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1、广东省普宁市第二中学等七校联合体 20192019届高三数学冲刺模拟试题 文 第 I 卷 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，共 60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合的） 1已知集合 A 2 15 0， B x 0 x 7，则 A U B 等于（ ） x x2 x A 3,7 B 3,7 C 5,7 D 5,7 2.已知复数与为共轭复数，其中，为虚数单位， 则（ ） A. 1 B. C. D. 3.如图给出的是某小区居民一段时间内访问网站的比例图，则下列选项中不超过 21%的为 （ ） A.腾讯与百度的访问量所占比例之和 B.网易与捜狗的访问量所占比例之和 C.淘宝与论坛的
2、访问量所占比例之和 D.新浪与小说的访问量所占比例之和 , ( sin 2 5 2 4.若 , ) ,且 , ,则 （ ） cos sin( ) 2 5 2 3 10 3 10 10 A B C D - - 10 10 10 10 10 5.函数，则函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 6运行如图所示的程序框图，则输出的结果 S 为（ ） 3 A B C0 D 1 1 2 2 7等比数列a 的各项均为正数， n - 1 - 已知向量 a（a4 ,a5 ) ，b（a7 ,a6 ) ，且 a b 4， 则 log a a a 2 log log 1 2 2 2 10 A. 12 B
3、. 10 C. 5 D. 2 log2 5 8“”七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为 东方模板 ，它是由五块等腰直角三角 形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的如图是一个七巧板拼成的正方形，若在此 正方形中任取一点，则此点在阴影部分的概率是( ) 9 5 3 7 A. B. C. D. 32 16 8 16 9.九章算术中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称 “”之为 阳马 . 现有一阳马， 其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体 积为（） A. B. C. D. 10.若双曲线 （，）的一条渐近线 被圆所截得的弦长为 2，则
4、的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 11.函数在点处的切线斜率为，则的最小值是（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 12.对于函数 f(x)和 g(x)，设 x|f(x)0，x|g(x)0，若存在 ，使得| |1，则称 f(x)与 g(x)互为“”零点相邻函数 若函数 f(x)ex1x2 与 g(x)x2ax a3“”互为 零点相邻函数 ，则实数 a的取值范围是( ) 7 7 A2,4 B.2，3 C.，3 D2,3 3 第 II 卷（非选择题） 二、填空题（本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20分） 13.已知则_ 14.“中国古代数学名草周髀算经曾记载有 勾股各自乘
5、，并而开方除之”，用符号表示为 - 2 - ，我们把叫做勾股数.下列给出几组勾股数：3，4，5；5，12，13； 7，24，25；9，40，41，以此类推，可猜测第 5 组股数的三个数依次是_ x y 1 15若变量 x，y 满足约束条件 y x 1 ，则 z 2x y 的最小值为 . x 1 16. 已知 A,B, C三点都在表面积为的球的表面上，若 AB 4 3,ACB 60.则球心到平面 的距离等于_ 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(本小题满分 12分） 的内角 A,B, C的对边分别为 a,b,c 已知 b,c,2aC
6、osB 成等差数列. （1）求角； （2）若 a 13,b 3, D 为中点，求的长. 18.(本小题满分 12分） 某高校共有学生 15 000人，其中男生 10 500 人，女生 4500人为调查该校学生每周平均体育 运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集 300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单 位：小时) (1)应收集多少位女生的样本数据？ (2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示)， 其中样本数据的分组区间为：0，2，(2，4，(4，6，(6，8，(8，10，(10，12估计 该校学生每周平均体育运动时间超过 4 小时的概率 - 3
7、 - (3) 在样本数据中，有 60位女生的每周平均体育运动时间超过 4 小时，请完成每周平均 体育运动时间与性别列联表，并判断是否有 95%“的把握认为 该校学生的每周平均体育运动时 ”间与性别有关 19.(本小题满分 12分） 已知四棱锥中，底面为等腰梯形， 丄底面. （1）证明：平面平面； （2）过的平面交于点，若平面把四棱锥分成体积相等的两部分， 求三棱锥的体积. 20.(本小题满分 12分） x y 6 2 2 已知椭圆 C: 1 (ab0)过点 A(0,1)且椭圆的离心率为 . a b 3 2 2 (1)求椭圆 C 的方程； (2)斜率为 1 的直线l 交椭圆 C 于 ( , ),
