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1、第11章 一元线性回归,11.1 变量间关系的度量,是一一对应的确定关系 设有两个变量 x 和 y ，变量 y 随变量 x 一起变化，并完全依赖于 x ，当变量 x 取某个数值时， y 依确定的关系取相应的值，则称 y 是 x 的函数，记为 y = f (x)，其中 x 称为自变量，y 称为因变量 各观测点落在一条线上,11.1.1 变量间的关系,函数关系,变量间的关系 （函数关系）, 函数关系的例子 某种商品的销售额(y)与销售量(x)之间的关系可表示为 y = p x (p 为单价) 圆的面积(S)与半径之间的关系可表示为S = R2 企业的原材料消耗额(y)与产量(x1) 、单位产量消耗
2、(x2) 、原材料价格(x3)之间的关系可表示为y = x1 x2 x3,变量间关系不能用函数关系精确表达 一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定 当变量 x 取某个值时，变量 y 的取值可能有几个 各观测点分布在直线周围,相关关系, 相关关系的例子 商品的消费量(y)与居民收入(x)之间的关系 商品销售额(y)与广告费支出(x)之间的关系 粮食亩产量(y)与施肥量(x1) 、降雨量(x2) 、温度(x3)之间的关系 收入水平(y)与受教育程度(x)之间的关系 父亲身高(y)与子女身高(x)之间的关系,相关关系的类型,相关关系的图示,11.1.2 相关关系的描述与测度 相关系数 对变量之间关系
3、密切程度的度量 对两个变量之间线性相关程度的度量称为简单相关系数 若相关系数是根据总体全部数据计算的，称为总体相关系数，记为 若是根据样本数据计算的，则称为样本相关系数，记为 r, 样本相关系数的计算公式,或化简为,相关系数取值及其意义 r 的取值范围是 -1,1，|r|=1，为完全相关。r =1，为完全正相关；r =-1，为完全负正相关； r = 0，不存在线性相关关系。-1r0，为负相关，0r1，为正相关。|r|越趋于1表示关系越密切；|r|越趋于0表示关系越不密切 r具有对称性 r的数值与x、y的原点和计量单位无关 r=0不能说说明变量间没有关系，只能说明没有线性关系 线性关系不表示因果
4、关系,11.1.3 相关系数的显著性检验 1.r的抽样分布,2. r的显著性检验 （1）建立假设 假设总体相关系数为 H0: = 0， H1: 0 （2）计算检验的统计量 （3）确定显著性水平，并作出决策 若tt，拒绝H0 若tt，接受H0,11.2一元线性回归,什么是回归分析？（内容）,从一组样本数据出发，确定变量之间的数学关系式 对这些关系式的可信程度进行各种统计检验，并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些变量的影响显著，哪些不显著 利用所求的关系式，根据一个或几个变量的取值来预测或控制另一个特定变量的取值，并给出这种预测或控制的精确程度,回归分析与相关分析的区别,相关分析中，变量 x
5、变量 y 处于平等的地位；回归分析中，变量 y 称为因变量，处在被解释的地位，x 称为自变量，用于预测因变量的变化 相关分析中所涉及的变量 x 和 y 都是随机变量；回归分析中，因变量 y 是随机变量，自变量 x 可以是随机变量，也可以是非随机的确定变量 相关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密切程度；回归分析不仅可以揭示变量 x 对变量 y 的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制,回归模型的类型,回归模型,回答“变量之间是什么样的关系？” 方程中运用 1 个数字的因变量(响应变量) 被预测的变量 1 个或多个数字的或分类的自变量 (解释变量) 用于预测的变量 3. 主要用于预测和估计,
