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1、第一章 静电场,Steady Electric Field,基本方程、分界面上的衔接条件,边值问题、惟一性问题,分离变量法,有限差分法,镜像法和电轴法,电容和部分电容,静电能量与力,静电场的应用,环路定律、高斯定律,电场强度和电位,序,下 页,返 回,1.0 序,静电场是相对观察者静止且量值不随时间变化的电荷所产生的电场。它是电磁理论最基本的内容。由此建立的物理概念、分析方法在一定条件下可应用推广到恒定电场,恒定磁场及时变场。,本章要求 深刻理解电场强度、电位移矢量、电位、极化等概念。掌握静电场基本方程和分界面衔接条件。掌握电位的边值问题及其解法。熟练掌握电场、电位、电容、能量、力的各种计算方
2、法。,Introduction,下 页,上 页,返 回,静电参数(电容及部分电容),静电能量与力,有限差分法,镜像法,电轴法,分离变量法,直接积分法,数值法,解析法,边值问题,边界条件,电位,基本方程,D 的散度,基本物理量 E、D,基本实验定律（库仑定律）,静电场知识结构,E 的旋度,下 页,上 页,返 回,1.1.1 库仑定律 (Coulombs Low),Electric Field Intensity and Electric Potential,N (牛顿),适用条件：,库仑定律,1.1 电场强度和电位,图1.1.1 两点电荷间的作用力,两个可视为点电荷的带电体之间的相互作用力;,下
3、 页,上 页,返 回,1.1.2 电场强度 ( Electric Intensity ),V/m ( N/C ),定义：电场强度 E 等于单位正电荷所受的电场力F,（a） 单个点电荷产生的电场强度,V/m,图1.1.2 点电荷的电场,一般表达式为,下 页,上 页,返 回,（b) n个点电荷产生的电场强度 ( 矢量叠加原理 ),（c) 连续分布电荷产生的电场强度,图1.1.4 体电荷的电场,图1.1.3 矢量叠加原理,元电荷产生的电场,下 页,上 页,返 回,线电荷分布,体电荷分布,面电荷分布,下 页,上 页,返 回,解: 轴对称场，圆柱坐标系。,例1.1.1 真空中有一长为L的均匀带电直导线，
4、电荷线密度为 ,试求P 点的电场。,下 页,上 页,返 回,图1.1.5 带电长直导线的电场,无限长直导线产生的电场,平行平面场。,下 页,上 页,返 回,矢量积分与标量积分；,点电荷是电荷体分布的极限情况，可以把它看成是一个体积很小，电荷密度为 ，总电量不变的带电小球体。,基本概念,平行平面场与轴对称场；,点电荷的相对概念和数学模型,下 页,上 页,返 回,矢量恒等式,1. 静电场的旋度,1.1.3 旋度和环路定律 ( Curl and Circuital Law ),点电荷电场,取旋度,下 页,上 页,返 回,2. 静电场的环路定律,电场力作功与路径无关,静电场是保守场，是无旋场。,由St
5、okes定理，静电场在任一闭合环路的环量,说明,即,下 页,上 页,返 回,1.1.4 电位函数 ( Electric Potential ),负号表示电场强度的方向从高电位指向低电位。在直角坐标系中,1. E 与 的微分关系,根据E与 的微分关系，试问静电场中的某一点,( ),( ),?,?,下 页,上 页,返 回,所以,2. 已知电荷求电位,点电荷群,连续分布电荷,以点电荷为例,下 页,上 页,返 回,3. 与 E 的积分关系,图1.1.6 E 与 的积分关系,线积分,式中,设P0为电位参考点，即 ， 则P点电位为,所以,下 页,上 页,返 回,4. 电位参考点,例如：点电荷产生的电位：,
6、点电荷所在处不能作为参考点,场中任意两点之间的电位差与参考点无关。,选择参考点尽可能使电位表达式比较简单。,电位参考点可任意选择，但同一问题，一般只能选取一个参考点。,下 页,上 页,返 回,电荷分布在有限区域时，选择无穷远处为参考点。,电荷分布在无穷远区时，选择有限远处为参考点， 为什么？,见参考书电磁学专题研究P591P597,下 页,上 页,返 回,5) 电力线与等位线（面）,E 线微分方程,直角坐标系,当取不同的 C 值时，可得到不同的等位线( 面 )。,等位线(面)方程,曲线上任一点的切线方向是该点电场强度 E 的方向。,电位相等的点连成的曲面称为等位面。,1.1.7 电力线方程,下
