《高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2抛物线的几何性质学业分层测评新人教B版选修1_12017071.wps》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2抛物线的几何性质学业分层测评新人教B版选修1_12017071.wps（9页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2.3.22.3.2 抛物线的几何性质 (建议用时：45分钟) 学业达标 一、选择题 1过抛物线 y24x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A，B 两点，它们的横坐标之和等 于 5，则这样的直线( ) A有且仅有一条 B有且仅有两条 C有无穷多条 D不存在 【解析】 由定义，知|AB|527，因为|AB|min4，所以这样的直线有且仅有两 条 【答案】 B 2过点(1,0)作斜率为2 的直线，与抛物线 y28x 交于 A，B 两点，则弦 AB 的长为( ) A2 13 B2 15 C2 17 D2 19 【解析】 设 A，B 两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由直线 AB 斜率为2
2、，且过点 (1,0)得直线 AB 的方程为 y2(x1)，代入抛物线方程 y28x 得 4(x1)28x，整理得 x2 4x10，则 x1x24，x1x21，|AB| 5 x1x224x1x2 5 1642 15.故选 B. 【答案】 B 5 3已知抛物线 C：y2x 的焦点为 F，A(x0，y0)是 C 上一点，|AF| x0，则 x0( ) 4 A1 B2 C4 D8 1 1 1 【解析】 由 y2x 得 2p1，即 p2，因此焦点 F(，0 )，准线方程为 l：x ，设 A 4 4 1 5 点到准线的距离为 d，由抛物线的定义可知 d|AF|，从而 x0 x0，解得 x01，故选 A.
3、4 4 【答案】 A 4已知抛物线 y22px(p0)，过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A，B 两点，若线段 AB 的中点的纵坐标为 2，则该抛物线的准线方程为( ) Ax1 Bx1 Cx2 Dx2 【解析】 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 A，B 两点在抛物线上，得 y212px1， y 2px2， 2 由，得(y1y2)(y1y2)2p(x1x2)又线段 AB 的中点的纵坐标为 2，即 y1y2 1 p 4，直线 AB的斜率为 1，故 2p4，p2，因此抛物线的准线方程为 x 1. 2 【答案】 B 5设 O为坐标原点，F为抛物线 y24x的焦点，A为抛物线上一点，若
4、O AA F4， 则点 A的坐标为( ) 【导学号：25650086】 A(2，2 2) B(1，2) C(1,2) D(2,2 2) 【解析】 设 A(x，y)，则 y24x， O A(x，y)，A F(1x，y)，O AA Fxx2y24， 由可解得 x1，y2. 【答案】 B 二、填空题 6抛物线 y24x上的点到直线 xy40 的最小距离为_ 【解析】 可判断直线 yx4 与抛物线 y24x相离， 设 yxm与抛物线 y24x相切， 则由Error!消去 x得 y24y4m0. 1616m0，m1. |41| 3 2 又 yx4 与 yx1 的距离 d ， 2 2 3 2 则所求的最小
5、距离为 . 2 3 2 【答案】 2 7已知抛物线 y24x，过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 则 y21y 21的最小值是_ 【解析】 设 AB的方程为 xmy4，代 入 y24x得 y24my160，则 y1y24m，y1y2 16， y21y (y1y2)22y1y216m232， 2 当 m0 时，y21y 最小为 32. 2 【答案】 32 25 8过抛物线 y22x的焦点 F作直线交抛物线于 A，B两点，若|AB| ，|AF|BF|， 12 则|AF|_. 2 1 1 【解析】 设过抛物线焦点的直线为yk(x2 )，联立得Error!
