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1、第六章,力 法,FORCE METHOD,第六章 力法,2、力法的基本概念,3、超静定刚架和排架,4、超静定桁架和组合结构,5、对称结构的计算,7、支座移动和温度改变时的计算,1、超静定次数,6、两铰拱和无铰拱,8、超静定结构的位移计算和超静定结构计算的校核,超静定结构的特征,静定结构 Statically determinate structures,超静定结构 Statically determinate structures,几何特征,没有多余约束的几何 不变体系,有多余约束的几何 不变体系,受力特征,所有的支座反力和内力均可由平衡方程唯一确定,仅由平衡方程无法确定支座反力和内力,产生内
2、力的因素,外荷载,外荷载 温度变化 支座移动,如何确定超静定次数,超静定次数,超静定次数(Degrees of indeterminacy)：多余约束的个数,自由度,计算自由度,多余约束数,几何不变体系,超静定次数 = n=W,超静定次数 = 多余未知力的个数,= 未知力个数 平衡方程个数,超静定结构及超静定次数,超静定结构,静定结构,移除多余约束,超静定结构及超静定次数,超静定结构,超静定结构,静定结构,移除多余约束,去掉或切断一根链杆(或二力杆)，相当于去掉1个约束,去掉一个铰支座或单铰，相当于去掉2个约束,去掉一个固定支座或切断一根梁式杆，相当于去掉3个约束,将一个单刚结点变为单铰结点，
3、相当于去掉1个约束,注意,勿将超静定结构变为几何可变体系,必须去掉所有的多余约束,不可去,力法的基本概念,基本未知量 Primary unknowns,基本体系 Primary system,基本结构 Primary structure,如何确定基本未知量 X1?,必须找出新的补充条件,力法的基本概念,受力特征,变形特征,变形协调条件（相容方程） Compatibility equation,该位移的位置和方向,引起该位移的原因,力法的基本概念,相容方程,注意,下标:,符号规定:,如果位移和多余未知力X1 的方向一致，则为正；反之为负,的确定:,叠加原理,力法典型方程 canonical eq
4、uation of force method,力法的基本概念,静定结构的位移，可用单位荷载法计算,1,2,3,4,5,2,相容方程,力法的基本概念,超静定结构,静定结构,平衡方程,可以选用不同的基本结构和多余未知力,力法典型方程,两次超静定结构的典型方程,+,+,力法典型方程,n次超静定结构的典型方程,超静定次数 n,多余未知力:,原结构的位移,柔度系数,自由项,-基本结构中，单位力Xj1在Xi 的位置和方向上引起的位移,-基本结构中，外荷载在Xi 的位置和方向上引起的位移,力法解题步骤,2、列出力法方程,3、作弯矩图，求系数和自由项,4、解力法方程，求多余未知力,5、做内力图,1、确定基未知
5、量、基本结构、基本体系；,力法解题步骤:,解：,例,画图示梁的弯矩图.,1) 选择基本结构和基本未知量,基本结构,2) 写典型方程,超静定梁Statically Indeterminate Beams,3) 画 图， 计算柔度系数和自由项,超静定梁,超静定梁,4) 确定多余未知力,超静定梁,5) 绘制M图,超静定刚架Statically Indeterminate Rigid Frames,例,作内力图.,解,1,4,5,2,3,弯矩图,超静定刚架,剪力,杆的力矩平衡,超静定刚架,轴力,结点平衡,铁道部广州车辆厂钢货车间,排架Bent Frames,排架,单层厂房,屋面梁,柱,排架,计算模型,
6、超静定次数等于跨数,EA=,基本体系: 切断 或移除链杆,相容条件:,作弯矩图 EC，I25I，h13m，h210m，ME=20kNm， MH60kNm，CD、HG EA=。,排架,解：（1）基本体系。,（2）,（3）,排架,（4）,M图(kN),13.91,6.09,46.09,26.37,6.06,7.50,10,排架,（2）列出力法方程,11X1+1P=0,解,（1）选取基本体系,例 6-3 求图示超静定桁架的轴力。各杆材料相同。,物理含义:基本体系中链杆1切口处相邻两截面相对轴向位移应等于零。,超静定桁架,（3）计算系数和自由项,图,图（kN）,超静定桁架,（4）解方程,（5）作FN图