7、 页,上 页,返 回,解： 在球坐标系中,所以,用二项式展开，又有rd，得,例1.2.1 画出电偶极子的等位线和电力线 ( rd ) 。,图1.1.8 电偶极子,下 页,上 页,返 回,电力线方程 ( 球坐标系 ) ：,等位线方程 ( 球坐标系 ) ：,将 和 代入 E 线方程,表示电偶极矩（dipole moment)，方向由,-q 指向 +q。,图1.1.9 电偶极子的等位线和电力线,下 页,上 页,返 回,电力线与等位线（面）的性质：,图1.1.10 点电荷与接地导体的电场,图1.1.11 点电荷与不接地导 体的电场,E 线不能相交,E 线起始于正电荷，终 止于负电荷;,E 线愈密处，场
8、强愈大;,E 线与等位线（面）正交；,下 页,上 页,返 回,图1.1.12 介质球在均匀电场中,图1.1.13 导体球在均匀电场中,图1.1.14 点电荷位于无限大介质上方,图1.1.15 点电荷位于无限大导板上方,下 页,上 页,返 回,作散度运算,1.2.1 真空中的高斯定律 (Gausss Theorem in Vacuum),高斯定律的微分形式,1. E 的散度,说明 静电场是有源场，电荷是电场的通量源。,1.2 高斯定律,Gausss Theorem,下 页,上 页,返 回,2. E 的通量,S 面上的 E 是由系统中全部电荷产生的。,E 的通量等于闭合面 S 包围的净电荷。,下
9、页,上 页,返 回,1.2.2. 电介质中的高斯定律 (Gausss Theorem in Dielectric),1. 静电场中导体的性质,导体内电场强度 E 为零，静电平衡；,导体是等位体，导体表面为等位面；,电场强度垂直于导体表面，电荷分布在导体表面，,接地导体都不带电。（ ）,一导体的电位为零，则该导体不带电。 （ ）,任何导体，只要它们带电量不变，则其电位是不 变的。 （ ）,下 页,上 页,返 回,2. 静电场中的电介质,电介质在外电场作用下发生极化，形成有向排列；,电介质内部和表面产生极化电荷 (polarized charge)；,极化电荷与自由电荷都是产生电场的源。,下 页,
10、上 页,返 回,极化强度P ( polarization intensity )表示电介质的极化程度，即,实验结果表明，在各向同性、线性、均匀介质中,电介质的极化率,各向同性媒质 媒质特性不随电场的方向改变,反之，称为各向异性媒质；,线性媒质 媒质参数不随电场的值而变化，反之，称为非线性媒质；,均匀媒质 媒质参数不随空间坐标而变化，反 之，称为非均匀媒质。,下 页,上 页,返 回,极化强度 P 是电偶极矩体密度，单个电偶极子产生的电位,体积 V 内电偶极子产生的电位,3. 极化强度与极化电荷的关系,图1.2.4 电偶极子产生的电位,下 页,上 页,返 回,矢量恒等式：,下 页,上 页,返 回,
11、图1.2.5 体积 V 内电偶极矩产生的电位,极化电荷面密度,下 页,上 页,返 回,思考,根据电荷守恒定律，极化电荷的总和为零,电介质均匀极化时，极化电荷体密度,有电介质时，场量为,下 页,上 页,返 回,4. 电介质中的高斯定律,取体积分,下 页,上 页,返 回,在各向同性介质中,介电常数 F/m,其中 相对介电常数，无量纲量。,构成方程,下 页,上 页,返 回,例1.2.1 平板电容器中有一块介质,画出D 、E 和 P 线分布。,思考,D 线由正的自由电荷出发，终止于负的自由电荷；,E 线由正电荷出发，终止于负电荷；,P 线由负的极化电荷出发，终止于正的极化电荷。,电介质内部的电场强度是
12、否减少了？,下 页,上 页,返 回,例 1.2.2 若点电荷q 分别置于金属球壳内外，问,（1) 穿过闭合面（金属球壳）的 D 通量是多少？,（2) 闭合面上的 D 与 q 有关吗？,（3) 若在金属球壳外放置电介质，重问 1 )，闭合 面上 的 D 与电介质有关吗？,下 页,上 页,返 回,图1.2.7 点电荷 q 分别置于金属球壳的内外,计算技巧：,a） 分析场分布的对称性，判断能否用高斯定律 求解。,b）选择适当的闭合面作为高斯面，使 中的 D 可作为常数提出积分号外。,高斯定律适用于任何情况，但仅具有一定对 称性的场才有解析解。,5. 高斯定律的应用,下 页,上 页,返 回,例1.2.
