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1、2.2.22.2.2 反证法 (建议用时：45分钟) 学业达标 一、选择题 1.“用反证法证明 三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是( ) A.有两个内角是钝角 B.有三个内角是钝角 C.至少有两个内角是钝角 D.没有一个内角是钝角 【解析】“”“ 最多有一个 的反设是 至少有两个”，故选 C. 【答案】 C 2.下列命题错误的是( ) A.三角形中至少有一个内角不小于 60 B.四面体的三组对棱都是异面直线 C.闭区间a，b上的单调函数 f(x)至多有一个零点 D.设 a，bZ Z，若 a，b 中至少有一个为奇数，则 ab 是奇数 【解析】 ab 为奇数a，b 中有一个为奇数
2、，另一个为偶数，故 D 错误. 【答案】 D 3.“自然数 a，b，c ”中恰有一个偶数 的否定正确的为( ) A.a，b，c 都是奇数 B.a，b，c 都是偶数 C.a，b，c 中至少有两个偶数 D.a，b，c 中都是奇数或至少有两个偶数 【解析】 自然数 a，b，c 的奇偶性共有四种情形：(1)3个都是奇数；(2)2个奇数，1 个 偶数；(3)1 个奇数，2 个偶数；(4)3 个都是偶数.所以否定正确的是 a，b，c 中都是奇数或至 少有两个偶数. 【答案】 D 1 1 1 4.设 x，y，z 都是正实数，ax ，by ，cz ，则 a，b，c 三个数( ) y z x A.至少有一个不大
3、于 2 B.都小于 2 C.至少有一个不小于 2 D.都大于 2 【解析】 若 a，b，c 都小于 2，则 abc180，这与三角形内角和为 180相矛盾，AB90不成立；所 以一个三角形中不能有两个直角；假设三角形的三个内角 A，B，C 中有两个直角，不妨设 A B90，正确顺序的序号为( ) A. B. C. D. 【解析】 根据反证法的步骤，应该是先提出假设，再推出矛盾，最后否定假设，从而肯 定结论. 【答案】 D 二、填空题 6.“”命题 任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形 的结论的否定是 _. 【导学号：37820027】 【解析】“”“” 至少有一个 的否定是 没有一
4、个 . 【答案】 任意多面体的面没有一个是三角形或四边形或五边形 7.“用反证法证明命题 如果 ab，那么 3 a3 b”时，假设的内容应是_. 【解析】 3 a与 3 b的关系有三种情况：3 a3 b，3 a3 b和3 a3 b”的反设应 “为 3 a3 b或3 a2；a2b22. “其中能推出a，b 中至少有一个大于 1”的条件是_(填序号). 1 2 【解析】 若 a ，b ，则 ab1，但 a2，故不能推出. 对于，即 ab2，则 a，b 中至少有一个大于 1. 反证法：假设 a1 且 b1，则 ab2 与 ab2矛盾，因此假设不成立，故 a，b 中至 少有一个大于 1. 【答案】 三、解答题 2 1 9.已知 xR R，ax2 ，b2x，cx2x1，试证明：a，b，c 至少有一个不小于 1. 2 【证明】 假设 a，b，c 均小于 1，即 a2，故的假设是错 误的，而的假设是正确的. 【答案】 D 2.“已知命题 在ABC中，AB.求证sin Asin B”.若用反证法证明，得出的矛盾是( ) A.与已知条件矛盾 B.与三角形内角和定理矛盾 C.与已知条件矛盾且与三角形内角和定理矛盾 D.与大边对大角定理矛盾 【解析】 证明过程如下：假设 sin Asin B，因为 02，与相矛盾. q p 故数列cn不是等比数列. 4