上，且QAQ B4，求 y0的值. 【精彩点拨】 (1)建立关于 a，b的方程组求出 a，b；(2)构造新方程，综合运用两点间 的距离公式、平面向量等知识求
7、解. c 3 【规范解答】 (1)由 e ，得 3a24c2. a 2 由 c2a2b2，得 a2b. 1 由题意，知 2a2b4，即 ab2. 2 解方程组Error!得Error! x2 所以椭 圆的方程为 y21. 4 (2)由(1)知，点 A的坐标是(2,0)，设点 B的坐标为(x1，y1)，直线 l的斜率为 k，则直 4 线 l的方程为 yk(x2). 于是 A，B两点的坐标满足方程组Error! 消去 y并整理，得(14k2)x216k2x(16k24)0. 16k24 28k2 4k 由2x1 ，得 x1 ，从而 y1 . 14k2 14k2 14k2 28k2 4k 4 1k2
8、 所以|AB| (2 . 14k2)2(014k2)2 14k2 4 2 4 1k2 4 2 由|AB| ，得 . 5 14k2 5 整理，得 32k49k2230，即(k21)(32k223)0， 解得 k1. 3 所以直线 l的倾斜角为 或 . 4 4 设线段 AB的中点为 M， 8k2 2k 则点 M的坐标为( . ，14k2) 14k2 以下分两种情况： a.当 k0 时，点 B的坐标是(2,0)，线段 AB的垂直平分线为 y轴，于是QA(2，y0)， Q B(2，y0). 由QAQ B4，得 y02 . 2 b.当 k0 时，线段 AB的垂直平分线方程为 2k 1 8k2 y k(x
9、14k2). 14k2 6k 令 x0，解得 y0 . 14k2 Q A(2，y0)， Q B(x1，y1y0)， Q AQ B2x1y0(y1y0) 16k24 6k 4k 6k 14k2( 14k2) 14k2 14k2 416k415k21 4， 14k22 14 整理，得 7k22，故 k . 7 2 14 所以 y0 . 5 5 2 14 综上，y02 2或 y0 . 5 直线与圆锥曲线的位置关系问题是高考的热点，解题时要注意掌握一些基本的解题规律和 技巧，如在研究直线与圆锥曲线的公共点个数问题时，不要仅由判别式 来进行判断，还要 注意二次项系数是否为 0；涉及弦长问题时，利用弦长公
10、式及根与系数的关系求解，而对于焦 点弦问题，则结合圆锥曲线的定义求解；解决有关中点弦问题时常常运用“”点差法 使运算过 程得以简化. 再练一题 x2 y2 6 2.已知椭圆 G： 1(ab0)的离心率为 ，右焦点为(2 2，0).斜率为 1 的直线 l a2 b2 3 与椭圆 G 交于 A，B 两点，以 AB 为底边作等腰三角形，顶点为 P(3,2). (1)求椭圆 G 的方程； (2)求PAB 的面积. 【导学号：97792033】 c 6 【解】 (1)由已知得，c2 2， . a 3 解得 a2 3. 又 b2a2c24， x2 y2 所以椭圆 G 的方程为 1. 12 4 (2)设直线
11、 l 的方程为 yxm， 由Error!得 4x26mx3m2120. 设 A，B 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1x2)，AB 中点为 E(x0，y0)，则 x1x2 3m m x0 ，y0x0m ， 2 4 4 因为 AB 是等腰PAB 的底边， 所以 PEAB. m 2 4 所以 PE 的斜率 k 1，解得 m2， 3m 3 4 此时方程为 4x212x0. 解得 x13，x20. 所以 y11，y22. 6 所以|AB|3 2. |322| 3 2 此时，点 P(3,2)到直线 AB：xy20 的距离 d ， 2 2 1 9 所以PAB的面积 S |AB|d . 2 2
