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1、抛物线及其标准方程,O,y,x,F,M,l,铁军山,感受生活中抛物线图形的例子,复习提问：,到一个定点F的距离和它到一条定直线l 的距离的比 是常数e的动点M 的轨迹.（直线 l 不经过点F）,（1）当0e 1时，点M的轨迹是什么?,（2）当e1时，点M的轨迹是什么?,是椭圆,是双曲线,当e=1时，即|MF|=|MH| ，点M的轨迹是什么？,思考?,几何画板,实验:取一条长为AC的绳子,一端点固定在点A 上,另一端点固定在定点F上,把笔尖放在P点上,沿着直线l上下移动三角形作出点P移动的轨迹图形.,动手做实验,几何画板,平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经 过点F）的距离相等的点的轨迹叫做
2、抛物线,一、抛物线定义,想一想?定义中当直线l经过定点F，则点M的轨迹是什么？,其中 定点F叫做抛物线的焦点 定直线 l 叫做抛物线的准线,即:当|MF|=|MH|时,点M的轨迹 是抛物线,经过点F且垂直于l 的直线,如何求点M的轨迹方程？,求曲线方程的基本步骤是怎样的？,想一想？,回顾求曲线方程一般步骤：,1、建系、设点,2、写出适合条件P的点M的集合,3、列方程,4、化简,5、证明(可省略),如图,设定点F到定直线l 的距离为p（p0）, 如何建立坐标系,求出点M的轨迹方程最简洁?,（1）由|MF|=|MH| ，得 即得y2=2px-p2,（2）由|MF|=|MH| ，得 即得y2=2px
3、,设M（x，y）,把方程 y2 = 2px（p0） 叫做抛物线的标准方程,而p 的几何意义是:,焦点到准线的距离,一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式.,二、标准方程,四种抛物线的标准方程对比,感悟归结:,1、焦点在一次项字母对应的坐标轴上.,2、一次项的系数的符号决定了抛物线的开口方向.,3、焦点坐标的非零坐标是一次项系数的 .,4、准线方程对应的数是一次项系数的 的 相反数.,例1 已知抛物线的标准方程是y2 = 6x， 求它的焦点坐标和准线方程；,解: 2P=6,P=3 所以抛物线的焦点坐标是（ ，0） 准线方程是x=,变式：写出下列抛物
4、线的标准方程、焦点坐标和准 线方程： （1） 6y+5x2=0 ；（2）y=6ax2（a0）.,（2）x2 = y , 焦点坐标为（ 0 ， ）， 准线方程是y=,解：（1） x2 = y ，焦点坐标为（ 0， ）， 准线方程是y=,变式：写出下列抛物线的标准方程、焦点坐 标和准线方程： （1） 6y+5x2=0 ； （2）y=6ax2（a0） .,感悟 ：求抛线的焦点坐标和准线方程要先化成抛物线的标准方程,例2 已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2） 求它的标准方程。,解: 因为焦点在y的负半轴上,所以设所 求的标准方程为x2= -2py 由题意得 ，即p=4 所求的标准方程为x2= -8y,
5、分析:因为焦点坐标是（0，-2）,所以抛物线开口方向是y轴的负方向,它的方程形式为x2= -2py.,待定系数法求抛物线标准方程,例2 已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2） 求它的标准方程。,解: 因为焦点在y的负半轴上,所以设所 求的标准方程为x2= -2py 即 得p=4 所求的标准方程为x2= -8y,分析:因为焦点坐标是（0，-2）,所以抛物线开口方向是y轴的负方向,它的方程形式为x2= -2py.,（1）焦点是F（-2，0），它的标准方程_. （2）准线方程是y = -2，它的标准方程_. （3）焦点到准线的距离是4,它的标准方程_.,变式:,y2=-8x,x2=8y,x2=8y 、
6、y2=8x,（1）,（2）,解题感悟:,用待定系数法求抛物线标准方程的步骤：,（1）确定抛物线的形式.,（2）求p值,（3）写抛物线方程,注意:焦点或开口方向不定，则要注意分类讨论,例3、点M与点F（4，0）的距离比它到直线l：x50的距离小1，求点M的轨迹方程,如图可知原条件等价于M点到F（4，0）和到x4距离相等，由抛物线的定义，点M的轨迹是以F（4，0）为焦点，x4为准线的抛物线所求方程是y216x,分析：,1 、求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程。,解:（1）当抛物线的焦点在y轴 的正半轴上时，把A（-3，2） 代入x2 =2py，得p=,（2）当焦点在x轴的负半轴上时， 把A（-
7、3，2）代入y2 = -2px， 得p=,抛物线的标准方程为x2 = y或y2 = x 。,巩固提高：,2、M是抛物线y2 = 2px（P0）上一点，若点 M 的横坐标为X0，则点M到焦点的距离是 ,这就是抛物线的焦半径公式!,1、理解抛物线的定义,标准方程类型.,2、会求不同类型抛物线的焦点坐标、准线方程,3、掌握用待定系数法求抛物线标准方程,4、注重数形结合和分类讨论的解题方法.,小结,讨论题：,1 若抛物线y2=8x上一点M到原点的距离 等于点M到准线的距离则点M的坐标是,2 已知定点A(3,2)和抛物线y2=2x, F是抛物线 焦点，试在抛物线上求一点P,使 PA与PF 的 距离之和最小，并求出这个最小值。,谢谢！再见！,