8、 ( , ) 两点，且 x 。若直线 x =3 上存在点 M x 1 x 1 y N x y 1 2 2 2 P， 使得PMN 是以PMN 为顶角的等腰直角三角形,求l 的方程。 - 4 - 21.(本小题满分 12分） 已知函数 f(x)xln x，g(x)x2ax2(e 为自然对数的底数，aR) (1)判断曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线与曲线 yg(x)的公共点个数； 1 (2)当 x，e 时，若函数 yf(x)g(x)有两个零点，求 a 的取值范围 e （二）选做题：共 10分.请考生在第 22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题 记分. 22.（10分）选修
9、4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，抛物线C 的方程为 y2 2px(p 0) ，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为 极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为 2 sin( ) 3 ，l 与 x 轴交于点 M 3 （1）求l 的直角坐标方程和点 M 的极坐标； （2）设l 与C 交于 A, B 两点，若| MA|,| AB |,| MB | 成等比数列，求 p 的值 23.(本小题满分 10分）不等式选讲 已知函数 （1）求不等式的解集 （2）设，证明：. - 5 - 七校交流资料普宁二中文科数学参考答案 1【答案】A 2【答案】D 【详解】由题意得，解得，则，. 3【答案】B
10、 4【答案】B 5【答案】C【详解】转化，得到，构造新函数，绘制图形， 可得： 结合图像可知，这两个函数的交点介于区间内，故零点所 在区间也是，故选 C。 6【答案】C 7【答案】C 8【答案】C 【解析】设最小的等腰直角三角形的面积为 1，则大正方形的面积为 16，阴影部分 6 3 的面积为 6，则所求的概率是 P . 16 8 9【答案】A 如图所示，该几何体为四棱锥 P-ABCD，底面 ABCD 为长方形.其中 底面 ABCD， AB=1,AD=2,PD=1.易知该几何体与变成为1,2,1的长方体有相同的外接球.则该阳马的外接球的 直径为 .球体积为： .故选 A. 10【答案】A 由几
11、何关系可得，双曲线的渐近线方程为，圆心到渐近线距离为，则点到直线的 距离为，即，整理可得，双曲线的离心率故选 A 11【答案】B 由函数，所以， 由函数的图象在点处的切线斜率为，所以，所以 （当且仅当，即时等号成立）所以的最小值 为，故选 B. 12【答案】D 【解析】f(x)ex1x2 的零点为 x1，设 g(x)x2axa3 的零点为 b，若函数 f(x) ex1x2 与 g(x)x2axa3“”互为 零点相邻函数 ，则|1b|1，0b2. 由于 g(x)x2axa3x23a(x1)必经过点(1,4)，要使其零点在区间0,2上， 则Error!Error!即Error!Error!解得 2
12、a3. 13【答案】1 ， ， 14【答案】11,60,61,由前四组勾股数可得第五组的第一个数为 11，第二，三个数为相邻的两 个整数，可设为,所以第 5 组股数的三个数依次是 11,60,61. 15【答案】-1 16 则根据正弦定理可知，结合球表面积计算公式，可知，结合球的性质可知，构成直角三角形， - 6 - 结合勾股定理可知 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.的内角 A,B, C的对边分别为 a,b,c已知 b,c,2acCosB成等差数列. （1）求角； （2）若 a 13,b 3, D 为中点，求的长. 【答案】（1
13、） (2) （【详解】（1）成等差数列，则，2分 由正弦定理得：， ， ，4 分 即，因为， 所以，又，.6 分 （2）在中， ， 即，或（舍去），故，8 分 在中， 10 分 在中， ，.12 分 18某高校共有学生 15 000人，其中男生 10 500 人，女生 4500人为调查该校学生每周平均 体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集 300位学生每周平均体育运动时间的样本数 据(单位：小时) (1)应收集多少位女生的样本数据？ (2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示)， 其中样本数据的分组区间为：0，2，(2，4，(4，6，(6，8，
14、(8，10，(10，12估计 该校学生每周平均体育运动时间超过 4 小时的概率 - 7 - (4) 在样本数据中，有 60位女生的每周平均体育运动时间超过 4 小时，请完成每周平均 体育运动时间与性别列联表，并判断是否有 95%“的把握认为 该校学生的每周平均体育运动时 ”间与性别有关 解：（1） ，所以应收集 位女生的样本数据 3分 (2)由频率分布直方图得 ，所以该校学生每周平均体育运动 时间超过 小时的概率的估计值为 6分 （3）由（2）知， 位学生中有 人的每周平均体育运动时间超过 小时， 人的每周平均体育运动时间不超过 小时又因为样本数据中有 份是关于男生的， 份是关于女生的，所以每