12、 圆锥曲线中的定点、定值、最值问题 “”圆锥曲线中的定点、定值问题往往与圆锥曲线中的 常数 有关，如椭圆的长轴、短轴， 双曲线的虚轴、实轴，抛物线的焦点等，解决此类问题的主要方法是通过研究直线与曲线的位 置关系，把所给问题进行化简，通过计算获得答案；或是从特殊位置出发，确定定值，然后给 出一般情况的证明. 圆锥曲线中的最值问题，通常有两类：一类是有关长度、面积等最值问题；一类是圆锥曲 线中有关几何元素的最值问题，这两类问题的解决往往通过回归定义，结合几何知识，建立目 标函数，利用函数的性质或不等式知识，以及数形结合、设参、转化、代换等途径来解决. x2 y2 如图 22 所示，椭圆 C： 1(
13、ab0)，A1、A2为椭圆 C的左、右顶点. a2 b2 图 22 (1)设 F1为椭圆 C的左焦点，证明：当且仅当椭圆 C上的点 P在椭圆的左、右顶点时，|PF1| 取得最小值与最大值； (2)若椭圆 C上的点到焦点距离的最大值为 3，最小值为 1，求椭圆 C的标准方程； (3)若直线 l：ykxm与(2)中所述椭圆 C相交于 A、B两点(A、B不是左、右顶点)，且 满足 AA2BA2，求证：直线 l过定点，并求出该定点的坐标. 【精彩点拨】 (1)利用函数法，设 P(x，y)，将|PF1|表示为 x的函数. (3)利用 AA2BA2得 k，m的等量关系，从而将直线 l化为只含参数 k(或
14、m)的形式. 【规范解答】 (1)证明：设点 P的坐标为(x，y)， 令 f(x)|PF1|2(xc)2y2. x2 y2 又点 P在椭圆 C上，故满足 1， a2 b2 b2 则 y2b2 x2. a2 代入 f(x)得， b2 c2 f(x)(xc)2b2 x2 x22cxa2， a2 a2 7 a2 则 其对称轴方程为 x ， c a2 由题意，知 a 恒成立， c f(x)在区间a，a上单调递增. 当且仅当椭圆 C 上的点 P 在椭圆的左、右顶点时|PF1|取得最小值与最大值. (2)由已知与(1)得：ac3，ac1， a2，c1. b2a2c23. x2 y2 椭圆 C 的标准方程为
15、 1. 4 3 (3)证明：如图所示， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立Error! 得(34k2)x28mkx4(m23)0， 则 64m2k216(34k2)(m23)0， 即 34k2m20， 8mk 4m23 x1x2 ，x1x2 . 34k2 34k2 又 y1y2(kx1m)(kx2m) k2x1x2mk(x1x2)m2 3m24k2 . 34k2 椭圆的右顶点为 A2(2,0)，AA2BA2， (x12)(x22)y1y20. y1y2x1x22(x1x2)40. 3m24k2 4m23 16mk 40. 34k2 34k2 34k2 7m216km4k20， 2k
16、 解得 m12k，m2 ， 7 且均满足 34k2m20. 当 m12k 时，l 的方程为 yk(x2)， 8 直线过定点(2,0)，与已知矛盾. 2k 2 2 当 m2 时，l 的方程为 yk ，直线过定点 ，0 )， 7 (x7 ) ( 7 2 直线 l 过定点，定点坐标为(，0 ). 7 解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似，一般有两种方法： 1函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解. 2不等式法：根据题意建立含参数的不等关系式，通过解不等式求参数范围. 再练一题 3.求抛物线 yx2上的点到直线 4x3y80 的最小距离. 【解】 法一 设 P(t
17、，t2)为抛物线上的点， 它到直线 4x3y80 的距离 |4t3t28| |3t24t8| d 5 5 1 2 4 5|3(t3 ) 2 8| 3 1 2 20 2 5|3(t3 ) 3| 3 2 4 5(t3 ) 2 . 3 2 4 当 t 时，d 有最小值，最小值为 . 3 3 法二 如图所示，设与直线 4x3y80 平行的抛物线的切线方程为 4x3ym0， 则有方程组Error! 消去 y 得 3x24xm0， 1612m0， 4 m . 3 9 4 20 | |83| | 3 4 最小距离为 . 5 5 3 1 1.直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其