6、整理得k 2x2(k22)x k2 4 0， k22 1 x1x2 ，x1x2 . k2 4 k22 25 |AB|x1x21 1 ，得 k224， k2 12 1 代入 k2x2(k22)x k20 得 12x213x30， 4 1 3 解之得 x1 ，x2 ，又|AF|BF|， 3 4 1 5 故|AF|x1 . 2 6 5 【答案】 6 三、解答题 9求过定点 P(0,1)，且与抛物线 y22x 只有一个公共点的直线方程. 【导学号： 25650087】 【解】 如图所示，若直线的斜率不存在， 则过点 P(0,1)的直线方程为 x0， 由Error!得Error! 即直线 x0 与抛物线
7、只有一个公共点 若直线的斜率存在， 则设直线为 ykx1，代入 y22x 得： k2x2(2k2)x10， 当 k0 时，直线方程为 y1，与抛物线只有一个交点 1 1 当 k0 时，(2k2)24k20k .此时，直线方程为 y x1. 2 2 1 可知，y1 或 y x1 为所求的直线方程 2 1 故所 求的直线方程为 x0 或 y1 或 y x1. 2 10已知抛物线的焦点 F 在 x 轴上，直线 l 过 F 且垂直于 x 轴，l 与抛物线交于 A，B 两点， O 为坐标原点，若OAB 的面积等于 4，求此抛物线的标准方程 3 【解】 由题意，抛物线方程为 y22px(p0)， p p
8、焦点 F(，0 )，直线 l：x ， 2 2 p p A，B 两点坐标为(，p )，(，p)， 2 2 |AB|2|p|. OAB 的面积为 4， 1 p 2 |2|p|4，p2 2. 2 | 抛物线方程为 y24 2x. 能力提升 1设 F 为抛物线 C：y23x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30的直线交 C 于 A，B 两点，则|AB| ( ) 30 A. B6 3 C12 D7 3 【解析】 F 为抛物线 C：y23x 的焦点， 3 F(，0 )， 4 3 AB 的方程为 y0tan 30(x4 )， 3 3 即 y x . 3 4 1 7 3 联立 Error!得 x2 x 0. 3
9、2 16 7 2 21 21 x1x2 ，即 xAxB . 1 2 2 3 21 3 由于 |AB|xAxBp，所以|AB| 12. 2 2 【答案】 C 2已知 AB 是抛物线 y22px(p0)上的两点，O 为原点，若|OA|OB|，且抛物线的焦点 恰好为AOB 的垂心，则直线 AB 的方程是( ) 3 Axp Bx p 2 5 Cx p Dx3p 2 4 【解析】 |OA|O B|，A，B关于 x轴对称 设 A(x0， 2px0)，B(x0， 2px0) p AFOB，F(，0 )， 2 2px0 2px0 5 ( x 0 )1，x 0 p. p 2 x0 2 【答案】 C 3平面上一机
10、器人在行进中始终保持与点 F(1,0)的距离和到直线 x1 的距离相等若 机器人接触不到过点 P(1,0)且斜率为 k的直线，则 k的取值范围是_ 【解析】 由题意知机器人行进轨迹为以 F(1,0)为焦点，x1 为准线的抛物线，其方 程为 y24x.设过点(1,0)且斜率为 k的直线方程为 yk(x1)代 入 y24x，得 k2x2(2k2 4)xk20.机器人接触不到该直线，(2k24)24k41.k1或 k0)的顶点关于直线 l的对称点在该抛物 2 4 线的准线上 (1)求抛物线 C的方程； (2)设 A，B是抛物线 C上两个动点，过 A作平行于 x轴的直线 m，直线 OB与直线 m交于点
11、 N，若 O AO B0(O为原点，A，B异于原点)，试求点 N的轨迹方程. 【导学号：25650088】 1 5 【解】 (1)直线 l：y x . 2 4 过原点且垂直于 l的直线方程为 y2x. 1 由，得 x . 2 p 1 抛物线的顶点关于直线 l的对称点在该抛物线的准线上， 2，p2. 2 2 抛物线 C的方程为 y24x. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(x，y) 由 O AO B0，得 x1x2y1y20. 又 y214x1，y24x2，解得 y1y216. y2 4 直线 ON：y x，即 y x. x2 y2 由及 yy1，得点 N的轨迹方程为 x4(y0) 5