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1、第2章 双变量回归分析： 一些基本概念,回归分析是要根据解释变量的已知或给定值，去估计或预测因变量的总体均值 假如我们要研究每周家庭消费支出Y与每周可支配的家庭收入X之间的关系 假设这个国家的家体的总体由60户家庭组成。可以按收入的高低把这60户家庭分组，每一组的组内收入相差不大。假定我们得到的观察值如表2.1所示,一个例子 表2.1 X：每周家庭收入（$）,y,x,表2.1的含义：它给出了以X的给定值为条件的Y值的条件分布（conditional distribution） 因为表2.1代表一个总体，我们可以从表中计算出给定X的Y的概率，这在统计上叫做什么？ 比如：,对Y的每一个条件概率分布
2、，我们所计算出它的均值（mean或average value），称为条件均值（conditional mean）或条件期望（conditional expectation），记做： 比如，给定X80,可以由表2.1绘制如右图的散点图,返回,散点图表明对应于各个X值的Y的条件分布，它表明随着收入的增加，消费支出平均地说也在增加。 Y的条件均值随X增加而增加。图中的粗圆点（大的黑点）表示Y的各个条件均值 Y的条件均值落在一条正斜率的直线上，这条线叫总体回归线（population regression line or curve），它代表Y对X的回归 从几何意义上讲，总体回归曲线就是，当解释变量取
3、给定值时，因变量的条件均值或条件期望的轨迹,图2.1可以画成图2.2的形式 可见，对应于每一个Xi都有一个Y值的总体和一个相应的条件均值。而回归直线（曲线）正好穿过这些条件均值,总体回归函数（PRF，population regression function） 由图2.1和图2.2可见，每一个条件均值都是 的一个函数，即： （2.2.1） 这个方程就叫做（双变量的）总体回归函数（PRF）或简称总体回归（population regression, PR），它表明Y的均值或平均响应（average response）是如何随X而不同 的具体函数形式如何确定是一个经验问题，已知的经济理论可以给我
4、们一些指导。假如， 是 的线性函数： （2.2.2） 和 为回归系数（regression coefficients），（2.2.2）称为线性总体回归函数，或简称线性总体回归。,在我们的课程中，回归，回归方程和回归模型将不加以区分，作为同义词使用 “线性”一词的含义 （2.2.2）式被称为“线性”总体回归，其中的“线性”的含义是什么？ 它可以作两种解释： （1）对变量为线性 即：Y的条件期望值是 的线性函数，从几何意义上看，这样的回归曲线是一条直线。 诸如： 这样的回归函数，就不是线性的。,（2）对参数为线性 即Y的条件期望 是参数 的一个线性函数；它既可以是也可以不是变量X的线性函数 这样以
5、来， 就是一个线性回归模型， 而 则不是线性的。 在今后的课程中，我们讲的“线性”指的是对参数为线性的情况，对解释变量 则可以是也可以不是线性的。 如： 是一个LRM（linear regression model）,PRF的随机设定 我们现在再回到表2.1和图2.1，可见，随着家庭收入，家庭消费支出平均地看也会；但是对具体的某一个家庭的消费支出却不一定随收水平而 给定收入水平 的个别家庭的消费支出，聚集在收入为 的所有家庭的平均消费支出的周围，也就是围绕着它的条件均值 个别的Yi围绕它的期望值的离差（deviation）可以表示如下： 或 （2.4.1） 离差ui是一个不可观测的随机变量，称
6、之为随机干扰（stochastic disturbance）或随机误差项（stochastic error）,从计量经济学上看，对于给定的X水平，个别家庭的支出可以分解为两个部分： 表示收入相同的所有家庭的平均消费支出，称为系统性（systematic）或确定性（deterministic）成分（component）。 ui为随机的或非系统性成分（nonsystematic component）。它是代表所有可能影响Y的，但又没有包括到回归模型中的替代（surrogate）或代理（proxy）变量 假定 对 是线性的，（2.4.1）式便可以写为： （2.4.2） 它表示消费支出Y线性地依赖于相
