chap2系统的数学模型.ppt

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1、2 系统的数学模型,2系统的数学模型,2.1 控制系统的分析方法 2.2 系统的数学模型 3.3 线性离散系统,2.1控制系统的分析方法,对控制系统的研究经历了经典控制论和现代控制论两个阶段 经典控制论： 以传递函数为基础，属于输入输出分析法，又称外部描述法 现代控制论 建立在状态空间法基础上，它为控制系统分析和设计提供了更精确、更完备的数学模型。是一种内部描述法，,经典控制论的分析方法,时域分析法：通过Laplace反变换求出系统输出量的表达式，从而提供系统时间响应的全部信息,频率响应方法：利用系统的频率特性进行分析，获得系统的特性指标 根轨迹法：利用系统的根轨迹图分析其特性。根轨迹是开环系

2、统某一参数变化时闭环系统特征方程式的根在s平面上的变化轨迹,现代控制理论,建立在状态空间法基础上，它为控制系统分析和设计提供了更精确、更完备的数学模型。 是一种内部描述法，不仅研究输入输出的关系，同时还以系统内部变量为研究对象。 更适合于时变系统和多变量系统。而经典控制理论适合于分析定常系统和单输入输出系统。 可用更一般的输入函数代替特殊的、典型的输入函数来实现系统设计。 本质上是在时域上研究问题。经典控制理论是一种复频域的分析方法。,本章规划,在控制工程基础课程中，主要介绍了线性连续定常系统的两种分析方法时域分析法和频域响应法。本课程进行简单的回顾和复习。 本章主要以状态空间分析法和线性离散

3、系统的介绍为主。,2系统的数学模型,2.1 控制系统的分析方法 2.2 系统的数学模型 3.3 线性离散系统, 2.2 系统的数学模型,一、经典控制理论的数学模型 二、传递函数与方块图 三、状态空间模型 四、状态空间分析法,一、经典控制理论的数学模型,建立在传递函数基础之上，也称输入输出描述法。,其输入和输出的微分方程为：,在初始条件为0时，与上述微分方程对应的传递函数为：,（2）,（3）,由(1),(2),(3)式可得三种数学模型的关系：,傅氏变换对,拉氏变换对,这三种数学模型虽然形式不同，但都表达了系统的内在规律。应用最多的为传递函数, 2.2 系统的数学模型,一、经典控制理论的数学模型

4、二、传递函数与方块图 三、状态空间模型 四、状态空间分析法,二、传递函数与方块图,1. 传递函数的定义和推导 2. 系统的单位脉冲响应 3. 系统分析中图解描述方块图,1. 传递函数的定义和推导,推导传递函数的步骤： 列出系统的微分方程 假设系统的所有初始条件为零，取微分方程的拉氏变换 求输出量与输入量拉氏变换之比。,传递函数：初始条件为零时输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比,传递函数应用说明：,前提为零初始条件。对非零初始条件的系统，该方法便不能表征系统的动态特性。 系统内部往往有多种变量，而传递函数只反映输入量与输出量之间的关系，不能表达系统内部其它变量的情况。 传递函数的上述缺陷在状

5、态空间方法中得以弥补,例1.1：求图17的R-C振荡电路的 传递函数,解：根据克希霍夫定律,假设初始条件为零，对上式进行拉氏变换有,而,则,则,S的阶数为2，故系统 为二阶系统,例1.2：求图18电枢控制式直流电机的传递函数,电枢控制式直流电机的激磁绕组电流 if 恒定不变，仅改变加于电枢的电压ei来 控制其运行方式。,解：根据克希霍夫定律，得到电压平衡方程：,电枢转动时，在电枢绕组中将感应出反电动势eb，由于激磁电流 if不变，所以激磁磁通也为常数。则eb与电机角速度成正比，即,又磁通一定时，电磁转矩与电枢电流成正比，即,该电磁转矩用以驱动负载，并克服摩擦力矩，所以,则,将eb， ia表达式

