《2018版高中数学第二章统计2.2.1用样本的频率分布估计总体的分布学案新人教B版必修3201707.wps》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高中数学第二章统计2.2.1用样本的频率分布估计总体的分布学案新人教B版必修3201707.wps（11页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2.2.12.2.1 用样本的频率分布估计总体的分布 1.理解用样本的频率分布估计总体的分布的方法. 2.会列频率分布表，画频率分布直方图、频率分布折线图、茎叶图.(重点) 3.能够利用频率分布直方图和茎叶图解决实际问题.(难点) 基础初探 教材整理 1 频率分布表及频率分布直方图 阅读教材 P58P61，完成下列问题. 1.频率分布表、频率分布直方图的编制步骤 (1)计算极差(全距)； (2)决定组数与组距； (3)决定分点； (4)列频率分布表； (5)绘制频率分布直方图. 2.频率分布直方图 3.频率分布折线图、总体密度曲线 (1)频率分布折线图的定义： 把频率分布直方图各个小长方形上边
2、的中点用线段连接起来，就得到频率分布折线图. (2)总体密度曲线： 如果样本容量不断增大，分组的组距不断缩小，则频率分布直方图实际上越来越接近于总 体的分布，它可以用一条光滑曲线 yf(x)来描绘，这条光滑曲线就叫做总体密度曲线. 1.一个容量为 80的样本中，数据的最大值为 152，最小值为 60，组距为 10，应将样本数 据分为( ) 1 A.10 组 B.9组 C.8 组 D.7组 15260 【解析】 由题意可知， 9.2，故应将数据分为 10组. 10 【答案】 A 2.从一群学生中抽取一个一定容量的样本，对他们的学习成绩进行分析.已知不超过 80 分 的为 10人，其累积频率为 0
3、.5，则样本容量是( ) A.20 B.40 C.80 D.60 10 【解析】 样本容量 20. 0.5 【答案】 A 教材整理 2 茎叶图 阅读教材 P62P63，完成下列问题. 茎叶图 1.判断(“正确的打”“，错误的打 ”) (1)样本容量越大，估计的越准确.( ) (2)频率分布直方图的纵轴表示频率.( ) (3)茎叶图不能增加数据.( ) 【答案】 (1) (2) (3) 2.如图 221 是一个班的语文成绩的茎叶图(单位：分)，则优秀率(90 分以上)是 _，最低分是_. 5 1 5 6 0 3 4 4 6 7 8 8 9 2 7 3 5 5 5 6 7 9 8 0 2 3 3
4、5 7 9 1 图 221 1 【解析】 由 茎叶图知，样本容量为 25,90分以上的有 1 人，故优秀率为 4%，最低分 25 为 51分. 【答案】 4% 51 小组合作型 频率分布直方图的绘制 某省为了了解和掌握 2016年高考考生的实际答卷情况，随机地取出了 100名考生 的数学成绩，数据如下：(单位：分) 135 98 102 110 99 121 110 96 100 103 125 97 117 113 110 92 102 109 104 112 105 124 87 131 97 102 123 104 104 128 109 123 111 103 105 92 114 1
5、08 104 102 129 126 97 100 115 111 106 117 104 109 111 89 110 121 80 120 121 104 108 118 129 99 90 99 121 123 107 111 91 100 99 101 116 97 102 108 101 95 107 101 102 108 117 99 118 106 119 97 126 108 123 119 98 121 101 113 102 103 104 108 (1)列出频率分布表； (2)画出频率分布直方图和折线图； (3)估计该省考生数学成绩在100,120)分之间的比例. 【精
6、彩点拨】 先求极差.根据极差与数据个数确定组距、组数，然后按频率分布直方图 的画法绘制图形. 【尝试解答】 100 个数据中，最大值为 135，最小值为 80，极差为 1358055.取组距 55 为 5，则组数为 11. 5 (1)频率分布表如下： 3 分组 频数 频率 频率/组距 80,85) 1 0.01 0.002 85,90) 2 0.02 0.004 90,95) 4 0.04 0.008 95,100) 14 0.14 0.028 100,105) 24 0.24 0.048 105,110) 15 0.15 0.030 110,115) 12 0.12 0.024 115,12
