《高中数学第一章常用逻辑用语1.1.2量词学案新人教B版选修1_120170719231.wps》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第一章常用逻辑用语1.1.2量词学案新人教B版选修1_120170719231.wps（7页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、1.1.21.1.2 量词 1通过教学实例，理解全称量词和存在量词的含义(重点) 2能够用全称量词符号表示全称命题，用存在量词符号表示存在性命题(难点) 3会判断全称命题和存在性命题的真假(难点、易错点) 基础初探 教材整理 1 全称量词与全称命题 阅读教材 P4P5思考与讨论下面第 4 自然段，完成下列问题 1全称量词与全称命题 短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“” 表示含有全称量词的命题，叫做全称命题 2全称命题的形式 设 p(x)是某集合 M “的所有元素都具有的性质，那么全称命题就是形如 对 M 中的所有 x， p(x)”的命题，用符号简记为
2、x M ， p(x). 给出四个命题：末位数是偶数的整数能被 2 整除；正方形是菱形；任意实数 x，|x| 0；对于任意实数 x,2x1 是奇数下列说法正确的是( ) A四个命题都是真命题 B有三个真命题 C有两个真命题 D有一个真命题 【答案】 C 教材整理 2 存在量词与存在性命题 阅读教材 P5倒数第 4 自然段P6，完成下列问题 1存在量词与存在性命题 短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，在逻 “辑中称为存在量词，并用符号 ”表示，存在量词的命题称为存在性命题 1 2存在性命题的形式 设 q(x)是某集合 M的有些元素 x具有的某种性质，那么存在性
3、命题就是形如“存在集合 M 中的元素 x，q(x)”的命题，用符号记为 x M ， q(x). 判断下列存在性命题的真假： (1)有一个实数 x0，使 x202x030； (2)存在两个相交平面垂直于同一条直线； (3)有些整数只有两个正因数 【解】 (1)由于xR R，x22x3(x1)222，因此使 x22x30 的实数 x不存 “在所以，存在性命题 有一个实数 x0，使 x202x030”是假命题 (2)由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的，因此不存在两个相交的平面垂直于 “”同一条直线所以，存在性命题 存在两个相交平面垂直于同一条直线 是假命题 (3)由于存在整数 3 只有两个正
4、因数 1 和 3“”，所以存在性命题 有些整数只有两个正因数 是真命题 质疑手记 “”预习完成后，请将你的疑问记录，并与 小伙伴们 探讨交流： 疑问 1：_ 解惑：_ 疑问 2：_ 解惑：_ 疑问 3：_ 解惑：_ 小组合作型 全称命题和存在性命题的概念 指出下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断它们的真假 (1)xN,N,2x1 是奇数； 1 (2)存在一个 x0R R，使 0； x01 (3)对任意向量 a a，|a|a|0； (4)有一个角 ，使 sin 1. 【导学号：25650006】 【精彩点拨】 (1)上述各命题中分别含有什么量词？(2)如何判断它们的真假？ 2 【自主解答】
5、(1)是全称命题，因为xN,N,2x1 都是奇数，所以该命题是真命题 1 (2)是存在性命题因为不存在 x0R R，使 0 成立，所以该命题是假命题 x01 (3)是全称命题因为|0|0，|a a|0 不都成立，因此，该命题是假命题 (4)是存在性命题，因为R R，sin 1,1，所以该命题是假命题 1判定一个命题是全称命题还是存在性命题时，主要是看命题中是否含有全称量词或存 在量词当然有些全称命题中并不含全称量词，这时要根据命题所涉及的意义去判断 2全称命题与存在性命题真假的判断方法 (1)要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合 M 中的每个元素 x 证明 p(x)成立；但 要判定全称命
6、题是假命题，只要能举出集合 M 中的一个 x0，使得 p(x0)不成立即可(这就是通常 “”所说的 举出一个反例 ) (2)要判定一个存在性命题是真命题，只要在限定集合 M 中，能找到一个 x0使 p(x0)成立 即可；否则，这个存在性命题就是假命题 再练一题 1以下四个命题既是存在性命题又是真命题的是( ) A锐角三角形的内角是锐角或钝角 B至少有一个实数 x，使 x20 C两个无理数的和必是无理数 1 D存在一个负数 x，使 2 x 【解析】 A 中，锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B 中，x0 时，x20，所 以 B 既是存在性命题又是真命题；C 中，因为 3( 3)0，所以 C