13、3 试求电荷线密度为 的无限长均匀带电体的电场。,解: 分析场分布,取圆柱坐标系,由,得,下 页,上 页,返 回,图1.2.8 无限长均匀带电体,球壳内的电场,球壳外的电场,例1.2.4 哪些区域的电场能用高斯定律直接求解？,下 页,上 页,返 回,图1.2.10 q分别在金属球内外,图1.2.9 q在金属球壳内,1.3 基本方程、分界面上的衔接条件,1.3.1 基本方程 ( Basic Equation ),静电场是有源无旋场，静止电荷是静电场的源。,Basic Equation and Boundary Condition,静电场的基本方程为,微分形式,积分形式,构成方程,下 页,上 页,
14、返 回,矢量 A 可以表示一个静电场。,能否根据矢量场的散度判断该场是否静电场?,例1.3.1 已知 试判断它能否表示静电场？,解: 根据静电场的旋度恒等于零的性质,思考,下 页,上 页,返 回,包围点 P 作高斯面 ( )。,1.3.2 分界面上的衔接条件（Boundary Condition),1. D 的衔接条件,则有,根据,图1.3.1 介质分界面,D 的法向分量不连续,当 时， D 的法向分量连续。,下 页,上 页,返 回,2. E 的衔接条件,围绕点 P 作一矩形回路( )。,E 的切向分量连续。,根据,则有,3. 折射定理,当交界面上 时，,折射定律,下 页,上 页,返 回,图1
15、.3.2 介质分界面,4、 的衔接条件,设 P1 与 P2 位于分界面两侧，,由 ，其中,图1.3.3 电位的衔接条件,下 页,上 页,返 回,说明 （1）导体表面是等位面，E 线与导体表面垂直；,图1.3.4 导体与电介质分界面,例1.3.2 试写出导体与电介质分界面上的衔接条件。,解: 分界面衔接条件,导体中 E0 ，分解面介质侧,（2）导体表面上任一点的 D 等于该点的 。,下 页,上 页,返 回,解：忽略边缘效应,图(a),图(b),例1.3.3 试求两个平行板电容器的电场强度。,下 页,上 页,返 回,图1.3.5 平行板电容器,1.4 边值问题、惟一性定理,1.4.1 泊松方程与拉
16、普拉斯方程 (Poissons Equation and Laplaces Equation),泊松方程,拉普拉斯算子,Boundary Value Problem and Uniqueness Theorem,下 页,上 页,返 回,1.4.2 边值问题（Boundary Problem),边值问题,微分方程,边界条件,初始条件,场域边界条件(待讲）,分界面衔 接条件,强制边界条件 有限值,自然边界条件 有限值,泊松方程,拉普拉斯方程,下 页,上 页,返 回,场域边界条件,1）第一类边界条件（狄里赫利条件，Dirichlet),2）第二类边界条件（诺依曼条件 Neumann),3）第三类边界
17、条件,已知边界上电位及电位法向导数的线性组合,已知边界上导体的电位,已知边界上电位的法向导数(即电荷面密度 或 电力线),下 页,上 页,返 回,计算法,实验法,解析法,数值法,实测法,模拟法,边 值 问 题,下 页,上 页,返 回,例1.4.2 试写出长直同轴电缆中静电场的边值问题。,解：根据场分布的对称性确定计算场域，边值问题,（阴影区域）,下 页,上 页,返 回,图1.4.1 缆心为正方形的 同轴电缆,通解,例1.4.3 试求体电荷产生的电位及电场。,解：采用球坐标系,分区域建立方程,边界条件,参考电位,下 页,上 页,返 回,图1.4.2 体电荷分布的球体,电场强度（球坐标梯度公式）：