7、,超静定桁架,超静定桁架,1,去掉杆 (10),物理含义：基本体系中C、D两点沿X1方向的相对线位移等于原结构链杆CD的缩短量。,2,4,例 6-4 求图示超静定组合结构的内力图。,（2）列出力法方程,11X1+1P=0,解,（1）选取基本体系,超静定组合结构,图,（3）计算系数和自由项,图(m),图(kNm),（4）求多余约束力,（5）作M图、FN图,图（kN）,图(kNm),超静定组合结构,没有桁架支撑，横梁弯矩明显增大。,图（kN）,图(kNm),（6）讨论,图(kNm),图(kNm),若下部桁架的截面很大，横梁最大弯矩可进一步减小。,超静定组合结构,对称结构Analysis of Sy
8、mmetric Structures,如何简化高次超静定结构的计算?,关键:,力法方程的简化,让 尽可能多地为零,利用结构的对称性,对称结构,对称结构,一个对称轴,两个对称轴,对称轴 axis of symmetry,对称轴,对称轴,支承不对称,刚度不对称,非对称结构,对称结构,对称结构,对称荷载,正对称荷载,反对称荷载,（1）对称荷载 绕对称轴对折后，左右两部分荷载作用点相对应、数值相等、方向相同；,（2）反对称荷载 绕对称轴对折后，左右两部分荷载作用点相对应、数值相等、方向相反；,对称结构,一般荷载,对称荷载,反对称荷载,对称性的利用,承受一般荷载的对称结构,去掉对称轴上的多余约束，取对称
9、未知力作为多余未知力,基本体系,力法方程,取对称结构作为基本结构,对称性的利用,基本体系,力法方程,对称性的利用,基本体系,力法方程,对称结构承受对称荷载,对称性的利用,力法方程,对称结构承受反对称荷载,对称性的利用,对称结构承受对称荷载，在对称轴上只存在对称的未知力,对称结构承受反对称荷载，对称轴上只存在反对称的未知力,支座反力、内力和位移均对称,支座反力、内力和位移均反对称,对称性的利用,例,作弯矩图,无弯矩状态,忽略横梁压缩变形，对称荷载作用下的此刚架既满足了平衡条件和又满足了变形条件，所以就是真实的内力状态。,对称性的利用,无弯矩状态判别的前提条件是：不及轴向变形，只受结点荷载作用。,
10、无弯矩状态的判别方法：,（1）将刚架的刚结点都变成铰接点，所得的铰接体系如果几何不变，则原刚架在结点荷载下一定时无弯矩的。,（2）将刚架的刚结点都变成铰接点，所得的铰接体系如果几何可变，则附加必要的链杆使体系达到几何不变。在结构所受荷载下，求解附加链杆中的轴力。如果全部附加链杆不受力，则原结构在所给结点荷载下一定时无弯矩的。否则，当有任一附加链杆的轴力不为零时，结构内就会有弯矩。,Xi=0，无弯矩,Xi=0，无弯矩,半结构法,奇数跨刚架,对称荷载,半结构法,奇数跨刚架,反对称荷载,半结构法,偶数跨刚架,对称荷载,半结构法Select a half structure,偶数跨刚架,反对称荷载,对
11、称结构的计算,例,无弯矩状态,作弯矩图,1,2,4,基本体系,对称性分析,3,力法方程,对称结构的计算,5,对称结构的计算,对称结构的计算,强柱弱梁,强梁弱柱,1、奇数跨对称结构,对称结构的计算,半边结构的选取,对称荷载作用下：在对称轴上的截面处刚结点设置成定向支座，铰结点设置成与对称轴垂直的支杆。,反对称荷载作用下：在对称轴上的截面处设置成与对称轴重合的支杆。,2、偶数跨对称结构（有中柱）,对称结构的计算,半边结构的选取,对称荷载作用下：在对称轴上的截面处刚结点、组合结点设置成固定端，铰结点设置成固定铰支座。,反对称荷载作用下：将中柱的惯性矩减半，取半边结构。,对称结构的计算,例,作弯矩图,