6、带入电压平衡方程，得到,假设初始条件为零，对上式进行拉氏变换有,一般La很小，可忽略不计，则有,式中,含有1/S因子，所以该电机可以看作积分环节,2. 系统的单位脉冲响应,单位脉冲函数：如图19所示的矩形脉冲函数的表达式为：,其面积为A，当A1，且,则为单位脉冲函数表达式为,面积为1,t=t0处的单位脉冲函数为：,系统的脉冲响应h(t),即,所以,系统的单位脉冲响应为传递函数的拉氏反变换,卷积与系统任意输入的响应 若已知系统的单位脉冲响应函数h(t)，则通过求卷积就可以求得系统对其它任何输入函数的响应便可确定。尤其在信号以曲线形式表达或不能应用拉氏变换的情况。,上述理论推导： 输入信号为u(t

7、)，如图1-11所示。传递函数为H,则输入信号可以表示为单位脉冲信号 的叠加,则输出信号可以线性算子表示为,系统对输入函数的响应，即为该函数与系统的单位脉冲响应函 数的卷积。若卷积可以直接计算，则无需进行拉氏变换。这便 是卷积的意义。,3.系统分析中图解描述方块图,方框图表示了系统的输入和输出变量之间的因果关系以及系统内部变量所进行的运算。是控制工程中描述复杂系统的一种有效方法。 要求熟练掌握实际物理系统方框图的绘制方法及其简化。 希望同学们在课后认真复习方框图的有关知识。找一本控制工程基础,系统的互联,串联、并联、复杂系统互联、反馈联接,系统方块图,方块图：block diagram 包含了

8、系统各个组成部分的传递函数、系统结构、信号流向等 不仅可以表达系统的输入输出变量之间的因果关系，而且描述了系统内部对信号进行的运算 是复杂系统的一种非常有效的描述方式,系统方块图及合成点、分支点,电路系统的方块图分析,方法：建立每个单元的传递函数和方块图，然后合并,电路系统的方块图分析,方块图的等效变换,串联规则 并联规则 反馈规则 分支点移动规则 综合点移动规则 综合点交换规则,串联规则、并联规则和 反馈规则,分支点移动规则,综合点移动规则,综合点交换规则,二阶RC电路方块图的简化,上节课内容回顾,介绍了系统的分类，经典控制理论和现代控制理论的特点。 复习了传递函数和方框图，要求掌握具体物理

9、系统传递函数的推导和方块图的绘制。,讨论,建立系统微分方程数学模型后，若已知系统的输入，是否可以唯一确定系统的输出？,已知, 2.2 系统的数学模型,一、经典控制理论的数学模型 二、传递函数与方块图 三、状态空间模型 四、状态空间分析法,三、状态空间模型,1、基本概念 2、状态空间表达式（状态方程和输出方程） 3、由微分方程求状态空间表达式 4、由方框图直接列写状态空间表达式 5、状态变量的非唯一性 6、传递矩阵,1、基本概念,状态 状态变量 状态向量 状态空间,(1) 状态： 是确定系统运动状况最少数目的一组变量。只要知道了这组变量在 时的值，以及 时的系统的输入 ，那么系统在 时的运动状况

10、就可以完全确定。 系统在 时初始条件的总和 就是系统在 时的状态,右图系统的微分方程为,其拉氏变换为,（2)系统响应和系统状态之间的关系,对于图1-12单输入输出系统，有,在任意时刻t，系统的响应y(t)完全可以由该瞬时的系统状态 x(t)和该瞬时的系统输入u(t)确定,右图的电路网络中，如果已知 输入电压u(t)电容上的电压x1和 电感中的电流x2，试用这两个变 量表示网络中所有变量,在任意时刻t，网络的状态由该瞬电时容电压x1和电感中的 电流x2 确定，因此， x1 和x2可以作为该网络的状态,（3)状态变量,构成控制系统状态的变量称为状态变量。 状态变量并非唯一 状态变量不一定选在物理上

11、能观能控 在最优控制中，通常选用物理上能观能控的状态变量,（4)状态向量,如果完全描述一个系统的动态行为需要n个状态变量x1(t), x2(t), xn(t)，那么这n个状态变量所组成的n维向量x(t)，就叫做状态向量。,（5)状态空间,所有状态向量x(t)张成的空间称为状态空间 系统的任意状态都可以用状态空间中的一个点表示 如果状态向量是n维的，则张成的状态空间称为n维状态空间。,三、状态空间模型,1、基本概念 2、状态空间表达式（状态方程和输出方程） 3、由微分方程求状态空间表达式 4、由方框图直接列写状态空间表达式 5、状态变量的非唯一性 6、传递矩阵,（1）单输入输出系统的状态空间的表