18、,得到,图1.4.3 随r变化曲线,下 页,上 页,返 回,答案:（C ）,1.4.3 惟一性定理（Uniqueness Theorem),例1.4.4 图示平板电容器的电位，哪一个解答正确？,惟一性定理 ： 在静电场中，满足给定边界条件的电位微分方程的解是惟一的。,下 页,上 页,返 回,图1.4.4 平板电容器外加电源U0,1.5 分离变量法,分离变量法采用正交坐标系，将变量分离后得到微分方程的通解， 当场域边界与正交坐标面重合或平行时，才可确定积分常数，得到边值问题的解。,1.5.1 解题的一般步骤：,Separation Variable Method,分离变量，将偏微分方程分离成几个
19、常微分方程；,解常微分方程，并叠加得到通解；,写出边值问题（微分方程和边界条件）；,利用边界条件确定积分常数，最终得到电位的解。,下 页,上 页,返 回,例1.5.1 试求长直接地金属槽内电位的分布。,解: 边值问题,1.5.2 应用实例,1. 直角坐标系中的分离变量法（二维场）,下 页,上 页,返 回,分离变量,设,-分离常数,代入微分方程，,下 页,上 页,返 回,代入边界条件，确定积分常数,通解,沿 x方向作正弦变化，,下 页,上 页,返 回,图1.5.2 双曲函数,比较系数,当 时，,当 时，,下 页,上 页,返 回,若金属槽盖电位 ，再求槽内电位分布,通解,等式两端同乘以 ，然后从
20、积分,左式,当 时，,下 页,上 页,返 回,右式 ,代入式（1）,代入通解,n奇数,下 页,上 页,返 回,图1.5.3 接地金属槽内 的等位线分布,解： 取圆柱坐标系，边值问题,根据对称性,例1.5.2 垂直于均匀电场 E 放置 一根无限长均匀介质圆柱棒 ， 试求 圆柱内外 和 E 的分布。,下 页,上 页,返 回,图1.5.4 均匀电场中的介质圆柱棒,当 时，,当 时，,代入微分方程,分离变量, 设,通解,取 n2 = 常数，令,下 页,上 页,返 回,根据 ， 比较系数得到,当 时，,根据,利用给定边界条件确定积分常数,当 时，,通解,下 页,上 页,返 回,比较系数,当n=1时，,当
21、 时，An=Bn= 0， 则最终解,由分界面 的衔接条件，得,下 页,上 页,返 回,图1.5.5 均匀外电场中介质圆柱内外的电场,介质柱内电场均匀，并与外加电场 E0 平行，且 E2 E1 。,下 页,上 页,返 回,1.6 有限差分法,1.6.1 二维泊松方程的差分格式 (Difference Form of 2D Poissons Equation),（1）,二维静电场边值问题,Finite Difference Method,基本思想：将场域离散为许多网格 ，应用差分原理，将求解连续函数 的微分方程问题转换为求解网格节点上 的代数方程组的问题。,（2）,下 页,上 页,返 回,1.6.
22、1 有限差分的网格分割,令 h = x - x0，将 x = x1 和 x3 分别代入式 ( 3 ),（3）,由式（4）+（5）,（6）,（7）,同理,沿 x方向在 x0 处的泰勒公式展开为,下 页,上 页,返 回,将式(6)、式(7)代入式(1)，得到,当场域中,即,即,若场域离散为矩形网格，差分格式为,1.6.2 矩形网格剖分,五点差分格式,下 页,上 页,返 回,1.6.2 边界条件离散化（Discrete Boundary Condition),第二类边界条件,第一类边界条件,分界面衔接条件,对称边界条件,其中,图1.6.5 介质分界面,下 页,上 页,返 回,图1.6.3 对称边界,
23、图1.6.4 对称分界,1.6.3 差分方程组的求解方法 ( Solution Method ),1、高斯赛德尔迭代法,式中：,迭代过程直到节点电位满足 为止。,2、超松弛迭代法,式中：a 加速收敛因子（1 a 2）,下 页,上 页,返 回,图1.6.5 网格编号,收敛速度与 a 有明显关系：,收敛因子（ a ） 1.0 1.7 1.8 1.83 1.85 1.87 1.9 2.0 迭代次数（ N） 1000 269 174 143 122 133 171 发散,最佳收敛因子的经验公式（不唯一）,（正方形场域、正方形网格）,（矩形场域、正方形网格）,收敛速度与电位初始值及网格剖分粗细有关；,迭