12、2,3,4,基本体系,1,半结构,力法方程,对称结构的计算,选择四分之一结构,对称结构的计算,例,两铰拱,（1）取简支曲梁为基本体系,（2）列力法方程,（3）计算系数和自由项,1. 不带拉杆的两铰拱,11X1+1P=0,两铰拱,两铰拱,（5）内力计算,（4）求多余未知力，即水平推力FH,两铰拱,两铰拱的计算和受力特点： （1）从力法计算来看，两铰拱和两铰刚架基本相同，只是 11和 1P 按曲杆公式用积分计算，而不能采用图乘法。且在计算 11 时，除弯矩的影响外，有时还需考虑轴力的影响。 （2）从受力特性来看，两铰拱与三铰拱基本相同。内力计算公式在形式上与三铰拱完全相同，只是水平推力FH 有所不
13、同。在三铰拱中，推力FH 是由平衡条件求得，在两铰拱中，推力FH 则由变形条件求得。,两铰拱,两铰拱,屋架结构中两铰拱通常带拉杆，目的： 使砖墙和立柱不受推力，在砖墙和立柱中不产生弯矩；使拱肋承受推力，减小拱肋的弯矩。,2. 带拉杆的两铰拱,（1）取基本体系,（2）列力法方程,11X1+1P=0,两铰拱,（3）计算系数和自由项,（4）求多余未知力，即拉杆的拉力为,（6）讨论： E1A1，同不带拉杆的两铰拱； E1A10，同简支曲梁。,（5）内力计算,两铰拱,（2）力法基本方程,例 6-6 求抛物线两铰拱的水平推力。,解,（3）计算系数和自由项,（1）计算简化假设,忽略轴向变形； 矢跨比小于1/
14、5时，近似取 ds=dx，cos=1,（4）求多余未知力,（5）内力计算,基本假设： 忽略轴向变形； 矢跨比小于1/5时，近似取 ds=dx，cos=1,讨论：（1）两铰拱在半跨竖向均布荷载作用下的水平推力与三铰拱在半跨竖向均布荷载作用下的水平推力相等。 （2）这仅是忽略轴向变形时的结果，不是一般性结论。 （3）在半跨均布竖向荷载作用下两种结构的水平推力才相等，其他荷载作用时结论不一定成立。,例 6-7 等截面抛物线两铰拱，求其FH和C处MC的影响线。,解：忽略轴向变形，近似地取 ds=dx,（1）作基本未知力FH的影响线。,（2）其它内力的影响线。,取对称的基本结构进行简化,无铰拱,利用结构
15、的对称性，选取对称的未知力,利用刚臂进一步简化,目的：确定O点的位置，使 12=21=0,无铰拱,在xy坐标系下,无铰拱,在 坐标系下,若12=21=0，则,无铰拱,弹性面积对x轴的面积矩,令,弹性面积,则,d为弹性面积的形心弹性中心,无铰拱,弹性中心法,弹性中心法计算系数和自由项的公式,无铰拱,无铰拱,超静定拱变截面时，位移分段积分求解。,无铰拱,力法求解无铰拱的步骤： （1）确定弹性中心的位置； （2）取带刚臂的基本体系，多余未知力作用在弹性中心； （3）按力法方程求解多余未知力。,无铰拱,计算位移 、 时，通常只考虑弯矩的影响，计算 时，有时要考虑轴力的影响。,例 6-8 试求图示等截面
16、圆弧在均布竖向荷载 q =10kN/m作用下的内力。设跨度 l =10m，矢高 f =5m。,解 （1）求圆拱的半径和半拱的圆心角,（2）确定弹性中心O的位置,（3）求系数11 和22,（4）求自由项1P 和2P,（5）内力计算,水平推力,拱顶弯矩,拱脚弯矩,（6）讨论 三铰拱推力,相对差值,例6-9 试求等截面圆拱在均匀水压力作用的内力。,解,不计轴向变形,取三铰拱为基本结构,因圆形是合理拱轴，故,若忽略轴向变形，则,内力与三铰拱完全相同,计轴向变形（采用弹性中心法）,（1）不计轴向变形时荷载引起的受力状态无弯矩状态。,可看作是由弹性中心处的多余未知力X1和X2引起的。,考虑轴向变形时,（2
17、）单纯由轴向变形引起的受力状态附加内力状态。,因此,h：拱截面的厚度,说明,（1）对超静定拱，忽略轴向变形时，内力为无弯矩状态； 考虑轴向变形，虽然出现弯矩，但数值不大。,（2）计算中将受力状态分成两部分，好处有： 计算简化； 借此可了解拱的受力状态； 能够更好地保证计算精度。,支座移动引起的内力,刚体移动,弯曲变形,无内力,内力,超静定结构,超静定结构由于支座移动和温度改变等因素作用下产生的内力称为自内力。,支座移动引起的内力,基本结构,相容方程：,例,支座引动引起的内力大小与杆件的抗弯刚度EI的绝对值成正比，自平衡内力,取简支梁的基本体系?,例,支座移动引起的内力,基本体系,例 6-13