18、短轴长的 ，则该 4 椭圆的离心率为( ) 1 1 2 3 A. B. C. D. 3 2 3 4 【解析】 不妨设直线 l 过椭圆的上顶点(0，b)和左焦点(c,0)，b0，c0，则直线 l bc 1 c2 的方程为 bxcybc0，由已知得 2b，解得 b23c2，又 b2a2c2，所以 b2c2 4 a2 1 1 1 ，即 e2 ，e . 4 4 2 【答案】 B k 2.设 F 为抛物线 C：y24x 的焦点，曲线 y (k0)与 C 交于点 P，PFx 轴，则 k( ) x 1 3 A. B.1 C. D.2 2 2 【解析】 易知抛物线焦点为 F(1,0)，设 P(x0，y0)，由
19、 PFx 轴可得 x01，代入 y24x k 得 y02，把 P(1,2)代入 y 得 k2. x 【答案】 D x2 y2 3.已知椭圆 1(m0)的左焦点为 F1(4,0)，则 m( ) 25 m2 A.2 B.3 C.4 D.9 【解析】 由左焦点为 F1(4,0)知 c4.又 a5，25m216，解得 m3 或3.又 m0，故 m3. 【答案】 B 4.已知抛物线 y22px(p0)的准线经过点(1,1)，则该抛物线焦点坐标为( ) A.(1,0) B.(1,0) C.(0，1) D.(0,1) p p 【解析】 抛物线 y22px(p0)的准线为 x 且过点(1,1)，故 1，解得
20、p2. 2 2 所以抛物线的焦点坐标为(1,0). 【答案】 B 10 x2 y2 5.已知双曲线 1(a0，b0)的一个焦点为 F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x2)2 a2 b2 y23 相切，则双曲线的方程为( ) x2 y2 x2 y2 A. 1 B. 1 9 13 13 9 x2 y2 C. y21 D.x2 1 3 3 b 【解析】 由双曲线的渐近线 y x 与圆(x2)2y23 相切可知 a Error!解得Error! y2 故所 求双曲线的方程为 x2 1. 3 【答案】 D 1 6.已知椭圆 E 的中心在坐标原点，离心率为 ，E 的右焦点与抛物线 C：y28x 的焦点重
21、合， 2 A，B 是 C 的准线与 E 的两个交点，则|AB|( ) A.3 B.6 C.9 D.12 【解析】 抛物线 y28x 的焦点为(2,0)，椭圆中 c2， c 1 又 ，a4，b2a2c212， a 2 x2 y2 从而椭圆方程为 1. 16 12 抛物线 y28x 的准线为 x2， xAxB2， 将 xA2 代入椭圆方程可得|yA|3， 由图象可知|AB|2|yA|6.故选 B. 【答案】 B x2 y2 7.已知双曲线 1(a0，b0)的一条渐近线为 2xy0，一个焦点为( 5，0)，则 a a2 b2 _，b_. b 【解析】 由题意知，渐近线方程为 y2x，故 2，由 c
22、5，c2a2b2可得 b2， a a1. 【答案】 1 2 y2 8.设双曲线 x2 1 的左、右焦点分别为 F1，F2.若点 P 在双曲线上，且F1PF2为锐角 3 三角形，则|PF1|PF2|的取值范围是_. y2 【解析】 双曲线 x2 1 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在双曲线上，|F1F2| 3 11 4，|PF1|PF2|2.若F1PF2为锐角三角形，则由余弦定理知|PF1|2|PF2|2160，可化 为(|PF1| |PF2|)2 2|PF1|PF2|16. 由|PF1| |PF2| 2 ，得(|PF1| |PF2|)2 |PF1|PF2|24 4|PF1|PF2|4.故 2|PF1|PF2| ，代入不等式可得(|PF1|PF2|)228， 2 解得|PF1|PF2|2 7.不妨设 P 在左支上， |PF1|216|PF2|20，即(|PF1|PF2|)(|PF1|PF2|)16，又|PF1|PF2| 2，|PF1|PF2|8.故 2 7|PF1|PF2|8. 【答案】 (2 7，8) 12