7、0) 9 0.09 0.018 120,125) 11 0.11 0.022 125,130) 6 0.06 0.012 130,135 2 0.02 0.004 合计 100 1 0.2 注：表中加上“频率/组距”一列，这是为画频率分布直方图准备的，因为它是频率分布 直方图的纵坐标. (2)根据频率分布表中的有关信息画出频率分布直方图及折线图，如图所示： (3)从频率分布表中可知，这 100名考生的数学成绩在100,120)分之间的频率为 0.24 0.150.120.090.60，据此估计该省考生数学成绩在100,120)分之间的比例为 60%.(0.60 60%) 1.在列频率分布表时，
8、极差、组距、组数有如下关系： 极差 极差 (1)若 为整数，则 组数； 组距 组距 极差 极差 (2)若 不为整数，则 的整数部分1组数. 组距 组距 2.组距和组数的确定没有固定的标准，将数据分组时，组数力求合适，使数据的分布规律 能较清楚地呈现出来，组数太多或太少都会影响了解数据的分布情况，若样本容量不超过 100， 按照数据的多少常分为 512 组，一般样本容量越大，所分组数越多. 再练一题 1.有一容量为 200的样本，数据的分组以及各组的频数如下： 4 20，15)，7；15，10)，11；10，5)，15；5,0)，40； 0,5)，49；5,10)，41；10,15)，20；15
9、,20，17. (1)列出样本的频率分布表； (2)画出频率分布直方图和频率分布折线图； (3)求样本数据不足 0 的频率. 【解】 (1)频率分布表如下： 分组 频数 频率 20，15) 7 0.035 15，10) 11 0.055 10，5) 15 0.075 5,0) 40 0.2 0,5) 49 0.245 5,10) 41 0.205 10,15) 20 0.1 15,20 17 0.085 合计 200 1.00 (2)频率分布直方图和频率分布折线图如图所示： (3)样本数据不足 0 的频率为： 0.0350.0550.0750.20.365. 频率分布直方图的应用 某校在 5
10、月份开展了科技月活动.在活动中某班举行了小制作评比，规定作品上交 的时间为 5 月 1 日到 31日，逾期不得参加评比.评委会把同学们上交作品的件数按 5 天一组分 组 统 计 ， 绘 制 了 频 率 分 布 直 方 图 ( 如 图 222). 已 知 从 左 到 右 各 长 方 形 的 高 的 比 为 234641，第三组的频数为 12，请解答下列问题： 5 图 222 (1)本次活动共有多少件作品参加评比？ (2)哪组上交的作品数最多，有多少件？ (3)经过评比，第四组和第六组分别有 10 件、2 件作品获奖，问这两组哪组获奖率较高？ 【导学号：00732053】 【精彩点拨】 (1)根据
11、条件：从左到右各长方形的高的比为 234641，第三组 的频数为 12，计算参加评比的作品总数；(2)根据频率分布直方图判断哪组上交的作品最多， 再由本组的频率计算频数；(3)先分别由第四组和第六组的频率计算该组的频数，再计算获奖 率. 【尝试解答】 (1)设从左到右各长方形的高分别为 2x,3x,4x,6x,4x，x.设参加评比的作 品总数为 a 件， 12 3 依题意得：4x5 ，x ， a 5a 满足(2x3x4x6x4xx)51. 解得 a60(件). (2)由频率分布直方图可以看出第四组上交的作品数量最多，共有 6x5a18(件). (3)第四组和第六组上交的作品数分别为：18件，x
12、5a3(件)，则它们的获奖率分别 10 5 2 5 2 为： ； ，又 ，所以第六组的获奖率较高. 18 9 3 9 3 1.频率分布直方图的性质： (1)因为小矩形的面积组距频率/组距频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频 率.这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小； (2)在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于 1； (3)频数/相应的频率样本容量. 2.频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性，由抽样的代表性利用样本在某 一范围内的频率，可近似地估计总体在这一范围内的可能性. 再练一题 2.某工厂对一批产品进行了抽样检测.如图 223 是根据抽