12、达式,（1）,2、状态空间表达式,综合(1)(2)(3)式有,（4）,将(4)(5)写为矩阵形式：,（6）,（7）,式(6)为状态方程: 表示输入量和状态变量的关系 式(7)为输出方程: 表示输出量和状态变量的关系 这两个公式联合起来就是状态空间表达式,例1.5：用右图所示质量弹簧阻尼系统，如果有一外力u(输入)在t0时刻作用于系统，当质量m在t0时刻的位置和速度已知时，其将来的位置y(输出)即唯一确定。求其状态空间表达式。,解：取系统的状态变量为,根据牛顿第二定律，系统动态方程为,把状态变量带入有,写为矩阵形式，得到状态空间表达式：,上节课内容回顾及重点,介绍了单输入输出系统状态空间的基本概

13、念及状态空间表达式（状态方程和输出方程），要求掌握单输入输出系统状态空间表达式的求解。步骤： 建立系统微分方程 确定合适的状态向量 列出状态方程和输出方程 难点：确定合适的状态变量,第二次课,第二次作业：2.2, 2.3,三、状态空间模型,1、基本概念 2、状态空间表达式（状态方程和输出方程） 3、由微分方程求状态空间表达式 4、由方框图直接列写状态空间表达式 5、状态变量的非唯一性 6、传递矩阵,下图为多输入多输出线性定常系统。,其输入和输出为向量：,n阶系统有n个状态变量 其状态向量：,（2）多输入多输出线性定常系统的状态空间的表达式,其状态空间表达式可写为：,对于多输入多输出线性定常系统

14、，A，B, C, D均为常数矩阵，它们由系统的性质确定。 若已知初始状态变量和输入，则可通过解状态方程求出状态变量。再利用输出方程就可以确定系统输出 可见，单输入单输出系统是多输入输出系统的特例，即p=m=1,式中：,状态矩阵（系统矩阵）,输入矩阵,输出矩阵,前馈矩阵,在线性时变系统中，其系数矩阵是与时间有关的变量，一个n阶系统状态空间的表达式为：,式中：,（3）多输入多输出线性时变系统的状态空间的表达式,上述系统的方框图为：,三、状态空间模型,1、基本概念 2、状态空间表达式（状态方程和输出方程） 3、由微分方程求状态空间表达式 4、由方框图直接列写状态空间表达式 5、状态变量的非唯一性 6

15、、传递矩阵,(1)：用下面的微分方程描述的系统，输入为u,输出为y,（1）,综合(2)(3)将原三阶微分方程(1)变换为3个一阶微分方程,（4）,3、由系统微分方程列写状态空间表达式：,将(4)(5)写为矩阵形式，得到状态空间表达式：,（6）,（7）,系统输入量引起系统内部的变化状态方程 系统内部的变化引起系统输出量的变化输出方程,通过以上两个例子可以看出，用状态变量描述一个系统时，把输入输出间的关系分为两段加以描述：,该方法可深入到系统内部，故称为内部描述法。,(2)对于一个不含控制量u的微分的n阶单输入单输出线性定常系统,（1）,3、由系统微分方程列写状态空间表达式：,写为矩阵形式，得到状

16、态方程：,（5）,式中：,式中：,即n阶单输入输出系统的状态空间表达式为：,则可以将式(1)写为n个1阶微分方程,分析：如果仍然取状态变量为：,上述一阶微分方程含有控制量的各阶微分项，若控制量为阶跃函数，则其微分为脉冲函数，导致使上述状态轨迹产生无穷大的跳跃。所以该状态变量不能确定系统状态。 对于上述系统，正确的状态变量选择原则是，状态方程中的任何一个微分方程和输出方程都不能含有控制量的微分项。,把式(3) 第n个方程，消去状态变量,（5）,与微分方程(1）比较，利用待定系数法，可知,式中：,式中：,解：由运动微分方程可知,取状态向量为：,则状态方程为：,根据上面的推导可以计算出h0,h1,h