24、代次数与工程精度 有关。,下 页,上 页,返 回,边界节点赋已知电位值,赋节点电位初始值,累计迭代次数 N=0,N=N+1,按超松弛法进行一次迭代，求,打印,N,Y,程序框图,下 页,上 页,返 回,上机作业要求：,1. 试用超松弛迭代法求解接地金属槽内电位的分布。,给定边值：如图示；,已知：,计算：迭代次数 N =? , 分布。,给定初值：,误差范围：,下 页,上 页,返 回,图1.6.6 接地金属槽的网格剖分,给定边值：如图示；,已知：,2. 按对称场差分格式求解电位的分布,计算：1) 迭代次数 N = ? , 分布；,给定初值：,误差范围：,2) 按电位差 画出槽中等位线。,下 页,上
25、页,返 回,图1.6.7 接地金属槽内半场域的网格剖分,3.选做题,已知：无限长矩形屏蔽空腔中长直矩形导体的横截面如图示，且给定参数为,图1.6.8 无限长矩形屏蔽空 腔中长直矩形导体的横截面,要求 用超松弛选代法求解无限长矩形屏蔽空腔 中长直矩形导体周围的电位分布;,画出屏蔽腔中矩形导体周围等位线分布;,下 页,上 页,返 回,1.7 镜像法与电轴法,1.7.1 镜像法（Image Method),1. 平面导体的镜像,图1.7.1 平面导体的镜像,Image Method and Electric Axis Method,方程相同，边界条件相同，解惟一。,下 页,上 页,返 回,空气中除点
26、电荷外,，,a,地面上感应电荷的总量为,（方向指向地面）,例1.7.1 试求空气中点电荷 q 在地面引起的感应电荷分布。,解：设点电荷 q 镜像后,图1.7.2 地面电荷分布,下 页,上 页,返 回,2. 球面导体的镜像,点电荷位于接地导体球外的边值问题,（除q点外的空间),设镜像电荷 如图，球面电位,下 页,上 页,返 回,图1.7.3 点电荷对接地导体球的镜像,将 r1, r2 代入方程 ，得,联立求解,得到,下 页,上 页,返 回,球外任一点 P 的电位与电场为,图1.7.5 球外的电场分布,镜像电荷放在当前求解的场域外。,镜像电荷等于负的感应电荷总量。,图1.7.4 球外的电场计算,下
27、 页,上 页,返 回,例1.7.2 不接地金属球附近放置点电荷q的电场分布。,则,任一点场强,解： 边值问题,（除q点外的空间),通量为零（ 大小相等）,球面等位（ 位于球心）,思路,图1.7.6 不接地金属球的镜像,下 页,上 页,返 回,用镜像法求解下列问题，试确定镜像电荷的个数，大小与位置。,图1.7.7 点电荷位于不接地导体 球附近的场图,任一点电位,球面电位,思考,下 页,上 页,返 回,图1.7.8 点电荷对导体球面的镜像,3. 不同介质分界面的镜像,根据惟一性定理,图1.7.9 点电荷对无限大介质分界面的镜像,下 页,上 页,返 回,图1.7.10 电场分布图,中的电场由 q 与
28、 q 共同产生，q等效替代极化电荷的影响。,中的电场由 q” 决定，q” 等效替代自由电荷与极化电荷的作用。,图1.7.11 点电荷 q1 与 q2 分别置于 与 区域中,思考,下 页,上 页,返 回,1.7.2 电轴法（Electric Axis Method）,(导线以外的空间),边值问题,下 页,上 页,返 回,1.7.12 长直平行双传输线,1. 两根细导线产生的电位,以 y 轴为参考电位， C=0， 则,令： C， 等位线方程,图1.7.13 两根带电细导线,下 页,上 页,返 回,K 取不同值时，得到一族偏心圆。,a、h、b满足关系,整理后，等位线方程,圆心坐标,圆半径,图1.7.