13、样检测后的产品净重(单 位：克) 数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是96,106，样本数据分组为96,98)， 98,100)，100,102)，102,104)，104,106.已知样本中产品净重小于 100克的个数是 36， 则样本中净重大于或等于 98克并且小于 104 克的产品的个数是( ) 6 图 223 A.90 B.75 C.60 D.45 【解析】 产品净重小于 100克的频率为(0.0500.100)20.300，已知样本中产品净 36 重小于 100克的个数是 36，设样本容量为 n，则 0.300，所以 n120，净重大于或等于 98 n 克并且小于 104克
14、的产品的个数是 120(0.10.150.125)290. 【答案】 A 茎叶图及其应用 某中学高二(2)班甲、乙两名学生自进入高中以来，每次数学考试成绩情况如下： 甲：95,81,75,91,86,89,71,65,76,88,94,110,107. 乙：83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,78,106,101. 画出两人数学成绩的茎叶图，并根据茎叶图对两人的成绩进行比较. 【精彩点拨】 题中可用十位数字为茎，个位数字为叶作茎叶图，然后根据茎叶图分析两 人成绩. 【尝试解答】 甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图所示： 从这个茎叶图上可以看出，乙同学的得分情况是大致对称
15、的，中位数是 98；甲同学的得分 情况，也大致对称，中位数是 88.乙同学的成绩比较稳定，总体情况比甲同学好. 1.绘制茎叶图的关键是分清茎和叶，如本题中数据是两位数，十位数字为“茎”，个位数 字为“叶”；如果是小数时，通常把整数部分作为“茎”，小数部分作为“叶”，解题时要根据 数据的特点合理选择茎和叶. 2.利用茎叶图进行数据分析时，一般从数据分布的对称性、中位数、稳定性等几个方面来 7 考虑. 再练一题 3.如图 224 是 2016年青年歌手大奖赛中七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶 图(图中 m为数字 09 中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的 平均数分
16、别为 a1，a2，则一定有( ) 图 224 A.a1a2 B.a2a1 C.a1a2 D.a1，a2的大小与 m的值有关 【解析】 根据茎叶图可知，去掉一个最高分和一个最低分后，甲的平均分为 a180 54551 44647 84，乙的平均分为 a280 85，故 a2a1. 5 5 【答案】 B 探究共研型 频率分布直方图的特征 探究 1 频率分布表和频率分布直方图有哪些特征？ 【提示】 频率分布表和频率分布直方图有以下特征： (1)频率分布表中的数字和频率分布直方图的形状都与分组数有关. 分组数的变化引起频率分布表和频率分布直方图的结构变化. (2)随机性.频率分布表和频率分布直方图由样
17、本决定，因此它们会随着样本的改变而改变. (3)规律性.若固定分组数，随着样本容量的增加，频率分布表中各个频率会稳定在某个值 的附近，从而频率分布直方图中的各个矩形的高度也会稳定在特定的值上. 探究 2 画频率分布直方图时，如何确定组距？ 【提示】 组距的选择应力求“取整”，如果极差不利于分组(如不能被组数整除)，可适 当增大极差，如在左、右两端各增加适当范围(尽量使两端增加的量相同). 探究 3 影响频率分布直方图的因素有哪些？ 【提示】 同样一组数据，如果组距不同，横轴、纵轴的单位不同，得到的图的形状也会 不同，不同的形状给我们的印象也不同，这种印象有时会影响我们对总体的判断；同一个总体，
18、 由于抽样的随机性，如果随机抽取另外一个容量相同的样本，所形成的样本频率分布一般会与 8 前一个的样本频率分布有所不同，但是，它们都可以近似地看作总体的分布. 探究 4 频率分布表和频率分布直方图有什么优缺点？ 【提示】 (1)频率分布表反映具体数据在各个不同区间的取值频率，但不够直观、形象， 对分析数据分布的总体态势不太方便. (2)频率分布直方图能够直观地表明数据分布的形状，一般呈中间高、两端低、左右对称 的“峰”状结构.但是从直方图本身得不到具体的数据内容，也就是说，把数据表示成直方图 后，原始数据不能在图中表示出来. 茎叶图的特征 探究 5 画茎叶图时，重复出现的数据只记录一次吗？ 【
