《高中数学第一章常用逻辑用语1.3.1推出与充分条件必要条件学案新人教B版选修1_1201707192.wps》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第一章常用逻辑用语1.3.1推出与充分条件必要条件学案新人教B版选修1_1201707192.wps（11页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、1 13.13.1 推出与充分条件、必要条件 1结合具体实例理解充分条件、必要条件的概念(重点) 2结合具体实例理解充要条件的概念(重点) 3会求或证明命题的充要条件(难点、易错点) 基础初探 教材整理 1 充分条件与必要条件 阅读教材 P18P19第 10 行内容，完成下列问题 充分条件与必要条件 命题真假 “若 p，则 q”为真命题 “若 p，则 q”为假命题 推出关系 pq p q p是 q的充分条件 p不是 q的充分条件 条件关系 q是 p的必要条件 q不是 p的必要条件 判断(“正确的打”“，错误的打 ”) (1)若 p是 q的必要条件，则 q是 p的充分条件( ) (2)“”“”两
2、角不相等 是 两角不是对顶角 的必要条件( ) 【答案】 (1) (2) 教材整理 2 充要条件 阅读教材 P19第 11 行P19例 1 部分，完成下列问题 充要条件 1推出关系：pq，且 qp，记作 p q. 2简称：p是 q的充分必要条件，简称充要条件. 3意义：pq，则 p是 q的充要条件或 q是 p的充要条件，即 p与 q互为充要条件. 1 判断(“正确的打”“，错误的打 ”) (1)q是 p的必要条件时，p是 q的充分条件( ) (2)若 p是 q的充要条件，则命题 p和 q是两个相互等价的命题( ) (3)q不是 p“的必要条件时，p q”成立( ) 【答案】 (1) (2) (
3、3) 质疑手记 “”预习完成后，请将你的疑问记录，并与 小伙伴们 探讨交流： 疑问 1：_ 解惑：_ 疑问 2：_ 解惑：_ 疑问 3：_ 解惑：_ 小组合作型 充分、必要、充要条件的判断 判断下列各题中 p是 q的什么条件？ 1 (1)p： ，q：cos ； 3 2 (2)在ABC中，p：ab，q：sin Asin B； (3)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形.【导学号：25650023】 【精彩点拨】 根据定义法，集合法，等价法作出判断 1 1 【自主解答】 (1) cos ，cos ， 3 2 2 3 p是 q的充分不必要条件 a b (2)由正弦定理 ， sin A si
4、n B 知 absin Asin B，sin Asin Bab， p是 q的充要条件 (3)Error! p是 q的既不充分也不必要条件 2 充分、必要、充要条件的判断方法 1定义法 若 pq，q p，则 p 是 q 的充分不必要条件； 若 p q，qp，则 p 是 q 的必要不充分条件； 若 pq，qp，则 p 是 q 的充要条件； 若 p q，q p，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件 2集合法 对于集合 Ax|x 满足条件 p，Bx|x 满足条件 q，具体情况如下： 若 AB，则 p 是 q 的充分条件； 若 AB，则 p 是 q 的必要条件； 若 AB，则 p 是 q 的充要条件；
5、 若 AB，则 p 是 q 的充分不必要条件； 若 AB，则 p 是 q 的必要不充分条件； 即小范围可推出大范围，大范围不能推出小范围 3等价法 等价转化法就是在判断含有“否”的有关条件之间的充要关系时，根据原命题与其逆否命 题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断 再练一题 1(2015安徽高考)设 p：1x2，q：2x1，则 p 是 q 成立的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解析】 由 2x120 得 x0，所以 pq 但 q p，所以 p 是 q 的充分不必要条 件 【答案】 A 2指出下列命题中，p 是 q 的什么条件
6、？ (1)p：x22x1，q：x 2x1； (2)p：a2b20，q：ab0； (3)p：x1 或 x2，q：x1 x1； 3 (4)p：sin sin ，q：. 【解】 (1)x22x1 x 2x1， x 2x1x22x1， p是 q的必要不充分条件 (2)a2b20ab0ab0， ab0 a2b20， p是 q的充分不必要条件 (3)当 x1 或 x2 成立时，可得 x1 x1成立，反过来，当 x1 x1 成立时， 可以推出 x1 或 x2， p既是 q的充分条件也是 q的必要条件 (4)由 sin sin 不能推出 ，反 过来 由 也不能推出 sin sin ，p 既不是 q的充分条件，
7、也不是 q的必要条件 充分条件、必要条件、充要条件 的应用 已知 p：2x10，q：x22x1m20(m0)， 若 q是 p的充分不必要条件，求实数 m的取值范围. 【 精 彩 点 拨 】 【自主解答】 p：2x10. q：x22x1m20 x(1m)x(1m)0(m0) 1mx1m(m0) 因为 q是 p的充分不必要条件， 即x|1mx1m，m0 x|2x10， 故有Error!或Error!解得 m3. 又 m0，所以实数 m的范围为m|00) 1mx1m(m0) q是 p的必要不充分条件 即x|2x10 x|1mx1m，m0 故有Error!且 m110,1m2 不同时成立 解得 m9.