17、2,所以，状态方程为：,输出方程为：,三、状态空间模型,1、基本概念 2、状态空间表达式（状态方程和输出方程） 3、由微分方程求状态空间表达式 4、由方框图直接列写状态空间表达式 5、状态变量的非唯一性 6、传递矩阵,出发点：,方框图形象地描述了系统信号流向及各物理量之间地关系，所以很多系统的数学模型通常由方框图表示。 对于简单系统的方框图，可以求出系统变换传递函数，然后利用拉氏反变换求出系统微分方程，再写出系统的状态空间表达式。 对于复杂系统，求取变换传递函数并不是轻而易举的事。 利用方框图直接求解状态空间表达式要比较简单。,规则和步骤：,1、写出各方框单元的传递函数，并用拉氏反变换求出其微

18、分方程。 2、以各方框单元的输出变量和系统总输出变量的一阶导数作为状态变量。以各求和节点的输出为中间变量，写出状态方程 3、列出各求和节点方程，在状态方程中消去中间变量。得到系统的状态方程和输出方程。,4、由方框图直接列写状态空间表达式,例：写出右图某顺馈控制系统状态 空间表达式,(2)指定状态变量和中间变量，代入微分方程，写出状态方程,状态变量X,中间变量,(3)列出各求和节点方程，在状态方程(1)中消去中间变量,将式(2)代入式(1),得到状态方程为：,即,输出方程方程为：,三、状态空间模型,1、基本概念 2、状态空间表达式（状态方程和输出方程） 3、由微分方程求状态空间表达式 4、由方框

19、图直接列写状态空间表达式 5、状态变量的非唯一性 6、传递矩阵,例1.7：与例1.4不同，选取如下变量为状态变量：,（1）,5、状态变量的非唯一性,上述两组状态变量都能描述该RLC网络，因此状态变量不是唯一的。 用状态变量描述系统时，状态空间表达式与所选的状态变量有关。即同一系统可以有不同的状态空间表达式,假设一个n阶系统的状态空间表达式为：,设Q是任意的非奇异nn阶矩阵，并定义：,式中,将状态方程带入，得到,再根据输出方程，可得,状态变量的非唯一性的理论证明状态变换,状态变换的几点结论,变换 称为状态变换。 对同一系统，采用不同的非奇异矩阵Q进行状态变换就可以得到不同的状态向量。状态向量不是

20、唯一的。 不同的状态向量对应不同的状态方程。 状态变换的目的是从不同的角度观测系统（相当于状态空间的坐标系的变换）。 状态变换不影响系统的传递函数、脉冲响应、能控性和能观性等系统基本性质。,三、状态空间模型,1、基本概念 2、状态空间表达式（状态方程和输出方程） 3、由微分方程求状态空间表达式 4、由方框图直接列写状态空间表达式 5、状态变量的非唯一性 6、传递矩阵,将上式写为矩阵形式有：,其中Gij(s)为yi(s)对uj(s)的传递函数。 当p=m=1时，传递矩阵G(s)成为单输入输出系统的传递函数 因此，传递矩阵G(s)也叫广义传递函数。,6、传递矩阵,则G(s)定义为该系统的传递矩阵。

21、,如图所示的闭环系统，已知,则,所以,所以图118闭环系统的传递矩阵为,（2）闭环系统的传递矩阵,假设一个n阶系统的状态空间表达式为：,在初始条件为零时进行拉氏变换：,所以,则可得传递矩阵为,（3）由状态空间表达式求传递矩阵,解：(分析）用方框图简化方法求传递函数比较复杂。先建立状态空间表达式，然后求出传递矩阵。对于此单输入输出系统，传递矩阵与传递函数是等价的。,例1.8 求图1-19系统的传递函数,从系统机构可知，x1,x2为系统的一组状态变量，其状态方程和输出方程分别为：,写为矩阵形式：,由系统传递矩阵公式，有,因为系统为单输入单输出，则上式传递矩阵就是 系统的传递函数,伴随矩阵,2.2

22、控制系统的数学模型,一、经典控制理论的数学模型 二、传递函数与方块图 三、状态空间模型 四、状态空间分析法 五、非线性数学模型的线性化,四、状态空间分析法,1、求解状态方程（求系统的时间响应） 2、系统的能控性和能观性分析。 3、系统的稳定性分析。,基本手段是线性代数方法,1、求解状态方程,状态空间分析法的基本任务就是通过求解状态方程，得到系统在时域内的时间响应函数。,线性非齐次方程：,线性齐次方程：,上述方程的求解方法有矩阵指数法、拉氏变换法和一般法。本节重点介绍拉氏变换法。,由于齐次方程为非齐次方程的特例，所以下面以非齐次方程为例讲解状态方程的解法,利用拉氏变换的卷积定理,状态方程解的几点