29、14 两根细导线的等位线,下 页,上 页,返 回,根据 ，得到 Ex 和 Ey 分量,图1.7.15 两细导线的场图,E 线方程,思考,若在任一等位面上放一无厚度的金属圆柱壳， 是否会影响电场分布？,若在金属圆柱管内填充金属，重答上问。,下 页,上 页,返 回,2. 电轴法,( 以 y 轴为参考电位),例1.7.3 试求两带电长直平行传输线的电场及电位分布。,b) 圆柱导线间的电场与电位,电轴位置,下 页,上 页,返 回,图1.7.16 平行传输线电场的计算,例1.7.4 试决定图示不同半径平行长直导线的电轴位置。,图1.7.17 不同半径传输线的电轴位置,解：,下 页,上 页,返 回,1）参
30、考电位的位置； 2）有效区域。,例1.7.5 试确定图示偏心电缆的电轴位置。,注意：,图1.7.18 偏心电缆电轴位置,下 页,上 页,返 回,例1.7.6 已知平行传输线之间电压为U0, 试求电位分布。,解： 确定电轴的位置,所以,设电轴线电荷 ，任一点电位,下 页,上 页,返 回,图1.7.19 电压为U0的传输线,镜像法（电轴法）小结,镜像法（电轴法）的理论基础是：,镜像法（电轴法）的实质是：,镜像法（电轴法）的关键是：,镜像电荷（电轴）只能放在待求场域以外的区 域。叠加时，要注意场的适用区域。,用虚设的镜像电荷（电轴）替代未知电荷的分 布，使计算场域为无限大均匀媒质；,静电场惟一性定理
31、；,确定镜像电荷（电轴）的个数、大小及位置；,应用镜像法（电轴法）解题时，注意：,下 页,上 页,返 回,1.8.1 电容器的电容（Capacitance of Capacitor),Capacitance and Distributed Capacitance,1.8 电容及部分电容,电容只与两导体的几何尺寸、相互位置及周围的介质有关。,工程上的电容器：电力电容器，电子线路用的各种小电容器。,电容的计算思路：,设,下 页,上 页,返 回,解： 设内导体的电荷为 q ，则,同心球壳间的电压,球形电容器的电容,例1.8.1 试求同心球壳电容器的电容。,下 页,上 页,返 回,图1.8.1 同心球
32、壳电容器,1.8.2 部分（分布）电容（Distributed Capacitance),1. 已知导体的电荷，求电位和电位系数,图1.8.2 三导体静电独立系统,多导体系统,静电独立系统,部分电容,基本概念,下 页,上 页,返 回,导体的电位与电荷的关系为,下 页,上 页,返 回,下 页,上 页,返 回,矩阵形式,2. 已知带电导体的电位，求电荷和感应系数,b 静电感应系数，表示导体电位对导体电荷的贡献；,bii 自有感应系数，表示导体 i 电位对导体 i 电荷的贡献；,bij 互有感应系数，表示导体 j 电位对导体 i 电荷的贡献。,矩阵形式：,下 页,上 页,返 回,3. 已知带电导体间
33、的电压，求电荷和部分电容,矩阵形式,部分电容的性质,静电独立系统中n1个导体有 个部分电容,Ci j均为正值，,下 页,上 页,返 回,部分电容是否为零，取决于两导体之间有否电力 线相连；,部分电容可将场的概念与电路结合起来。,下 页,上 页,返 回,图1.8.3 部分电容与电容网络,例1.8.2 试计算考虑大地影响时，两线传输线的部分电容及等效电容。已知da, 且ah。,解： 部分电容个数,由对称性，得,图1.8.4 两线输电线及其电容网络,下 页,上 页,返 回,利用镜像法，两导体的电位,代入式（2），得,下 页,上 页,返 回,图1.8.5 两线输电线对大地的镜像,联立解得,两线间的等效
34、电容：,下 页,上 页,返 回,所以,静电屏蔽在工程上有广泛应用。,图1.8.6 静电屏蔽,三导体系统的方程为：,4. 静电屏蔽,当 时，,说明 1 号与 2 号导体之 间无静电联系，实现了静电屏蔽。,下 页,上 页,返 回,1.9 静电能量与力,1.9.1 静电能量 (Electrostatic Energy),Electrostatic Energy and Force,1. 用场源表示静电能量,q3 从 移到 c点，所需能量,q2 从 移到 b 点，需克服 q1 的电场力做功，,q1 从 移到 a 点不受力，所需能量 W1=0，,下 页,上 页,返 回,图1.9.1 点电荷的能量,总能量
