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1、13.2 自回归过程 AR( p ) 如果预测是分析的目的，那么，随机过程的元素 对它的过去的依赖性就很重要。这使我们能够利用 已经收集的样本观测值的过去信息预测变量的未来 值。存在这种依赖性的简单例子是自回归过程： yt = yt-1+ ut (13.2.1) 便是这样一种过程，其中ut为白噪声。,时间序列y1，y2 ，yn生成过程通常是未知的， 它可能比简单自回归过程(13.2.1)更复杂，例如, yt不 仅依赖yt-1，而且还依赖于yt-2等。更一般地，这个过 程有以下形式： (13.2.2) 其中ut为白噪声，(13.2.2)称为p阶自回归 (Autoregressive)过程，记作A
2、R( p )。据此，(13.2.1) 便是一阶自回归过程AR(1)。,一、自回归过程的平稳条件 只有产生时间序列的随机过程是平稳的，用自回归 模型进行预测才有意义。因此，我们首先应研究自 回归过程的平稳条件。 (一) 一阶自回归过程 对于一阶自回归过程(13.2.1) yt = yt-1 +ut = ut +(yt-2 +ut-1) = ut +ut-1 +2(yt-3 +ut-2) = ut +ut-1 +2 ut-2 +3 yt-3 = ut +ut-1 +2 ut-2 +3 ut-3 + (13.2.3),可以看到，一阶自回归过程(13.2.1)可以表示成白噪 声序列的线性组合。 由于E
3、(ut) = 0，所以E(yt) = 0，平稳条件1显然满足。 对(13.2.3)两端取方差： V(yt) = (13.2.4) 仅当|1时，(13.2.4)才有 (13.2.5) 表明，只有当|1时，平稳条件2才成立。,由(13.2.3)有 (13.2.3) (13.2.6),当|1时，(10.2.6)便有 (10.2.7) 其中 。,(10.2.7)式表明， 仅与间隔时期数k有关， 而与时间点t无关，平稳条件3成立。 综上所述，对于一阶自回归过程(10.2.1)，只要系数 的绝对值1，便是平稳过程。,(二) p阶自回归过程 将(13.2.2)改写成 (13.2.8) 引进算符多项式： (1
4、3.2.9),则(13.2.8)可改写成： 或 (13.2.10) 若(13.2.2)是平稳随机过程，则必定收敛，即yt可表 示为白噪声的无穷加权和。可以证明 ，收敛 的充要条件是算符多项式 的特征方程 (13.2.11),的根全部在复平面上单位圆周之外，或所有根的模 z1。,即p阶自回归过程的平稳条件为 (13.2.12) z1和z2分别为实部和虚部。 当 p = 1时，(13.2.11)写成 1- z = 0 解方程得 ，,则平稳条件： 即1 同前面的结论相同。,为了研究方便，如果不作特殊说明，本章总是假定： 1.所有自回归过程都是平稳过程。 当发现时间序列是非平稳的，要清除非平稳性，一
5、般采用差分法。只要对原始数据进行适当阶数的差 分处理，便可消除非平稳性。 2.自回归过程中每个元素的期望值都为0即E(yt)= 0。 如果实际的时间序列的均值 ,则可对它进行中 心化 ，中心化后的时间序列必然有零期望 值。,二、自回归过程的自相关函数 一阶自回归过程AR(1)的自相关函数，利用(13.2.7)可 直接写出 (13.2.13) AR(p)的自相关函数由于 (13.2.14),将(10.2.2)代入(10.2.14)得 (10.2.15),当k = 0时， (13.2.16) 对AR(1)便有 (13.2.17),再由(10.2.15)有 (13.2.18),把(10.2.18)代
6、入(10.2.17)整理得 (13.2.19) 此结果与(10.2.5)相同。,用 除(10.2.15)式两端，得 (13.2.20) (10.2.20)便是自回归过程AR(p)自相关函数的表达 式(也称递推公式)。,在自相关函数表达式(10.2.20)中，令k = 1,2,3,，p, 则得一组方程式，称之为尤拉-沃克（Yule-Walker） 方程： 1 =1+ 2 1 +3 2 + +p p-1 2 =1 1 + 2 +3 1 + +p p-2 3 =1 2 + 2 1+3 + +p p-3 p =1 p-1 + 2p-2+3 p-3 + +p (13.2.21) 其矩阵表达式为：,(13
7、.2.22),简记为 或 (13.2.23),p中最后一个参数p称为偏自相关系数，序列 p (p =1,2，3，)称为偏自相关函数。,(10.2.20)式表示，当自回归模型的阶为p时，则偏 自相关函数p+1及其后的值皆为零。 例如，当自回归模型的阶数为2时，则3及其后的 值皆为零。,三、自回归过程AR(p)的识别与估计 对于自回归模型(13.2.2) (13.2.2) t = p +1 , p +2 , , n 矩阵形式为 (13.2.2),其中,(一)自回归阶数 p已知的情况 我们可以将(13.2.2)看成因变量为yt，自变量为yt-1, yt-2, yt-p的线性回归模型，并可用OLS法得
8、出参数 估计值。 对(13.2.2)应用最小二乘法，得参数估计 应该指出，此时估计量虽然不是无偏的，却是一致 估计量，还是可以接受的。,(二)自回归阶数 p未知的情况 自回归阶数p未知的情况，关键是模型的识别，即如 何确定阶数p，一旦p值确定下来就转化为自回归阶 数p已知的情况,问题就解决了。我们这里只介绍偏自 相关系数定阶法。 这种方法是在自回归阶数k逐步增加的过程中，通过 对偏自相关系数 的显著性检验来确定适当阶数p 的方法。偏自相关系数中的第k个系数 我们用 表示。,为了对 进行检验，必须知道OLS估计量 的抽 样分布。可以证明，对于大样本来讲，如果自回归 过程(AR)的阶数为p，那么，
9、在kp时，偏自相关系 数估计量 近似服从期望值为0，方差为 的正 态分布,这里的n为样本容量。 要判断在0.05显著性水平下 是否为0，只要考察 的数值是否落在下面的区间内：,(13.2.25),如果 落在这个区间内，则 不显著，即确认 =0，如果 落在此区间之外，则 显著， 即确认 0。,具体步骤如下： (1)先构造一个95%的置信区间 。 (2)进行逐步回归 第一步，考虑AR(1)，计算出 ； 第二步，考虑AR(2)，计算出 ； 第三步，考虑AR(3)，计算出 ；,这样一步步作下去。如果只有 落在置信区间之 外，其余皆落在区间内，则表明只有 0，因而 p=1，产生样本随机过程AR(1)。如
10、果 和 落在 置信区间之外，其余皆落在区间之内，则表明 0， 0，所以p = 2，产生样本随机过程 AR(2)。其余依此类推。,例13.2.1 （见课本337页） 95%的偏相关系数置信区间,样本偏相关系数表 表13.2.2,从表13.22可以看出，只有 和 落在区域以外 ， 所以，产生二阶自回归过程AR(2)。 在EVeiws中，可以直接给出结果，如图 13.2.1所示。,图13.2.1,由图13.2.1可知，只有 和 两个值落在置信区间 以外，其余皆在区间之内，因此，选定AR(2)作为样 本生成的自回归模型。 模型AR(2)估计的结果如图13.2.2所示：,图13.2.2,即方程为： = 0.49 yt-1 + 0.27 yt-2,