6、一元线性回归模型 （概念要点）,当只涉及一个自变量时称为一元回归，若因变量 y 与自变量 x 之间为线性关系时称为一元线性回归 对于具有线性关系的两个变量，可以用一条线性方程来表示它们之间的关系 描述因变量 y 如何依赖于自变量 x 和误差项 的方程称为回归模型,一元线性回归模型 （概念要点）, 对于只涉及一个自变量的简单线性回归模型可表示为 y = b0 + b1 x + e 模型中，y 是 x 的线性函数(部分)加上误差项 线性部分反映了由于 x 的变化而引起的 y 的变化 误差项 是随机变量 反映了除 x 和 y 之间的线性关系之外的随机因素对 y 的影响 是不能由 x 和 y 之间的线
7、性关系所解释的变异性 0 和 1 称为模型的参数,一元线性回归模型 （基本假定）,误差项是一个期望值为0的随机变量，即E()=0。对于一个给定的 x 值，y 的期望值为E ( y ) = 0+ 1 x 对于所有的 x 值，的方差2 都相同 误差项是一个服从正态分布的随机变量，且相互独立。即N( 0 ,2 ) 独立性意味着对于一个特定的 x 值，它所对应的与其他 x 值所对应的不相关 对于一个特定的 x 值，它所对应的 y 值与其他 x 所对应的 y 值也不相关,回归方程 （概念要点）,描述 y 的平均值或期望值如何依赖于 x 的方程称为回归方程 简单线性回归方程的形式如下 E( y ) = 0
8、+ 1 x,方程的图示是一条直线，因此也称为直线回归方程 0是回归直线在 y 轴上的截距，是当 x=0 时 y 的期望值 1是直线的斜率，称为回归系数，表示当 x 每变动一个单位时，y 的平均变动值,估计(经验)的回归方程,简单线性回归中估计的回归方程为,其中： 是估计的回归直线在 y 轴上的截距， 是直线的斜率，它表示对于一个给定的 x 的值，是 y 的估计值，也表示 x 每变动一个单位时， y 的平均变动值,用样本统计量 和 代替回归方程中的未知参数 和 ，就得到了估计的回归方程,总体回归参数 和 是未知的，必需利用样本数据去估计,最小二乘法 （概念要点）,使因变量的观察值与估计值之间的离
9、差平方和达到最小来求得 和 的方法。即,用最小二乘法拟合的直线来代表x与y之间的关系与实际数据的误差比其他任何直线都小,最小二乘法（图示）,最小二乘法 （ 和 的计算公式）, 根据最小二乘法的要求，可得求解 和 的标准方程如下,估计方程的求法 （Excel的输出结果）,11.2.3 回归直线的拟合优度 回归直线与各观测点的接近程度称为回归直线对数据的拟合优度，用判定系数说明。 1.判定系数 因变量 y 的取值是不同的，y 取值的这种波动称为变差。变差来源于两个方面： 由于自变量 x 的取值不同造成的 除 x 以外的其他因素(如x对y的非线性影响、测量误差等)的影响,离差平方和的分解（图示）,离
10、差平方和的分解 （三个平方和的关系）,2. 两端平方后求和有,从图上看有,SST = SSR + SSE,离差平方和的分解 （三个平方和的意义）,总平方和(SST) 反映因变量的 n 个观察值与其均值的总离差 回归平方和(SSR) 反映自变量 x 的变化对因变量 y 取值变化的影响，或者说，是由于 x 与 y 之间的线性关系引起的 y 的取值变化，也称为可解释的平方和 残差平方和(SSE) 反映除 x 以外的其他因素对 y 取值的影响，也称为不可解释的平方和或剩余平方和,样本决定系数 （判定系数 r2 ）,回归平方和占总离差平方和的比例,反映回归直线的拟合程度 取值范围在 0 , 1 之间 r
11、2 1，说明回归方程拟合的越好；r20，说明回归方程拟合的越差 判定系数等于相关系数的平方，即r2(r)2,2.估计标准误差 度量各实际观测点在直线周围的散步状况的一个统计量，是均方残差MSE的平方根，用se表示,是对误差项的标准差的估计 反映了用估计的回归方程预测因变量y时预测误差的大小 各观测点越靠近直线，se越小，根据估计的回归方程进行预测也就越准确。,11.2.4 显著性检验 1.线性关系检验 检验自变量和因变量之间的线性关系是否显著 具体方法是将回归平方和(SSR)同残差平方和(SSE)加以比较，应用F检验来分析二者之间的差别是否显著 如果是显著的，两个变量之间存在线性关系 如果不显
