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1、广东省汕头市潮阳第一中学等七校联合体 20192019届高三数学冲刺模拟试 题 理 一、选择题：本大题共 12个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.设集合 ， ，则 ( ) A. B. C. D. 2.若复数 满足 ，则 的虚部为（ ） A. 5 B. C. D. -5 3.已知抛物线方程为 ，则其准线方程为( ) A. B. C. D. 4.已知非零向量 满足 且 ，则向量 的夹角为( ) A. B. C. D. 5.函数 为奇函数，则 ( ) A. B. C. D. 6.“”九章算术 竹九节 问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下
2、各节的容积成等比数列，上 面 3 节的容积之积 3 升，下面 3 节的容积之积为 9 升，则第 5 节的容积为( ) A. 2 升 B. 升 C. 3 升 D. 升 7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A. B. C. D. 8.2021 年广东新高考将实行 模式，即语文数学英语必选， 物理历史二选一，政治地理化学生物四选二，共有 12种选课模 式.今年高一的小明与小芳都准备选历史，假若他们都对后面四科没有偏好，则他们选课相同 的概率( ) A. B. C. D. 9.设 满足不等式组 ，则 的最大值为（ ） - 1 - A. 3 B. -1 C. 4 D. 5 10.如
3、图所示，在著名的汉诺塔问题中，有三根高度相同的柱子和一些大小及颜色各不相同的 圆盘，三根柱子分别为起始柱、辅助柱及目标柱.已知起 始柱上套有 个圆盘，较大的圆盘都在较小的圆盘下面.现 把圆盘从起始柱全部移到目标柱上，规则如下：每次只 能移动一个圆盘，且每次移动后，每根柱上较大的圆盘不 能放在较小的圆盘上面，规定一个圆盘从任一根柱上移动 到另一根柱上为一次移动.若将 个圆盘从起始柱移动到 目标柱上最少需要移动的次数记为 ，则 （ ） A. 33 B. 31 C. 17 D. 15 11.已知函数 ,若函数 在区间2，4内有 3 个零 点，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12.
4、已知点 O 为双曲线 C 的对称中心，直线 交于点 O 且相互垂直， 与 C 交于点 ， 与 C 交于点 ，若使得 成立的直线 有且只有一对，则双曲线 C 的离心率的取值 范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题 5 分，满分 20分，将答案填在答题纸上） 13.设函数 ，则 的值为_ 14. 侧面为等腰直角三角形的正三棱锥的侧棱与底面所成角的正弦值为_ 15.已知锐角 满足方程 ，则 _ 16.定义在封闭的平面区域 内任意两点的距离的最大值称为平面区 域 的“”直径 .已知锐角三角形的三个顶点 在半径为1 的圆上， 且 ，分别以 各边为直径向外作三个半圆，这三个半 圆和 构成平
5、面区域 ，则平面区域 “”的 直径 的最大值是 _ - 2 - 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721题为必考题，每 个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：60 分 17.（本小题满分 12 分）已知锐角 面积为 ， ， ， 所对边分别是 ， ， ， ， 平分线相交于点 ， 且 . 求：（1） 的大小； （2） 周长的最大值. 18. （本小题满分 12分）已知斜三棱柱 的侧面 与底面 ABC垂直，侧棱与 底面所在平面成 角， ， ， ， 求证：平面 平面 ； 求二面角 的 余弦值 19.（本小题满分 12
6、分）如图，点 为圆 ： 上一动点，过 点 分别作 轴， 轴的垂线，垂足分别为 ， ，连接 延长至点 ，使得 ，点 的轨迹 记为曲线 . （1）求曲线 的方程； （2）若点 ， 分别位于 轴与 轴的正半轴上，直线 与曲线 相交于 ， 两点，试问在曲线 上是否存在点 ，使得四边形 为平行四边形，若存在，求出直线 方程；若不存在，说 明理由. - 3 - 20.（本小题满分 12 分）某水果种植基地引进一种新水果品种，经研究发现该水果每株的产 量 （单位： ）和与它“相近”的株数 具有线性相关关系（两株作物“相近”是指它们的直线距 离不超过 ），并分别记录了相近株数为 0，1，2，3，4 时每株产量
7、的相关数据如下： 0 1 2 3 4 15 12 11 9 8 （1）求出该种水果每株的产量 “”关于它 相近 株数 的回归方程； （2）有一种植户准备种植该种水果 500“”株，且每株与它 相近 的 株数都为 ，计 划收获后能全部售出，价格为 10元 ，如果收入（收入=产量价格）不低于 25000元，则 的最大值是多少？ （3）该种植基地在如图所示的直角梯形地块的每个交叉点（直线的 交点）处都种了一株该种水果，其中每个小正方形的边长和直角三角 形的直角边长都为 ，已知该梯形地块周边无其他树木影响，若从所 种的该水果中随机选取一株，试根据（1）中的回归方程，预测它的 产量的分布列与数学期望.