35、,推广 1： 若有 n 个点电荷的系统，静电能量为,单位：J（焦耳）,推广 2 ： 若是连续分布的电荷，,下 页,上 页,返 回,2. 用场量表示静电能量,矢量恒等式,能量密度,因 当 时，面积分为零，故,下 页,上 页,返 回,例1.9.1 试求真空中体电荷密度为 的介质球产生的静电能量。,解法一 由场量求静电能量,下 页,上 页,返 回,解法二 由场源求静电能量,球内任一点的电位,代入式（1）,(1),下 页,上 页,返 回,例1.9.2 原子可看成由带正电荷q的原子核被体电荷分布的负电荷云-q包围，试求原子结合能。,解：,例1.9.1中当 时,下 页,上 页,返 回,图1.9.2 原子结
36、构模型,1.9.2 静电力 (Electrostatic Force),1. 虚位移法 ( Virtual Displacement Method ),功 = 广义力广义坐标,广义力 f ：企图改变广义坐标的力。,广义坐标 g：距离、面积、体积、角度。,下 页,上 页,返 回,力的方向：f 的正方向为 g 增加的方向。,（1）常电荷系统（ K断开 ）,表示取消外源后，电场力作功必须靠减少电场 中静电能量来实现。,在多导体系统中，导体p发生位移dg后,其功能关系为,外源提供能量 = 静电能量增量 + 电场力所作功,即,图1.9.3 多导体系统 ( K 断开 ),下 页,上 页,返 回,外源提供能
37、量的增量,说明：外源提供的能量有一半用于静电能量的增量，另一半用于电场力做功。,（2） 常电位系统（ K 闭合）,广义力是代数量 ，根据 f 的“”号判断力的方向。,图1.9.4 多导体系统( K 闭合 ),下 页,上 页,返 回,解法一：常电位系统,例1.9.3 试求图示平行板电容器极板的电场力。,图1.9.5 平行板电容器,取 d 为广义坐标（相对位置坐标）,负号表示电场力企图使 d 减小，即电容增大。,下 页,上 页,返 回,解法二：常电荷系统,负号表示电场力企图使 d 减小，即电容增大。,下 页,上 页,返 回,例1.9.4 图示一球形薄膜带电表面，半径为a ，其上带电荷为q，试求薄膜
38、单位面积所受的电场力。,解： 取体积为广义坐标,f 的方向是广义坐标V增加的方向，表现为膨胀力。,N/m2,下 页,上 页,返 回,图1.9.6 球形薄膜,2. 法拉第观点（Farades review）,法拉第认为，沿通量线作一通量管，沿其轴向受到纵张力，垂直于轴向受到侧压力，其大小为,图1.9.9 根椐场图判断带电体受力,下 页,上 页,返 回,图1.9.7 电位移管受力情况,图1.9.8 物体受力情况,例1.9.5 计算平板电容器中介质分界面上的压强。,图(a),若 ，则 力由 指向 。,结论: 分界面受力总是从 大的介质指向 小的介质。,下 页,上 页,返 回,图(b),结论: 分界面
39、受力总是从 大的介质指向 小的介质。,若 ，则 力由 指向 。,(b),下 页,上 页,返 回,静态场的应用,图1.9.11 静电分离,Steady Field Applications,上 页,返 回,对场点坐标作散度运算,矢量恒等式,推导电场强度的散度公式,下 页,返 回,即场点与源点不重合时,所以,返 回,对称场源高斯面的选取,球对称分布：如均匀带电的球面，球体和多 层同心球壳等。,轴对称分布：如无限长均匀带电的细线，圆柱体，圆柱壳等。,无限大平面电荷：如无限大的均匀带电平板 有厚度的带电平板等。,返 回,惟一性定理的证明,（1）,（2）,对式（2）两端求体积分,证明（反证法）,下 页,
40、返 回,2. 若为第二类边值问题，在边界上,1. 若为第一类边值问题，在边界上 有限，且,故面积分为零，要满足式（3），必有 ，即,此式也必须满足边界，所以c0，有 ，电位是惟一的。,同上原因， 或 ，即 电场强度是惟一的。当电位参考点确定后，电位是惟一的.,返 回,电力电容,下 页,返 回,电力电容,下 页,上 页,返 回,冲击电压发生器,下 页,上 页,返 回,电力电容,下 页,上 页,返 回,变压器（6kV:250kV）,调压器（06kV）,水电阻,可产生1800kV冲击电压,放电铜球,放电线路,六氟化硫SF6气体绝缘设备,上 页,返 回,电力电缆,下 页,返 回,220kV XLPE交链聚乙烯高压电力电缆,下 页,上 页,返 回,6kV三相矿用橡套电缆（中间地线、右侧测量线）,下 页,上 页,返 回,电力电缆,上 页,返 回,屏蔽室门,下 页,返 回,屏蔽室门（双层铜皮）,下 页,上 页,返 回,测量局部放电,上 页,返 回,