23、说明：,(3)系统的输出：根据输出方程,已知,解: (1)求转移矩阵,例1.9 求下面系统状态方程的解（系统的时间响应）,(2)系统的响应为,(1)能控性,定 义：若对系统在t0时刻的任意状态X(t0),都存在一个有限的时间区间t0,tf(tft0)和定义在t0,tf上的适当的控制量U(t),使得X(tf)=0,则称系统在t0时刻是可控的。如果系统在有定义的时间区间上的每一时刻都可控，则称系统为具有完全可控性。,假设一个n阶线性定常系统的状态空间表达式为：,状态方程的解为：,物理意义：系统的每个状态变量都受到控制变量的影响而改变。即在有限的时间内，控制变量能够使状态变量从任意的初始状态转移到零

24、状态。,完全可控性充分必要条件：下面,2、系统的能控性和能观性分析,(2)能观性,定 义：在有限时间区间t0,tf内，若已知矩阵A,B,C,D和系统在t0,tf上的U(t)和Y(t), X(t0)能够唯一确定，则称系统在t0时刻是可观测的。如果系统在有定义的时间区间上的每一时刻都可观测的，则称系统为具有完全能观性。,物理意义：若系统的每个状态变量都对输出的分量有影响，即任一状态变量在系统的输出中都能观测到，则称系统具有能观性。,充分必要条件：下面,能控性表示系统的控制变量和状态变量的关系。 能观性表示系统的状态变量和系统输出的关系。,例1.10 判断下面系统的能控性和能观性,解:因为,所以,则

25、,又因为,所以,则,3、系统的稳定性分析,假设一个n阶线性定常系统的状态方程为：,则系统的特征方程为：,其特征值为：,稳定性的充分必要条件： 所有特征值位于s平面的左半平面,连续系统分析过程框图,第三次作业,2-4,2-5,2-6 补充作业： 2-A: 对于线性定常系统，试证明状态变换不改变系统的传递矩阵。 2-B: 系统状态方程为,已知,当u(t)为单位阶跃函数 ，求系统的时间响应。,2C 试判断下面系统的能控性,上节课内容回顾及重点（一）,介绍了多输入多输出系统的状态空间表达式 由微分方程求状态空间表达式， 重点是状态变量的选取。 难点是微分方程中含有控制量微分。 由方框图直接写状态空间表

26、达式。 关键是把方框图划分为各方框单元进行讨论。 以各方框单元的输出变量和系统总输出变量的一阶导数作为状态变量。以各求和节点的输出为中间变量，写出状态方程和求和节点方程。 状态变换及状态变量的非唯一性（了解）,上节课内容回顾及重点（二）,传递矩阵的定义及计算。 关键是求特征矩阵的逆矩阵：(sI-A)-1 状态空间分析法： 求解状态方程：关键是转移矩阵(t)=L -1 (sI-A)-1 能观性和能控性分析 稳定性分析,2.2 控制系统的数学模型,一、经典控制理论的数学模型 二、传递函数与方块图 三、状态空间模型 四、状态空间分析法 五、非线性数学模型的线性化(只介绍基本概念),五、非线性数学模型

27、的线性化,1、非线性系统的定义和特点 2、单变量非线性系统的线性化 3、多变量非线性系统的线性化,定义：用非线性方程表示的系统为非线性系统，如：,特点：不满足叠加原理。非线性系统广泛存在。,代表性曲线有：,难点：对包含非线性问题的求解过程非常复杂。,解决方案：1、总体思想是将非线性系统简化为线性系统求解。 2、前提是系统在某个工作点附近一个很小的领域内近似线性。 3、将非线性函数在工作点附近利用泰勒级数展开，并且保留其 线性项，得到线性模型。,1、非线性系统的定义和特点,假设非线性系统的输入量为x(t)，输出量为y(t),且满足关系：,即,式中,2、单变量非线性系统的线性化,假设非线性系统的输

