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1、13.2 自回归过程 AR( p ) 如果预测是分析的目的,那么,随机过程的元素 对它的过去的依赖性就很重要。这使我们能够利用 已经收集的样本观测值的过去信息预测变量的未来 值。存在这种依赖性的简单例子是自回归过程: yt = yt-1+ ut (13.2.1) 便是这样一种过程,其中ut为白噪声。,时间序列y1,y2 ,yn生成过程通常是未知的, 它可能比简单自回归过程(13.2.1)更复杂,例如, yt不 仅依赖yt-1,而且还依赖于yt-2等。更一般地,这个过 程有以下形式: (13.2.2) 其中ut为白噪声,(13.2.2)称为p阶自回归 (Autoregressive)过程,记作A
2、R( p )。据此,(13.2.1) 便是一阶自回归过程AR(1)。,一、自回归过程的平稳条件 只有产生时间序列的随机过程是平稳的,用自回归 模型进行预测才有意义。因此,我们首先应研究自 回归过程的平稳条件。 (一) 一阶自回归过程 对于一阶自回归过程(13.2.1) yt = yt-1 +ut = ut +(yt-2 +ut-1) = ut +ut-1 +2(yt-3 +ut-2) = ut +ut-1 +2 ut-2 +3 yt-3 = ut +ut-1 +2 ut-2 +3 ut-3 + (13.2.3),可以看到,一阶自回归过程(13.2.1)可以表示成白噪 声序列的线性组合。 由于E
3、(ut) = 0,所以E(yt) = 0,平稳条件1显然满足。 对(13.2.3)两端取方差: V(yt) = (13.2.4) 仅当|1时,(13.2.4)才有 (13.2.5) 表明,只有当|1时,平稳条件2才成立。,由(13.2.3)有 (13.2.3) (13.2.6),当|1时,(10.2.6)便有 (10.2.7) 其中 。,(10.2.7)式表明, 仅与间隔时期数k有关, 而与时间点t无关,平稳条件3成立。 综上所述,对于一阶自回归过程(10.2.1),只要系数 的绝对值1,便是平稳过程。,(二) p阶自回归过程 将(13.2.2)改写成 (13.2.8) 引进算符多项式: (1
4、3.2.9),则(13.2.8)可改写成: 或 (13.2.10) 若(13.2.2)是平稳随机过程,则必定收敛,即yt可表 示为白噪声的无穷加权和。可以证明 ,收敛 的充要条件是算符多项式 的特征方程 (13.2.11),的根全部在复平面上单位圆周之外,或所有根的模 z1。,即p阶自回归过程的平稳条件为 (13.2.12) z1和z2分别为实部和虚部。 当 p = 1时,(13.2.11)写成 1- z = 0 解方程得 ,,则平稳条件: 即1 同前面的结论相同。,为了研究方便,如果不作特殊说明,本章总是假定: 1.所有自回归过程都是平稳过程。 当发现时间序列是非平稳的,要清除非平稳性,一
5、般采用差分法。只要对原始数据进行适当阶数的差 分处理,便可消除非平稳性。 2.自回归过程中每个元素的期望值都为0即E(yt)= 0。 如果实际的时间序列的均值 ,则可对它进行中 心化 ,中心化后的时间序列必然有零期望 值。,二、自回归过程的自相关函数 一阶自回归过程AR(1)的自相关函数,利用(13.2.7)可 直接写出 (13.2.13) AR(p)的自相关函数由于 (13.2.14),将(10.2.2)代入(10.2.14)得 (10.2.15),当k = 0时, (13.2.16) 对AR(1)便有 (13.2.17),再由(10.2.15)有 (13.2.18),把(10.2.18)代
6、入(10.2.17)整理得 (13.2.19) 此结果与(10.2.5)相同。,用 除(10.2.15)式两端,得 (13.2.20) (10.2.20)便是自回归过程AR(p)自相关函数的表达 式(也称递推公式)。,在自相关函数表达式(10.2.20)中,令k = 1,2,3,,p, 则得一组方程式,称之为尤拉-沃克(Yule-Walker) 方程: 1 =1+ 2 1 +3 2 + +p p-1 2 =1 1 + 2 +3 1 + +p p-2 3 =1 2 + 2 1+3 + +p p-3 p =1 p-1 + 2p-2+3 p-3 + +p (13.2.21) 其矩阵表达式为:,(13
7、.2.22),简记为 或 (13.2.23),p中最后一个参数p称为偏自相关系数,序列 p (p =1,2,3,)称为偏自相关函数。,(10.2.20)式表示,当自回归模型的阶为p时,则偏 自相关函数p+1及其后的值皆为零。 例如,当自回归模型的阶数为2时,则3及其后的 值皆为零。,三、自回归过程AR(p)的识别与估计 对于自回归模型(13.2.2) (13.2.2) t = p +1 , p +2 , , n 矩阵形式为 (13.2.2),其中,(一)自回归阶数 p已知的情况 我们可以将(13.2.2)看成因变量为yt,自变量为yt-1, yt-2, yt-p的线性回归模型,并可用OLS法得
8、出参数 估计值。 对(13.2.2)应用最小二乘法,得参数估计 应该指出,此时估计量虽然不是无偏的,却是一致 估计量,还是可以接受的。,(二)自回归阶数 p未知的情况 自回归阶数p未知的情况,关键是模型的识别,即如 何确定阶数p,一旦p值确定下来就转化为自回归阶 数p已知的情况,问题就解决了。我们这里只介绍偏自 相关系数定阶法。 这种方法是在自回归阶数k逐步增加的过程中,通过 对偏自相关系数 的显著性检验来确定适当阶数p 的方法。偏自相关系数中的第k个系数 我们用 表示。,为了对 进行检验,必须知道OLS估计量 的抽 样分布。可以证明,对于大样本来讲,如果自回归 过程(AR)的阶数为p,那么,
9、在kp时,偏自相关系 数估计量 近似服从期望值为0,方差为 的正 态分布,这里的n为样本容量。 要判断在0.05显著性水平下 是否为0,只要考察 的数值是否落在下面的区间内:,(13.2.25),如果 落在这个区间内,则 不显著,即确认 =0,如果 落在此区间之外,则 显著, 即确认 0。,具体步骤如下: (1)先构造一个95%的置信区间 。 (2)进行逐步回归 第一步,考虑AR(1),计算出 ; 第二步,考虑AR(2),计算出 ; 第三步,考虑AR(3),计算出 ;,这样一步步作下去。如果只有 落在置信区间之 外,其余皆落在区间内,则表明只有 0,因而 p=1,产生样本随机过程AR(1)。如
10、果 和 落在 置信区间之外,其余皆落在区间之内,则表明 0, 0,所以p = 2,产生样本随机过程 AR(2)。其余依此类推。,例13.2.1 (见课本337页) 95%的偏相关系数置信区间,样本偏相关系数表 表13.2.2,从表13.22可以看出,只有 和 落在区域以外 , 所以,产生二阶自回归过程AR(2)。 在EVeiws中,可以直接给出结果,如图 13.2.1所示。,图13.2.1,由图13.2.1可知,只有 和 两个值落在置信区间 以外,其余皆在区间之内,因此,选定AR(2)作为样 本生成的自回归模型。 模型AR(2)估计的结果如图13.2.2所示:,图13.2.2,即方程为: = 0.49 yt-1 + 0.27 yt-2,