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1、轴对称 变换的实际应用,哈尔滨市延寿县寿山中学 王成,2011.11.1,讲解新课,问题1 如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A，B两城镇供气（即两城市之间没有管道）.泵站修在什么地方，可使所用的输气管线最短?,实际问题数学化,（1） 如图，已知点A、B在直线l的同侧.在l上找点P，使PA+PB最小. （2）对“线段和最小”的理解 在直线l上任取两点P1、P2，通过度量，比较AP1+BP1与AP2+BP2的大小.,（3）对画图找点的引导 辅助问题： 如图，已知点A、B在直线l的异侧，在l上找点P，使PA+PB最小. 解略.,（4）求解问题1 解：作点B关于直线l的对称点B1，连接AB1
2、，AB1与直线l交于P，点P即为所求. 理由：如图，由轴对称性质BP=B1P，所以AP+BP=AP+B1P，当A、P、B1三点共线时AB1最短，所以P点为所求.,数学思考,如果P1是异于点P的一点，你能证明AP1+BP1 AP+BP吗？ 证明：连接B1P1. 由轴对称性质， BP1=B1P1，BP=B1P. 所以 AP1+BP1=AP1+ B1P1， AP+BP=AP+ B1P =AB1， 在AP1B1中，AP1+B1P1AB1， 即 AP1+BP1 AP+BP.,问题2,如图，已知甲、乙、丙三做接力游戏，开始时,甲站在AOB内的P点，乙站在OA边上，丙站在OB边上，游戏规则：甲将接力棒传给乙
3、，乙将接力棒传给丙，最后丙跑至终点P处。如果三人速度相同，试作图求出乙丙站在何处，他们比赛所用时间最短。,解：三人的速度一定且相同，要使比赛时间最短，只需 三人所走的路程最短，因此可以利用轴对称知识，作点P关于 OA、OB的对称点P1 、 P2 ，连接P1P2 ，交OA于M，交OBN于，则点M和点N应分别是乙、丙的位置。这样连接MP、NP则三人行的路程和为MN+MP+NP = MN+M P1+ N P2 = P1P2,问题3 如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地某一处牧马，再到河边饮马，然后牵马回到帐篷，请你帮他确定这一天所走的最短路线.,应用所学的知识解决问题,实际
4、问题数学化,如图，已知MON内有两定点A、B，分别在OM和ON上各点C、D，使AC+CD+BD最小.,问题的求解,解：作点A关于OM的对称点A1，作点B关于ON的对称点B1，连接A1B1， A1B1与OM、ON分别交于点C、D，则此时AC+CD+BD最小.,某开发区新建了两片住宅区:A区、B区（如图）.现在要从煤气主管道的一个地方建立一个接口,同时向这两个小区供气.请问,这个接口应建在哪,才能使得所用管道最短?,请你出谋划策,l,B,A,P,A,P,作法:,1.作点A关于直线l的对称点 A;,已知:直线l和l的同侧两点A、B.,2.连结AB,交l于点 P., 点P就是所求的点., 直线 l是点
5、A、A的对称轴，点P、P在对称轴上， AP=AP,AP=AP.,在l 上任取另一点P,连结AP、AP、BP、AP.,证明:,在ABP中，ABAP+BP,AP+BP AP+BP, 即AP+BP 最小.,求作:点P,使它在直线l上,并使AP+BP最小.,AP+BP=AP+BP=AB.,如图,牧童在A处放牛,其家在B处,A、B到河岸的距离分别为AC、BD，且AC=BD，若A到河岸CD的中点的距离为500m,若牧童从A处将牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短？最短路程是多少？,A,D,C,B,N,M,A,1000m,迁移与应用,变:如图,牧童在A处放牛,其家在B处,A、B到河岸的距离分别为AC、BD，且ACBD，若牧童从A处将牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短？,A,D,C,B,M,A,变:如图，已知，AOB内有一点P，求作PQR，使Q在OA 上，R在OB上，且使PQR的周长最小.,P,P,R,Q,小结,作业,谢谢大家,