28、入量为x1(t)，x2(t)，输出量为y(t),且满足关系：,式中,自学课本p22 例1-12，更正见教材,3、多变量非线性系统的线性化,2.3 线性离散系统,一、离散信号和离散系统 二、信号的采样和恢复 三、Z变换 四、脉冲传递函数 五、离散系统的稳定性分析 六、 离散系统的状态空间分析法,一、离散信号和离散系统,1、连续信号和离散信号的定义 2、几个典型的离散信号 3、离散信号的基本运算 4、离散系统基本概念及表示方法 5、离散系统主要参数 6、离散系统的分析与综合,1、连续信号和离散信号的定义,连续信号：若t是定义在时间轴上的连续变量，那么x(t)，为连续时间信号，又称模拟信号。,数字信

29、号：用有限的数位表示的离散信号（把离散信号幅值数字化，即幅值和时间都离散）。,目前，在信号处理中，把离散信号和数字信号作为两个相同的概念。,用数字方法处理连续信号的过程,(2)单位阶跃序列,2、几个典型的离散信号,(1)单位抽样信号及单位抽样序列,(3)正弦序列,其中，,(4)复正弦序列,(5)指数序列,(1)延迟,延迟在数字电路中由移位寄存器实现,(3)离散信号卷积,3、离散信号的基本运算,离散系统与连续系统最大的区别在于所处理的信号是离散信号。常见的离散系统有纯离散系统和混合离散系统。,(1)纯离散系统：输入和输出都是离散信号,例如：下图的三点加权平均器。,步进电机开环控制也是一个纯离散系

30、统，给一个脉冲走一步。,4、离散系统的基本概念及表示方法,为了进行分析，表示成方块图：,简化：把保持器和被控对象连续部分合并G(s)=H(s)G0(s),(2)混合离散系统：系统同时包含离散信号和连续信号,开环离散控制系统：,如果数字控制器环节为1，则上图可表示为：,(5)移不变性,同时满足线性和移不变性的系统称为线性移不变系统，即LSI系统(Linear Shift Invariant),(4)线性：满足叠加原理,(1)单位抽样响应h(n) ：若输入x(n)=(n)，则输出y(n)=h(n),(2) 频域响应：,(3) 脉冲传递函数：,(6)因果性(Causality)：一个LSI系统任一时

31、刻的输出只决定于现在时刻和过去时刻的输入。,(7)稳定性：一个LSI系统的输入和输出都有界。,5、离散系统主要参数,综合：给定系统的特性指标，来设计满足要求的系统,离散系统的研究内容就是分析和综合,6、离散系统的分析与综合,2.3 线性离散系统,一、离散信号和离散系统 二、信号的采样和恢复 三、Z变换 四、脉冲传递函数 五、离散系统的稳定性分析 六、 离散系统的状态空间分析法,二、信号的采样和恢复,1、采样过程 2、采样定理 3、信号的恢复,定义：将连续信号转换为离散序列的过程称为采样。,连续信号f(t)经采样后，变成断续的脉冲序列fk(t),1、采样过程,若定义理想采样器的输出为：,(1),

32、则理想采样器相当于下图所示的调制器：,(2),则实际采样器可以表示为理想采样器和倍乘器串联而成。为分析简便，我们将倍乘器乘数与采样后面的系统归并在一起，而把理想采样器的输出f*(t)作为实际采样器的输出，所以：,思路：比较f(t)和f*(t)的傅氏变换，然后找出区别和规律。,把f(t)的采样信号f*(t)也视为连续信号，其傅氏变换记为：,见图a,2、采样定理,式(3) 中关键是求单位脉冲序列的傅氏变换(j),(5),式(4)(5)中,式(7)的傅氏变换为,(8),由式(8)可知，周期为Ts的单位脉冲序列的傅氏变换也是脉冲序列，其周期为s=1/ Ts,将式(8)代入(3)有,见图b,由式(9)和

33、图c可见，采样信号的傅氏变换为连续信号傅氏变换在频率轴上的周期延拓，延拓周期为s=1/ Ts,采样信号及其傅氏变换,在图c中，如果s=2m 叫则采样序列出现频率混叠现象。,由图c可见，在满足采样定理的前提下，利用红色虚线所表示截止频率为s /2的理想低通滤波器，可以由f*(t)完全恢复出f(t) 。,最低采样频率s = 2m 叫Nyquist采样频率。,补充说明： (1) 采样定理由Nyquist和Shannon分别于1928年和1949年提出从，所以也叫做Nyquist采样定理或Shannon采样定理。 (2) 若信号不是带宽有限信号，那么在采样前需要进行抗混滤波(anti-aliasing