12、著，两个变量之间不存在线性关系,提出假设 H0：线性关系不显著,2. 计算检验统计量F,确定显著性水平，并根据分子自由度1和分母自由度n-2找出临界值F 作出决策：若FF ,拒绝H0；若FF ,接受H0,2.回归系数的显著性检验 检验自变量对因变量的影响是否显著，检验回归系数1是否等于0。在一元线性回归模型中， 如果回归系数1 =0，则回归线是一条水平线，表明因变量y的取值不依赖于自变量x，即两个变量之间没有线性关系。 如果回归系数1 0，也不能得出两个变量之间存在线性关系的结论,是根据最小二乘法求出的样本统计量，它有自己的分布 的分布具有如下性质 分布形式：正态分布 数学期望： 标准差： 由
13、于无未知，需用其估计量Sy来代替得到 的估计的标准差,回归系数的显著性检验 （步骤）,提出假设 H0: b1 = 0 (没有线性关系) H1: b1 0 (有线性关系) 计算检验的统计量,确定显著性水平，并进行决策 tt，拒绝H0； tt，接受H0,11.2.5 回归分析结果的评价 1.回归系数 的符号是否与理论或事先预期相一致？ 2.如果理论上认为y与x之间的关系不仅是正的，而且统计上显著，那么所建立的回归方程也应该如此 3.回归模型在多大程度上解释了因变量y取值的差异？用判定系数来回答 4.考察关于误差项的正态性假定是否成立。画出残差的直方图或正态概率图,11.3 利用回归方程进行预测,根
14、据自变量 x 的取值估计或预测因变量 y的取值 估计或预测的类型 点估计 y 的平均值的点估计 y 的个别值的点估计 区间估计 y 的平均值的置信区间估计 y 的个别值的预测区间估计,11.3.1 点估计 对于自变量 x 的一个给定值x0 ，根据回归方程得到因变量 y 的一个估计值 点估计值有 y 的平均值的点估计 y 的个别值的点估计 在点估计条件下，平均值的点估计和个别值的的点估计是一样的，但在区间估计中则不同, y 的平均值的点估计 利用估计的回归方程，对于自变量 x 的一个给定值 x0 ，求出因变量 y 的平均值的一个估计值E(y0) ，就是平均值的点估计 在前面的例子中，假如我们要估
15、计贷款余额为100亿元时，所有分行不良贷款的平均值，就是平均值的点估计。根据估计的回归方程得, y 的个别值的点估计,利用估计的回归方程，对于自变量 x 的一个给定值 x0 ，求出因变量 y 的一个个别值的估计值 ，就是个别值的点估计,2. 比如，如果我们只是想知道编号为10的分行（贷款余额为72.8）的不良贷款是多少，则属于个别值的点估计。根据估计的回归方程得,11.3.2 区间估计 点估计不能给出估计的精度，点估计值与实际值之间是有误差的，因此需要进行区间估计 对于自变量 x 的一个给定值 x0，根据回归方程得到因变量 y 的一个估计区间 区间估计有两种类型 置信区间估计 预测区间估计,
16、y 的平均值的置信区间估计 利用估计的回归方程，对于自变量 x 的一个给定值 x0 ，求出因变量 y 的平均值E(y0)的估计区间 ，这一估计区间称为置信区间 E(y0) 在1-置信水平下的置信区间为,式中：Se为估计标准误差,【例】根据前例，求出贷款余额为100亿元时不良贷款95%的置信区间 解：根据前面的计算结果 E(y0) 2.96，Se= 1.9799 ，t(25-2)2.0687，n=25 置信区间为, y 的个别值的预测区间估计 利用估计的回归方程，对于自变量 x 的一个给定值 x0 ，求出因变量 y 的一个个别值的估计区间，这一区间称为预测区间 y0在1-置信水平下的预测区间为,
17、【例】根据前例，求出贷款余额为72.8亿元的那个分行不良贷款95%的预测区间 解：根据前面的计算结果 1.93，Se= 1.9799 ，t(25-2)2.0687，n=25 预测区间为,影响区间宽度的因素,1. 置信水平 (1 - ) 区间宽度随置信水平的增大而增大 2. 数据的离散程度 (Se) 区间宽度随离散程度的增大而增大 3. 样本容量 区间宽度随样本容量的增大而减小 4. 用于预测的 x0与x的差异程度 区间宽度随 x0与x 的差异程度的增大而增大,置信区间、预测区间、回归方程,11.4 残差分析,11.4.1 残差与残差图,11.4.2 标准化残差（半学生化残差） 残差除以其标准差后得到的数值。,如果服从正态分布，那么标准化残差也应服从正态分布。 则根据经验法则，大约有95%的标准化残差在-22之间。,