8、附：回归方程 中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： ， . 21.（本小题满分 12 分）已知函数 （ 为自然对数的底数， 为常数，并 且 ）. （1）判断函数 在区间 内是否存在极值点，并说明理由； （2）若当 时， 恒成立，求整数 的最小值. （二）选考题：共 10分.请考生在 22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一 题记分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上. 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程：在平面直角坐标系 中，已知曲线 ： - 4 - （ 为参数），在以坐标原点 为极点，以 轴正半轴为极轴建立的极坐标系中
9、，直线 的极坐标方程为 . （1）求曲线 的普通方程和直线 的直角坐标方程； （2）求曲线 与直线 交点的极坐标（ ， ）. 23.（本小题满分 10 分）已知 使不等式 成立. （1）求满足条件的实数 的集合 ； （2）若 ， ， ，不等式 恒成立，求 的取值范围. - 5 - 2019届潮阳一中（理科数学）七校冲刺卷参考答案 1-6:BCCCDD 7-12:DCCDDD 13. 14. 15. 16. 17.解:（1） ， ，2 分 故： .5 分 （2）设 周长为 ， ，则 ，6 分 、 分别是 、 的平分线， ， . 由正弦定理 得 ，8 分 ， .10 分 ， ， 当 时， 周长的最
10、大值为 .12分 19. 解:（1）平面 平面 且平面 平面 ，且 ， 平面 ，2 分 ，又 ， 平面 ，4 分 平面 ，平面 平面 .5 分 （2）已知斜三棱柱 的侧面 与底面 垂直，侧棱与底面所在平面成 ， ，6 分 又 ， ，如图建立空间直角坐标系7 分 ， ， ， ，由 ，得 ，8 分 设平面 ，平面 的法向量分别为 ， ， ， ， ， ， ，得 ， ，得 ，10分 - 6 - 设二面角 的大小为 ， ，11分 二面角 的余弦值为 .12 分 19.解:（1）设 ， ，则 ， ，1 分 由题意知 ，所以 为 中点，2 分 由中点坐标公式得 ，即 ，3 分 又点 在圆 ： 上，故满足 ，
11、得 .4 分 （2）由题意知直线 的斜率存在且不为零， 设直线 的方程为 ，5 分 因为 ，故 ，即 ，6 分 联立 ，消去 得： ，7 分 设 ， ， ， ，8 分 ，9 分 因为 为平行四边形，故 ，10 分 点 在椭圆上，故 ，整理得 ，11分 将代入，得 ，该方程无解，故这样的直线不存在.12分 20.解:（1）由题意得： ， ，1 分 ， ，2 分 - 7 - 所以 ， ，3 分 所以 .4 分 （2）设每株的产量为 ，根据题意： ，解得 ，5 分 令 ，解得 ，6 分 “”所以每株 相近 的株数 的最大值为 5.7分 （3）由回归方程得： 当 时， ，当 时， ，当 时， ，当 时
12、， ，8 分 由题意得： ， ， ， ，9 分 所以 的分布列为： 11 10 分 所以 ，11分 所以一株产量的期望为 .12 分 21.解:（1） ，1 分 令 ，则 f（x）exg（x）， 恒成立，2 分 所以 g（x）在（1，e）上单调递减， 所以 g（x）g（1）a10，所以 f（x）0 在（1，e）内无解3 分 所以函数 f（x）在区间（1，e）内无极值点4 分 （2）当 aln2时，f（x）ex（x+lnx+ln2），定义域为（0，+）， - 8 - ，令 ， 由（ ）知，h（x）在（0，+）上单调递减，又 ，h（1）ln210， 所以存在 ，使得 h（x1）0，且当 x（0，x
13、1）时，h（x）0，即 f（x）0， 当 x（x1，+）时，h（x）0，即 f（x）0 所以 f（x）在（0，x1）上单调递增，在（x1，+）上单调递减，6 分 所以 7 分 由 h（x1）0 得 ，即 ，8 分 所以 ， 令 ，则 恒成立，9 分 所以 r（x）在 上单调递增， 所以 ，所以 f（x）max0，10分 又因为 ，11 分 所以1f（x）max0，所以若 f（x）k（kZ）恒成立， 则 k 的最小值为 012 分 22.解:（1）曲线 化为普通方程为： ，2 分 由 ，得 ，4 分 所以直线的直角坐标方程为 .5 分 （2） 的普通方程为 ，联立 ，6 分 解得 或 ，8 分 所以交点的极坐标为 ， .10 分 23.解:（1） ，1 分 .2 分 使不等式 成立，则 ，4 分 T 1 5分 t t - 9 - （2） ，不等式 恒成立，即 6 分 ， ，所以 ， 7分 ，当且仅当 时取等号.9 分 则 .10分 - 10 -