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1、运用几何直观提高理解数学、解决问题能力,首都师范大学数学科学学院 王尚志,目 录,举例 解读“几何直观” 整体把握图形 初中数学课程 全面掌握研究图形的方法 重视几何变换 学会运用图形建立“几何直观” 用图形描述、理解数学问题 用图形探索解决问题思路 用图形理解、记忆结论,2,举 例,1.给定长度一定的线段，试求出由它围成的面积最大的封闭图形？,3,凸的,面积对称,圆的,2.与小学教师一次讨论：在小学数学中，你认为最重要、最有用的图形是那些？ 我选择了两个：数轴和方格纸,4,举 例,3.数轴的作用：数的单位的认识 整数单位：个、十、百、千等 分数单位：1、1/2、1/3、 、1/6、 等 小学
2、：例如，加、减、除运算 初中：例如，绝对值与距离、不等关系 大学：例如，有理数、无理数稠密与逼近（极限） 在小学、初中、高中、大学探索数轴的作用，这是很好的探究课题。,5,举 例,4.与小学教师一次讨论： 在小学数学中，你认为最重要、最有用的图形是哪些？ 我选择了两个：坐标轴和方格纸 方格纸的作用：图形的平移,5.几何定理证明：中位线定理 如图 运用轴对称、旋转、割补变成矩形或平行四边形 看出那些结果鼓励看出得多的看出了中位线定理 把过程写出来 让写出的过程：有理、清晰、易懂 让学生学会规范 如何用 图发现、证明数学结果中位线定理,6,举 例,上述实例： 图形可以帮助理解 图形可以帮助思考 图
3、形可以帮助探索,1、直观 可以直接看到事物 经过深入理解、思考，使学习、研究对象变得“能直接看到、看透”，使抽象具体，使复杂简单，华罗庚先生一句名言：把书读薄了。常常说：抓住本质。 把这两种理解结合起来。随着学习不断拓展，随着不断思考的深入，“直观能力”会不断提升，认知水平，解决问题能力不断增强。 2、数学直观 举例：直线 欧式几何角度：两点确定直线 解析几何角度：二元一次方程与直线是等价 向量几何角度：一点与一个方向向量唯一确定直线 函数角度：在直角坐标系中，连线不垂直于x-坐标轴的两个点确定一个一次函数（y是x函数） 表示： 拓展：n+1个点，任意两点连线不垂直于x-坐标轴，它们唯一确定一
4、个关于x的n元函数。其表示（拉格朗日插值）。,7,解读“几何直观”,举例：二元一次方程组,8,解读“几何直观”,3、直观几何与几何直观 希尔伯特两本书“几何基础”、“直观几何” 在“直观几何”一书中，他表达这样想法： 运用图形描述问题； 运用图形发现解决问题思路； 运用图形理解、记忆结论。 我们也会听到：很多数学结果是“看出来”的。这是一种学习数学，理解数学的境界。,4、核心概念几何直观 主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。 数学课程标准,9
5、,解读“几何直观”,到底什么是“几何直观”？,几何直观能告诉我们什么是可能重要、可能有意义和可接近的，并使我们在课题、概念与方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦。 弗莱登塔尔,几何直观是借助于见到的（或想象出来的）几何图形的形象关系，对数学的研究对象（空间形式和数量关系）进行直接感知、整体把握的能力。 史宁中、孔凡哲,实物直观,简约符号直观,图形直观,替代物直观,符号直观,图形直观,实物直观,认知直观,核心意思是利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。这个过程
6、帮助我们揭示、理解数学中重要、有意义、本质的东西，更好地 运用数学解决问题。,随着数学学习深入，“图形”称为建立“几何直观”的主要载体，在初中阶段，图形又是数学学习的主要对象，“几何直观”直接作用应该体现在几何学习中。 为了理解“图形”在“学习图形”中的作用，有必要从以下几个方面思考： 对学习的图形有一个整体了解， 研究图形的基本方法。 对学习的图形有一个整体了解 主要图形： 空间中图形：柱、锥、台、球 平面上图形： 直线、射线、线段、角 直线型三角形、四边形、多边形 曲线形圆、抛物线（二次函数）、双曲线（反比例函数）,10,整体把握图形初中数学课程,对学习的图形有一个整体了解 主要图形： 数
7、轴 平面直角坐标系 图形主要关系： 位置关系：平行、垂直、相交 度量关系：长度（距离）、角度、面积 “形状”关系 ：重合、全等、对称、相似、投影 研究图形的基本方法 综合几何（欧式几何）举例 凸多边形内角和与外角和 从统一概念（定义）、事实（公理、定理）出发，根据推理原则（三段论），得到正确结果。 研究图形的基本方法 变换几何初步举例：平行四边形复习课 教学内容 本节课是在学生学习完平行四边形的性质和判定后，教师设计的一节复习课。,11,整体把握图形初中数学课程,平行四边形复习课 教学内容：本节课是在学生学习完平行四边形的性质和判定后，教师设计的一节复习课。 教学目标： 1、依托平行四边形一章
8、的内容，帮助学生学会梳理知识。 2、依托平行四边形一章的内容，帮助学生学会如何抓住本质。 3、帮助学生进一步掌握平行四边形性质。 4、让学生经历独立学习和合作学习过程。 教学形式： 本节课教师主要采用独立学习与小组合作结合方式进行教学活动。主要步骤： 1、教师将全班同学进行分组； 2、确定需要研讨的问题串； 3、提出学生在独立思考的要求； 4、分工合作、交流提升、集体分享等过程；最后，通过学生的学习，分享结果，形成一个资源包，从而保证 每个学生都能有所收获。,12,从一节几何复习课说起,研讨问题串研讨要求 1、每个小组从教材、教参和相关材料中，收集平行四边形判定的充分必要条件（教师提前讲明什么
9、是充分必要条件）； 2、每个小组所找到的一系列充要条件进行分类，并说明自己小组分类的标准和原则。 3、每个小组在自己所找的充要条件中挑一个最喜欢的、最重要的条件，并说明喜欢它的原因，通过完成以下两项工作说明： （1）它可以很简单的推出其他的充要条件； （2）在所有的习题和例题中能找到3-5个题目说明用这个出发点解决问题很方便； 4、（选做题）让学生讨论平行四边形和学过的其他图形有什么关系，并进行相应的整理。 问题串设计辅助说明：,13,平行四边形复习课,A= C； ADB= CBD； ABD= CDB； AD=BC； AB=CD。,研究图形的基本方法 解析几何初步 举例： 两点确定一次函数（两
10、点的连线不能垂直x轴） 三点确定二次函数（每两点的连线不能垂直x轴） n+1点确定n次函数（每两点的连线不能垂直x轴）,14,整体把握图形 初中数学课程,重视“变换几何方法” 不变量：变换中不变的东西 重要、基本的图形都是具有很好对称性的图形 直线、线段、角 圆、正方形、正多边形 矩形、菱形、矩形 用图形描述、理解数学问题 用图形探索解决问题思路 用图形理解、记忆结论,学会运用图形建立“几何直观”,用图形描述、理解数学问题 举例 理解概念：距离,学会运用图形建立“几何直观”,17,学会运用图形建立“几何直观”,18,值得思考和研究的问题,如何理解“几何直观”？ “几何直观”在理解数学、解决问题中作用？ 如何把“几何直观”融入日常教学设计、实施？ “几何直观”仅仅对几何课程，还是对整个数学？ 在初中阶段，哪些是基本和重要图形？,