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1、第3讲 函数的奇偶性与周期性,最新考纲 1结合具体函数，了解函数奇偶性的含义 2会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性 3了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性,知 识 梳 理 1函数的奇偶性,f(x)f(x),f(x)f(x),y轴,原点,2奇(偶)函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 ，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性 (填“相同”、“相反”) (2)在公共定义域内 两个奇函数的和函数是 ，两个奇函数的积函数是 两个偶函数的和函数、积函数是 一个奇函数，一个偶函数的积函数是 (3)若函数f(x)是奇函数且在x0处有定义，则f(0) .,相同,相
2、反,奇函数,偶函数,偶函数,奇函数,0,3周期性 (1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT) ，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期 (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中 的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期,f(x),存在一个,最小,辨 析 感 悟 1对奇偶函数的认识及应用 (1)函数yx2，x(0，)是偶函数 () (2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点 () (3)(教材习题改编)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)f(x)g(x)是偶函数 (
3、) (4)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)关于直线xa对称 (),2对函数周期性的理解 (7)函数f(x)在定义域上满足f(xa)f(x)，则f(x)是周期为2a(a0)的周期函数 () (8)(2014枣庄一模改编)若yf(x)既是周期函数，又是奇函数，则其导函数yf(x)既是周期函数又是奇函数(),感悟提升 1两个防范 一是判断函数的奇偶性之前务必先考查函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数一定是非奇非偶函数，如(1)； 二是若函数f(x)是奇函数，则f(0)不一定存在；若函数f(x)的定义域包含0，则必有f(0)0，如(2) 2三个结论 一是若函数yf(xa)是偶函
4、数，则函数yf(x)关于直线xa对称；若函数yf(xb)是奇函数，则函数yf(x)关于点(b,0)中心对称，如(4)；,考点一 函数奇偶性的判断及应用,答案 D,规律方法 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(x)是否具有等量关系在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)f(x)0(奇函数)或f(x)f(x)0(偶函数)是否成立,【训练1】 (1)(2014武汉一模)已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)g(x)axax2(a0且a1)，
5、若g(2)a，则f(2) ( ) (2)设f(x)为定义在R上的奇函数当x0时，f(x)2x2xb(b为常数)，则f(1) ( ) A3 B1 C1 D3,解析 (1)g(x)为偶函数，f(x)为奇函数， g(2)g(2)a，f(2)f(2)， f(2)g(2)a2a22， f(2)g(2)f(2)g(2)a2a22， 联立解得g(2)2a，f(2)a2a2 (2)因为f(x)为定义在R上的奇函数， 所以f(0)2020b0，解得b1. 所以当x0时，f(x)2x2x1， 所以f(1)f(1)(21211)3. 答案 (1)B (2)A,考点二 函数的单调性与奇偶性,答案 (1)C (2)C,
6、规律方法 对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(x)f(x)f(|x|),【训练2】 (2014北京101中学模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)exa，若f(x)在R上是单调函数，则实数a的最小值是 ( ) A2 B1 C1 D2 解析 因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)0.又f(x)exa在(0，)上是增函数，所以f(x)在R上是增函数，则e0a1a0，解得a1，所以a的最小值是1，故选B. 答案 B,考点三 函数的单调性、奇偶性、周期性的综合应
7、用 【例3】 (经典题)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则 ( ) Af(25)f(11)f(80) Bf(80)f(11)f(25) Cf(11)f(80)f(25) Df(25)f(80)f(11),解析 f(x)满足f(x4)f(x)， f(x8)f(x)，函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(25)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3) 由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x4)f(x)，得f(11)f(3)f(1)f(1) f(x)在区间0,2上是增函数， f(x)在R上是奇函数， f(x)在区间2,2上是增函数，
8、f(1)f(0)f(1)，即f(25)f(80)f(11) 答案 D,规律方法 关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题,【训练3】 (2014黄冈中学适应性考试)定义在R上的偶函数f(x)满足：f(x1)f(x)，且在1,0上是增函数，下列关于f(x)的判断： f(x)是周期函数； f(x)的图象关于直线x2对称； f(x)在0,1上是增函数； f(x)在1,2上是减函数； f(4)f(0) 其中判断正确的序号是_,解析 f(x1)f(x)f(x2)f(x)，故f(x)是周期函数又f(x)f(x)，所以f(x2)f(x)，故f(x)的图象关于直线x1对称同理，f(x4)f(x)f(x)，所以f(x)的图象关于直线x2对称由f(x)在1,0上是增函数，得f(x)在0,1上是减函数，在1,2上是增函数因此可得正确 答案 ,方法优化1根据函数的奇偶性求参数值,答案 A,反思感悟 已知函数的奇偶性求参数值一般思路是：利用函数的奇偶性的定义转化为f(x)f(x)，从而建立方程，使问题获得解决，但是在解决选择题、填空题时还显得较麻烦，为了使解题更快，可采用特值法,【自主体验】 1(2014永康适应性考试)若函数f(x)ax2(2a2a1)x1为偶函数，则实数a的值为 ( ),答案 C,答案 2 1,