15、周平均体育运动时间与性别列联表如下： 9 分 结合列联表可算得 所以有 %“”的把握认为 该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关 12 分 19.已知四棱锥中，底面为等腰梯形，如，丄底面. （1）证明：平面平面； （2）过的平面交于点，若平面把四棱锥分成体积相等的两部分，求三棱锥的体积. （1）证明：在等腰梯形， 易得： 在中， 则有2分 又 4 分 即. 平面丄平面6分 （2）在梯形中，设， Q v = v ,S =S 三棱锥 四棱锥 梯形 7 分 P-ABE P-AECD ABE AECD ，而 - 8 - 即 9分 10分 而 故三棱锥的体积为 12分 20.(本小题满分 12分） x
16、 y 6 2 2 已知椭圆 C: C: 1 (ab0)过点 A(0,1)且椭圆的离心率为 . a b 3 2 2 (1)求椭圆 C 的方程； (2)斜率为 1 的直线l 交椭圆 C 于 ( , ), ( , ) 两点，且 1 x 。若直线 x=3 上存在点 M x 1 y N x y x 1 2 2 2 P， 使得PMN 是以PMN 为顶角的等腰直角三角形,求直线l 的方程。 20解析： b 1, c 6 , a 3 a2 b2 c2 . a 2 3 (1)由题意得 解得 所以椭圆C 的方程为 x 2 3 y2 1 4 分 （2）设直线l 的方程为 y x m ， (3, ) P y , P
17、由 x2 y2 1 ， 3 得 4x2 6mx 3m2 3 0 .6 分 y x m 令 36m2 48m2 48 0 ，得 2 m 2 3 x x m ， 1 2 2 3 x x m 8 分 ( 2 1) 1 2 4 因为 PMN 是以 PMN 为顶角的等腰直角三角形，所以 NP 平行于 x轴 过 M 做 NP 的垂线，则垂足Q 为线段 NP 的中点 x 3 设点Q 的坐标为 , x y ，则 2 x x x 10 分 Q Q Q M 1 2 - 9 - 3 x x m ， 1 2 2 3 由方程组x x (m 1) 2 ， 解得 m2 2m 1 0，即 m 1而 m12，2 ，1 2 4
18、x 3 x 2 ， 2 1 所以直线l 的方程为 y x 1 12分 21.已知函数 f(x)xln x，g(x)x2ax2(e为自然对数的底数，aR) (1)判断曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线与曲线 yg(x)的公共点个数； 1 (2)当 x，e 时，若函数 yf(x)g(x)有两个零点，求 a 的取值范围 e 解 (1)f(x)ln x1，所以切线斜率 kf(1)1.1分 又 f(1)0，曲线在点(1，0)处的切线方程为 yx1 2分 yx2ax2， 由yx1 )x 2(1a)x10. 由 (1a)24a22a3(a1)(a3)可知：3 分 当 0 时，即 a1 或 a3 时，
19、有两个公共点； 当 0 时，即 a1 或 a3 时，有一个公共点； 当 0 时，即1a3 时，没有公共点 5 分 2 (2)yf(x)g(x)x2ax2xln x，由 y0，得 ax ln x， x 2 1 x ，e 则由题意知函数 ya 与 yx ln x 的图象在 x 上有两个交点7 分 e 2 （x1）（x2） 令 h (x)x ln x，则 h(x) . x x2 1 当 x，e 时，由 h(x)0，得 x1. 8分 e 1 所以 h(x)在，1 上单调递减，在1，e上单调递增， e 1 1 2 因此 h(x)minh(1)3.由 h(e ) 2e1，h(e)e 1，10分 e e 1
20、 比较可知 h(e )h(e)，所以，结合函数图象可得， 2 2 1 e e x ，e 当 3ae 1 时，函数 ya 与 yx ln x 的图象在 x 上有两个交点， 即函数 yf(x)g(x)有两个零点 12分 （二）选做题：共 10分.请考生在第 22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题 记分. 22.（10分）选修 4-4：坐标系与参数方程 - 10 - 在直角坐标系 xOy 中，抛物线C 的方程为 y2 2px(p 0) ，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为 极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为 2 sin( ) 3 ， 与 轴交于点 l x M 3 （1）求l 的
21、直角坐标方程和点 M 的极坐标； （2）设l 与C 交于 A, B 两点，若| MA|,| AB |,| MB | 成等比数列，求 p 的值 22.解：由 2 sin( ) 3 得， sin 3 cos 3, y 3x 3 3 l y 3x 3 的直角坐标方程 令 y 0 得点 M 的直角坐标为 (1, 0) , 点 M 的极坐标为 (1, ) 5分 1 x 1 t 2 由知l 的倾斜角为 ,参数方程为 , （t 为参数）代入 y2 2px 得 3 3 y t 2 3t 4pt 8p 0, 2 4p 8p t t ,t t 1 2 1 2 3 3 4p 8p 15 Q| AB |2 | MB | MA|,(t t )2 t t ,(t t )2 5t t ( )2 5 , p 1 2 1 2 1 2 1 2 3 3 2 10 分 23.已知函数 （1）求不等式的解集 （2）设，证明：. 【答案】(1)或 ；(2)证明见解析. 解：（1），.1 分 当时，不等式可化为， 解得，； 2分 当,不等式可化为， 解得， 无解； 3 分 当时，不等式可化为， 解得，. 4 分 综上所述，或. 5分 （2）， 要证成立，只需证， 1分 即证，即证, 即. 3 分 由（1）知，或， 成立4 分 综上所述，对于任意的都有成立. 5 分 - 11 - - 12 -