18、求图示等截面梁自内力。,（2）列出力法方程,11X1+1c=-a,（1）选取基本体系,解,（3）计算系数和自由项,（4）求多余约束力,（5）作M图,（1）取基本体系,（2）列力法基本方程,（3）计算系数和自由项,（4）求多余约束力,（5）作M图,解法 2,解法 3,温度变化引起的内力,温度变化只引起变形，不引起内力,温度变化不仅引起变形，也引起内力,如何分析?,力法方程,温度变化引起的内力,例,基本体系,解：,1,温度变化引起的内力,4,未知力,作内力图,温度变化引起的内力,温度变化时，超静定结构的内力是由多余约束力引起的,总结,自平衡内力,温度变化引起的内力大小与杆件抗弯刚度EI的绝对值成正
19、比。为改善结构在温度作用下的受力状态，加大截面尺寸并不是一个有效的途径。,当杆件有温度差t时，弯矩的竖距出现在降温面一侧，使升温面一侧出现压应力，降温面产生拉应力。在钢筋砼结构中要注意降温可能出现的裂缝问题。,例6-13 求无铰拱由于温度变化和混凝土收缩而产生的内力.,解:,拱的温度内力为,=,1、做基本体系的 Mp 图；,B的水平位移,超静定结构的位移计算,3、用图乘法计算位移,基本体系与原结构的唯一区别是把多余未知力由原来的被动力换成了主动力。只要多余未知力满足力法方程 ，基本体系的受力状态就和原结构的受力状态相同。求超静定结构的位移问题就等于求基本体系（静定结构）的位移问题。,超静定结构
20、的位移计算,解法 1：,解法 2：,解法 3：,1、做基本体系的 Mp 图；,B的水平位移,超静定结构的位移计算,3、用图乘法计算位移,基本体系与原结构的唯一区别是把多余未知力由原来的被动力换成了主动力。只要多余未知力满足力法方程，基本体系的受力状态就和原结构的受力状态相同。求超静定结构的位移问题就等于求基本体系（静定结构）的位移问题。,超静定结构的位移计算,基本公式,荷载引起的位移计算,基本结构的内力,超静定结构的内力,超静定结构的位移计算,基本公式,温度变化引起的位移,温度变化引起的超静定结构的内力,超静定结构的位移计算,基本公式,支座移动引起的位移,支座移动所引起的超静定结构的内力,例6
21、-14 试求超静定梁由于支座位移引起的跨中挠度.,解,解,BH,超静定结构的位移计算,上题若取悬臂的基本体系，则计算如下：,超静定结构的位移计算,杆长均为L，h=L/10，EI为常数，膨胀系数为 。,超静定结构的位移计算,C,悬臂结构在C点 M=1时无轴力,超静定结构计算的校核,（1）要重视校核工作，培养校核习惯。,（2）校核不是简单的重算，是用不同方法进行定量校核，运用估算或根据结构的力学性能对结果的合理性进行定性判断的能力。,（3）计算书要整洁易读，层次分明。,（4）校核要分阶段进行，及时发现小错误，避免大返工。,关于力法计算的阶段校核工作,（1）计算前要校核计算简图和原始数据，检查基本结
22、构是否可变。,（2）求系数和自由项时，先要校核内力图，并注意正负号。,（3）方程解完后，应将解答代回原方程，检查是否满足。,（4）最重要的是对最后内力图进行总检查、总校核。,最后内力图的校核,荷载作用,梁和刚架,封闭框架,EI=常数,平衡条件校核,满足平衡条件！,1.校核A点竖向位移：,校核A点竖向位移：,变形条件不满足，计算结果错误。,（1）力法的计算原理:静定基本结构。 （2）确定基本未知量和选择基本体系: 去掉的多余约束的多余约束力-基本未知量。 去掉多余约束后得到的静定结构-基本结构。 将多余未知力和原荷载（或支座移动、温度变化）作用在基本结构上-基本体系。 （3）建立力法方程: 力法
23、方程代表变形条件-位移应与原结构在相应处的位移相等。,小结,（4）力法方程中系数和自由项的计算: 基本结构（静定结构）的位移，单位荷载法计算。 （5）超静定结构的内力计算与内力图的绘制: a)静力平衡， b)叠加计算内力和绘制内力图。 （6）对称性的利用和简化: 对称的基本体系(对称或反对称的基本未知量)。 （7）超静定结构的位移计算和变形条件的校核: 单位力可以加在任一基本结构上。可取原结构中已知位移条件进行校核。,静定结构与超静定结构特性比较,2. 理解力法典型方程,小结,1.力法的基本概念：三基本、相容方程,3. 掌握力法求解方法,4. 理解非荷载因素下的力法方程,5. 理解超静定结构的位移计算,