8、故实数 m的取值范围为9， ) 探究共研型 有关充要条件的证明或求解 探究 1 如何证明充要条件？ 【提示】 充要条件的证明分充分性和必要性的证明在证明时要注意两种叙述方式的区 别： p是 q的充要条件，则由 pq证的是充分性，由 qp证的是必要性； p的充要条件是 q，则由 pq证的是必要性，由 qp证的是充分性 探究 2 如何求解充要条件？ 【提示】 探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转 化过程都可逆，也可以直接求出充要条件 求证：一元二次方程 ax2bxc0 有一正根和一负根的充要条件是 ac0. 【精彩点拨】 分清条件 p与结论 q证充分性 pq证必要性
9、 qp结论 pq 【自主解答】 法一 充分性：(由 ac0 推证方程有一正根和一负根) ac0， 一元二次方程 ax2bxc0 的判别式 b24ac0. 方程一定有两不等实根 c 设为 x1，x2，则 x1x2 0， a 方程的两根异号， 即方程 ax2bxc0 有一正根和一负根 必要性：(由方程有一正根和一负根推证 ac0) 方程 ax2bxc0 有一正根和一负根，设为 x1，x2， c 则由根与系数的 关系得 x1x2 0，即 ac0， a 综上可知：一元二次方程 ax2bxc0 有一正根和一负根的充要条件是 ac0. 法二 令 f(x)ax2bxc， 则方程 ax2bxc0 有一正根和一
10、负根 5 Error!或Error! Error!或Error!ac0 有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，谁是谁的什么条件，由“条 件结论”是证明命题的充分性，由“结论条件”是证明命题的必要性证明要分两个环节： 一是证充分性；二是证必要性 再练一题 1 1 4已知 x，y 都是非零实数，且 xy，求证： 0. x y 1 1 1 1 yx 【证明】 (1)必要性：由 y，得 yx0. (2)充分性：由 xy0 及 xy， x y 1 1 得 ，即 0. x y 已知方程 x2(2k1)xk20，求使方程有两个大于 1 的实数根的充要条件 【精彩点拨】 求解过程要保证每一步的
11、变形转化过程都可逆，直接求出充要条件 【自主解答】 令 f(x)x2(2k1)xk2，则方程 x2(2k1)xk20 有两个大于 1 的实数根 Error!k2. 因此 k2 是使方程 x2(2k1)xk20 有两个大于 1 的实数根的充要条件 探求充要条件一般有两种方法 1先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明 此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明 2将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证 明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证 再练一题 5求关于 x 的方程 ax2
12、2x10 至少有一个负的实数根的充要条件 1 【解】 法一 当 a0 时，x 符合题意 2 6 当 a0 时，令 f(x)ax22x1， 由于 f(0)10， 当 a0 时，Error! a1，即 0a1. 当 a0，f(0)1，44a0， 所以方程恒有负实数根 综上所述，方程 ax22x10 至少有一个负实根时 a1. 若 a1，则当 a1 时，方程化为 x22x10 有一个负实根 x1. 当 a1，且 a0 时，44a0，方程 ax22x10 有两个不同实根，设为 x1，x2， 2 1 则 x1x2 ，x1x2 ， a a 当 a0 时，x1x20，x1x20， 此时 x10，x20； 当
13、 a0 时，x1x20，x1x20，此时，方程有一负实根 1 当 a0 时，x 符合题意， 2 当 a1 时，方程 ax22x10 至少有一个负实根 关于 x 的方程 ax22x10 至少有一个负的实数根的充要条件是 a1. 法二 方程 ax22x10 没有负实根 Error!或Error! 则方程 ax22x10 至少有一个负实根的充要条件是 a1. 构建体系 7 1 “x1”是“ (x2)0”的( ) A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 【解析】 由 x21 得 x1，故选 B.(小范围可推大范围，大范围不能推小范围) 【答案】 B 2设四边形 ABCD
14、 的两条对角线为 AC，BD，则“四边形 ABCD 为菱形”是“ACBD”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【解析】 当四边形 ABCD 为菱形时，必有对角线互相垂直，即 ACBD.当四边形 ABCD 中 AC BD 时，四边形 ABCD 不一定是菱形，还需要 AC 与 BD 互相平分综上知，“四边形 ABCD 为菱 形”是“ACBD”的充分不必要条件 【答案】 A 3实数 a，b 中至少有一个不为零的充要条件是( ) Aab0 Bab0 Ca2b20 Da2b20 【解析】 a2b20，则 a，b 不同时为零；a，b 中至少有一个不为零，则
15、 a2b20.故 选 D. 【答案】 D 4 若“x m” 是“(x 1)(x 2)0”的充分不必要条件，则 m 的取值范围是 _ 【解析】 由(x1)(x2)0 可得 x2 或 x1，由已知条件，知x|xm x|x2， 或 x1，m1. 【答案】 ( ，1 5求证：一次函数 f(x)kxb(k0)是奇函数的充要条件是 b0. 【证明】 (1)先证充分性： 若 b0，则有 f(x)kx(k0)， f(x)k(x)kxf(x)， 即 f(x)kxb(k0)为奇函数 (2)再证必要性： 若 f(x)kxb(k0)是奇函数， 则 f(x)f(x)， 即 k(x)b(kxb)，b0. 综上可知，一次函数 f(x)kxb(k0)是奇函数的充要条件是 b0. 8 8