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1、2.52.5 平面向量应用举例 课前预习学案 一、预习目标 预习平面向量应用举例，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，建立实 际问题与向量的联系。 二、预习内容 阅读课本内容，整理例题，结合向量的运算，解决实际的几何问题、物理问题。另外，在 思考一下几个问题： 1. 例 1 如果不用向量的方法，还有其他证明方法吗？ 2. “”利用向量方法解决平面几何问题的 三步曲 是什么？ 3 例 3 中， 为何值时，|F F 1|最小，最小值是多少？ |F F1|能等于|G G|吗？为什么？ 三、提出疑惑 同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容 课内探究
2、学案 一、学习内容 1.运用向量的有关知识（向量加减法与向量数量积的运算法则等）解决平面几何和解析 几何中直线或线段的平行、垂直、相等、夹角和距离等问题. 2.运用向量的有关知识解决简单的物理问题. 二、学习过程 探究一：（）向量运算与几何中的结论若 a b ，则| a | b | ，且 a,b 所在直线平行或 重合相类比，你有什么体会？ （）举出几个具有线性运算的几何实例 例1证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和 已知：平行四边形 ABCD 求证： AC2 BD2 AB2 BC2 CD2 DA2 试用几何方法解决这个问题 1 “”利用向量的方法解决平面几何问题的 三步曲 ？
3、（1） 建立平面几何与向量的联系， （2） 通过向量运算，研究几何元素之间的关系， （3） “”把运算结果 翻译 成几何关系。 变式训练： ABC 中，D、E、F 分别是 AB、BC、CA 的中点，BF 与 CD 交于点 O ，设 AB a, AC b. （1）证明 A、O、E 三点共线； （2）用 a,b.表示向量 AO 。 例 2，如图，平行四边形 ABCD 中，点 E、F 分别是 AD、DC 边的 中点，BE、BF 分别与 AC 交于 R、T 两点，你能发现 AR、RT、TC 之间的 关系吗？ 探究二：两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.在单杠上做引体向上运动,两臂夹角越小 越省力. 这
4、些力的问题是怎么回事？ 例 3在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹 角越大越费力；在单杠上作引体向上运动，两臂的夹角越小越省力你能从 数学的角度解释这种现象吗？ 请同学们结合刚才这个问题，思考下面的问题： 为何值时，|F F 1|最小，最小值是多少？ 2 |F F1|能等于|G G|吗？为什么？ 例 4 如图，一条河的两岸平行，河的宽度 d 500 m， 一艘船从 A 处出发到河对岸已知船的速度|v v1|=10km/h， 水流的速度|v v2|=2km/h，问行驶航程最短时 ，所用的时间 是多少(精确到 0.1min)？ 变式训练：两个粒子 A、B 从同一源发射出来，在
5、某一时刻，它们的位移分别为 s (4,3),s (2,10) ，（1）写出此时粒子 B 相对粒子 A 的位移 s; (2)计算 s 在 A B s 方向上的 A 投影。 三、反思总结 结合图形特点，选定正交基底，用坐标表示向量进行运算解决几何问题 ，体现几何问题 代数化的特点，数形结合的数学思想体现的淋漓尽致。向量作为桥梁工具使得运算简练标致， 又体现了数学的美。有关长方形、正方形、直角三角形等平行、垂直等问题常用此法。 本节主要研究了用向量知识解决平面几何问题和物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用 向量解决实际问题的步骤。 四、当堂检测 1.已知 ABC 中，a 2,b 3,C 600 ，求
6、边长 c。 2.在平行四边形 ABCD中，已知 AD=1，AB=2，对角线 BD=2，求对角线 AC 的长。 3 3. 在 平 面 上 的 三 个 力F1, F , F 作 用 于 一 点 且 处 于 平 衡 状 态 ， 2 3 6 2 F1 , 与 1N, F N F F 的夹角为 45o ，求：（1） 2 1 2 2 F 的大小；（2） 3 F 与 1 F 夹角 3 的大小。 课后练习与提高 一、选择题 1.给出下面四个结论： 若线段 AC=AB+BC，则向量 AC AB BC ； 若向量 AC AB BC ，则线段 AC=AB+BC； 若向量 AB 与 BC 共线，则线段 AC=AB+B
7、C; 若向量 AB 与 BC 反向共线，则 AB BC AB BC . 其中正确的结论有 （ ） A. 0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 m ，一艘小船想以垂直于河岸方向 10 2.河水的流速为 2 s m 的速度驶向对岸，则小 s 船的静止速度大小为 （ ） m B. 2 26 A.10 s m C. 4 6 s m D.12m s s 3.在 ABC 中，若 (CA CB) (CA CB) =0，则 ABC 为 ( ） A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.无法确定 二、填空题 4.已知 ABC 两边的向量AB e1, AC e ，则 BC 边上的中线向量 AM 用 e 、 e 表示 2 1 2 为 5.已知O P1 OP OP 0，OP OP OP 1，则 OP 、OP 、OP 两两夹角是 2 3 1 2 3 1 2 3 4 5