7、 是假命题；D 中，对于任 1 一个负数 x，都有 x； 不存在实数 x，使 x2x10，成 4 3 立；显然成立 【答案】 全称命题与存在性命题真假 的判断 判断下列命题的真假： (1)xR R，x210； (2)x3,5,7,3x1 是偶数； (3)xQ Q，x23； (4)xR R，x2x10. 【导学号：25650007】 【精彩点拨】 结合全称命题与存在性命题的含义及相关数学知识进行判断 【自主解答】 (1)由于xR R，都有 x20，所以有 x2110，所以“xR R，x210” 是真命题 (2)因为对集合3,5,7中的每一个值，都有 3x1 是偶数，所以“x3,5,7,3x1 是
8、 ”偶数 是真命题 (3)由于使 x23 成立的实数只有 3，且它们都不是有理数，因此，没有任何一个有理 数的平方能等于 3“，所以 xQ Q，x23”是假命题 (4)因为对于 x2x10，0 DxR,R,2x0 【解析】 选项 A，lg x0x1；选项 B，tan x1x k(kZ Z)；选项 C，x30 4 x0；选项 D,2x0xR R. 【答案】 C 探究共研型 4 全称命题与存在性命题的应用 探究 已知关于 x 的不等式 x2(2a1)xa220 的解集非空，求实数 a 的取值范 围 【提示】 不等式有解问题是存在性命题，只须 0 即可 已知函数 f(x)x22x5，是否存在实数 m
9、，使不等式 mf(x)0对于任意 xR R 恒成立，并说明理由 【精彩点拨】 (1)mf(x)0恒成立 mf(x)恒成立求 yf(x)的最大值 mymax 【自主解答】 (1)不等式 mf(x)0 可化为 mf(x)， 即 mx22x5(x1)24. 要使 m(x1)24 对于任意 xR R 恒成立，只需 m4 即可 故存在实数 m，使不等式 mf(x)0对于任意 xR R 恒成立，此时，只需 m4. 应用全称命题与存在性命题求参数范围的两类题型 1全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中 的每一个元素都具有某种性质，所以可以利用代入体现集合中相应元素的具体性
10、质中求解；也 可以根据函数等数学知识来解决 2存在性命题的常见题型是以适合某种条件的结论“”“”“存在不存在是否存在”等 语句表述解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结 合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假 设 再练一题 4若xR R，f(x)(a21)x 是单调减函数，则 a的取值范围是_. 【导学号： 25650008】 【解析】 由题意知，0a211， Error!即Error!解得Error! 1a 2 或 2a1. 【答案】 ( 2，1)(1， 2) 构建体系 5 1下列命题中是全称命题，且为假命题的是(
11、 ) A存在 x0R R，sin x0cos x02 B偶函数图象关于 y 轴对称 CmR R，x2mx10 无解 DxN N，x3x2 【解析】 A，C 中命题是存在性命题，故排除B 为省略量词的全称命题，且为真命 题D 为全称命题，当 x0 或 1 时，x3x2，故 D 中命题是假命题 【答案】 D 2下列命题为存在性命题的是( ) A偶函数的图象关于 y 轴对称 B正四棱柱都是平行六面体 C不相交的两条直线是平行直线 D有很多实数不小于 3 【解析】 A，B，C 都是全称命题，D“命题可以改为 有一些实数不小于 3”，是存在性命 题 【答案】 D 3下列命题中是真命题的有_(只填序号)
12、(1)xR R，x22x10； (2)xR R，|x|0； (3)xN N*，log2x0； (3)xR R，cos x . 2 【解析】 (1)当 x1 时，x22x10， 命题是假命题 (2)当 x0 时，|x|0 成立， 6 命题是真命题 (3)当 x1 时，log2x0， 命题是假命题 (4)当 xR R 时，cos x1,1，而 1， 2 不存在 xR R，使 cos x ， 2 命题是假命题 【答案】 (2) 4命题 p：x0R R，x202x050 是_(填“全称命题”或“”存在性命题 )，它 是_命题(“”“”填 真 或 假 )，它的否定为綈 p：_. 【解析】 命题 p：x0R R，x202x050 是存在性命题因为 x22x5(x1)24 0 恒成立，所以命 题 p 为假命题命题 p 的否定为：xR R，x22x50. 【答案】 存在性命题 假 xR R，x22x50 5已知命题 p：ax22x10，若对xR R，p 是真命题，求实数 a 的取值范围. 【导学 号：25650009】 【解】 由题意可得，xR R，ax22x10 恒成立 (1)当 a0 时，ax22x12x10，显然不恒成立，不合题意 (2)当 a0 时，要使 ax22x10 恒成立， 则Error!解得 a1. 综上可知，所求实数 a 的取值范围是(1， ) 7