19、提示】 不是.绘制茎叶图时，重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，特别是“叶” 位置的数据.同一数据出现几次，就要在图中体现几次. 探究 6 什么情况下适合用茎叶图？ 【提示】 (1)对于样本数据较少，但较为集中的一组数据：若数据是两位整数，则将十 位数字作茎，个位数字作叶；若数据是三位整数，则将百位、十位数字作茎，个位数字作叶. 样本数据为小数时作类似处理. (2)对于样本数据较少，但较为集中的两组数据，关键是找到两组数据共有的茎. 中小学生的视力状况受到社会的广泛关注，某市有关部门从全市 6 万名高一学生 中随机抽取了 400名，对他们的视力状况进行一次调查统计，将所得到的有关数据绘制成频率
20、 分布直方图，如图 225 所示.从左至右五个小组的频率之比依次是 5712106，则全市 高一学生视力在3.95,4.25)范围内的学生人数约有_. 图 225 【精彩点拨】 1.注重对图形的观察： 图表试题解题三个步骤：一观、二识、三解，做到观图要细、识图要全、解图要准.如本 例中，要从频率分布直方图中看出组距，求出第五组的频率. 2.重视对直方图性质的理解和应用： 频率 频率 在频率分布直方图中，小长方形的高 ，小长方形的面积 组距频率.如本 组距 组距 例中，0.50.30.15 才是第五个小组的频率. 【尝试解答】 由图知，第五小组的频率为 0.50.30.15，所以第一小组的频率为
21、 9 5 0.15 0.125 ，所以全市 6 万名高一学生中视力在3.95,4.25) 范围内的学生约有 60 6 0000.1257 500(人). 【答案】 7 500 人 再练一题 4.某公司为了改善职工的出行条件，随机抽取 100 名职工，调查了他们的居住地与公司间 的距离 d(单 位：km).由其数据绘制的频率分布直方图如图 226 所示，则样本中职工居住地与 公司间的距离不超过 4 km的人数为_. 图 226 【解析】 不超过 4 km的频率为(0.10.14)20.48，故样本中职工居住地与公司间的 距离不超过 4 km的人数有 0.4810048(人). 【答案】 48 1
22、.一个容量为 20的样本数据，分组及各组的频数如下： 10,20)，2；20,30)，3；30,40)，4；40,50)，5；50,60)，4；60,70，2，则样本 在区间20,60)上的频率是( ) A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8 3454 16 4 【解析】 频率 0.8. 234542 20 5 【答案】 D 2.一个容量为 32的样本，已知某组样本的频率为 0.125，则该组样本的频数为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 频数 【解析】 频率 ，则频数频率样本容量0.125324. 样本容量 【答案】 B 3.如图 227 是某公司 10个销售店某月销售某产品数量
23、(单位：台)的茎叶图，则数据落 10 在区间22,30)内的频率为( ) 图 227 A.0.2 B.0.4 C.0.5 D.0.6 【解析】 数据总个数 n10， 又落在区间22,30)内的数据个数为 4， 4 所求的频率 为 0.4，故选 B. 10 【答案】 B 4.将容量为 n的样本中的数据分成 6 组，绘制频率分布直方图.若第一组至第六组数据的 频率之比为 234641，且前三组数据的频数之和等于 27，则 n等于_. 【导学号：00732054】 【解析】 设第一组至第六组的样本数据的频数为2x,3x,4x,6x,4x，x，则2x3x4x27， 得 x3. 故 n20x60. 【答案】 60 5.某班 50名同学参加数学测验，成绩的分组及各组的频数如下： 40,50)，2；50,60)，3；60,70)，10；70,80)，15；80,90)，12；90,100，8. (1)列出样本的频率分布表； (2)画出频率分布直方图. 【解】 (1)频率分布表如下： 分组 频数 频率 40,50) 2 0.04 50,60) 3 0.06 60,70) 10 0.2 70,80) 15 0.3 80,90) 12 0.24 90,100 8 0.16 (2)频率分布直方图如下： 11