7、应的收入 和随机扰动项,由（2.4.1）式： 两边取期望值得： 而 也就是 ，所以有： （2.4.5） 这就是说，给定Xi，ui的条件均值等于零。,随机干扰项的意义 干扰项是模型中省略掉的，又集体地影响Y的全部因素（变量）的替代物（surrogate） 那么，为什么不构造一个含有尽可能多的解释变量的复回归模型呢？原因如下： 理论的含糊性：现有的理论往往是不完全的。物理学上有个“测不准定理”：我们永远不可能接近真实的世界，因为我们的观测总是要借助于工具和环境 数据的欠缺：比如，在分析影响家庭消费支出的例子中，应该加进“财富”变量，然而，人们总是怕“露富”，有些人 “装富”，所以，一般很难得到有关
8、家庭财富的确切数据,核心变量与周边变量（Core variables vs. peripheral variables）： 在消费收入的例子中，除了X1（家庭收入）外，家庭的儿童数X2，性别X3，宗教X4，教育X5和地区X6也影响支出。但这些变量的影响可能很小，以至于可以忽略不计，因此称它们为周边变量（peripheral variables） 还有一个原因：性别、教育、宗教等变量难以数量化（difficult to quantify） 人类行为的内在随机性：社会科学研究的是人类的行为。人为什么如此行动，有时连他自己都说不清楚,糟糕的替代变量（poor proxy variables）：举个例
9、子 Milton Friedman（弗里德曼）的消费函数理论把永久消费（YP）（permanent consumption）看作是永久收入（XP）（permanent income）的函数 “永久消费”和“永久收入”是两个抽象的概念，不可以观测，实际上，只能用可以观测到的当前消费Y（current consumption）和当前收入X（current income），或者n个时期的平均值去替代。这便有个测量误差。干扰项ui也用来代表测量误差 节省原则： 做回归模型，在许可的范围内尽量节省减少变量的个数。这也有个“投入产出”的问题。当然，不能为了简单而省去有关的和重要的变量,错误的函数形式： 比
10、如： 到底是哪一种，可能我们并不是十分清楚，借助于经济理论，散点图会有助于我们的分析,样本回归函数（SRF，The Sample Regression Function） 表2.1是一个总体，这是一个假定的总体，在现实的经济生活中总体的所有观测值往往是不能够全部获得的。 在大多数情况下，我们只有对应于某些固定的X的Y值的一个样本。比如，对于表2.1的总体我们只知道如下的抽取的样本:,表2.4 表2.1总体的一个随机样本,各次抽样之间总存在波动（误差），表2.5是另一个随机样本 表2.5 表2.1总体的另一个随机样本,那么，我们能否从上表的样本数据预测整个总体中对应于选定X的平均的消费支出Y呢？
11、或者说，能否估计出PRF？,根据表2.4和表2.5可以得到如下的散点图。,SRF1是根据第一个样本画的；而SRF2是根据第二个样本画的。图中的回归线叫样本回归线（sample regression lines）,对应于样本回归线的方程叫样本回归函数（sample regression function，简记 SRF）： （2.6.1） 表示 的估计量 (全在SRF上) 表示 的估计量 表示 的估计量 估计量（estimator），也称样本的统计量（statistic）是总体参数的一个估计。由估计量算出的一个具体的数值，称之为估计值（estimate） SRF（2.6.1）式可以写成相应的随机形式： 表示样本残差或剩余项（residual）， 是 的估计量。,回归分析的主要任务是根据SRF： （2.6.2） 估计PRF： 由于抽样有波动，根据SRF来估计PRF，最多只能是一个近似的估算。见下图：,对于给定的 ，有一个观测值 利用SRF可以将所观测到的 表示为： （2.6.3） 利用PRF可以将所观测到的 表示为： （2.6.4） 高估了那里的真值 。对A点以左的任何 Xi ，SRF低估了PRF。这种高估或低估是由抽样误差引起的。 用什么方法或规则，可以使SRF可以尽可能地接近PRF？或者说，怎样构造SRF使 尽可能接近 ， 尽可能接近 呢？且听下章分解,本章结束，谢谢！,