34、)，即滤去频率高于s /2的频率分量。,对具体信号采样频率的确定方法： 如果采频太低，信号损失多；如果采频太高，则数据量增大，实现困难。 一般取s = (34)m,为了书写方便，以后用T替代Ts表示采样周期。,在不混淆的情况下，离散频域变量也和连续频域变量可以不加区分。（实际上，= T）,3、信号的恢复,根据前面的推导可知，保持器的输入离散信号为：,两边取拉氏变换：,而保持器的输出离散信号为：,两边取拉氏变换：,(1),(2),其频率特性为：,(4),由式(5)知零阶保持器的幅频和相频特性如下图所示：,(1)由幅频特性可知,零阶保持器是一种低通滤波器，它除了允许采样信号的主要频谱分量通过外，高

35、频分量也从旁瓣不同程度地泄漏。因此， x(t)与xh(t)不完全相同。,(2)由相频特性可知,零阶保持器具有线性相位，在,(1)一阶保持器,是一种按照线性规律外推的保持器。其外推规律为：,可以推导出一阶保持器的传递函数和频率特性：,一阶保持器的频率特性见右下图，,其中虚线为零阶保持器的特性，可见一阶保持器更容易让高频通过，此外，该保持器相位滞后更大。因此，一阶保持器反映比较迟钝，不利于闭环系统的稳定性。而且实现起来复杂，应用较少。,2.3 线性离散系统,一、离散信号和离散系统 二、信号的采样和恢复 三、Z变换 四、脉冲传递函数 五、离散系统的稳定性分析 六、 离散系统的状态空间分析法,三、Z变

36、换,1、Z变换的定义 2、Z变换的性质 3、常见函数的Z变换 3、 Z变换的计算方法（自学） 4、 Z反变换及计算方法（自学）,两边取拉氏变换：,那么称X(z)为x*(t)的Z变换，表示为Z x*(t),1、Z变换实际上可以看作数拉氏变换的一种变形。,关于Z变换的几点说明：,2、Z变换中， X(z) 是采样脉冲序列x*(t)的Z变换，只考虑采样时刻的信号值。而在采样时刻， x(t) 的值就是x(kT)，所以从这个意义上讲， X(z)即是 x*(t) 的Z变换，可以写为 x(t)和x(kT) 的Z变换，即：,(1) 线性:,(2) 时域位移:,(3) 比例:,(4) z域微分：,(5) z域位移

37、：,(6) 时域卷积：,(7) 初值定理：,(8) 终值定理：,2、Z变换的性质,x(t),y(t)为因果序列,见书中表p30表1-1，要求掌握下面几个重要函数的Z变换及其推导过程。其它函数的Z变换可以查表。,解：,当n=0时，有,(2) 求,解：用级数相加法,3、常见函数的Z变换,(3),解1: 用级数相加法,解2: 用Z变换的z域位移性质,(4),解:,(5),解: 欧拉公式,根据Z变换的线性性质,(6),解1: 用留数计算法,设x(t)的拉氏变换X(s)有n个极点,则x(t)的Z变换X(z)可以表示为：,本题中,3、 Z变换的计算方法（自学） 级数求和法 部分分式法 留数计算法 利用Z变

38、换性质法,具体内容见： 王积伟，吴振顺，控制工程基础，高等教育出版社，2001 P213221,4、 Z反变换及计算方法（自学） 长除法 部分分式法 留数计算法,作业,2D 证明Z变换的时域位移性质，即,2E 求单位脉冲序列的Z变换,2.3 线性离散系统,一、离散信号和离散系统 二、信号的采样和恢复 三、Z变换 四、脉冲传递函数 五、离散系统的稳定性分析 六、 离散系统的状态空间分析法,四、脉冲传递函数,1、脉冲传递函数定义 2、脉冲传递函数计算 3、离散系统的开环脉冲传递函数 4、离散系统的闭环脉冲传递函数,1、脉冲传递函数定义,脉冲传递函数是描述线性离散系统特性的重要手段。类所以线性连续系

39、统中的传递函数。,在线性移不变系统(LSI)中，在初始状态为零的条件下，环节或系统的输出脉冲序列的Z变换之比称为该环节或系统的脉冲传递函数，记为：,注：由于物理系统的输出通常是连续量，而Z变换定义的原函数是离散信号，所以在上图系统输出的末尾加一个虚设的同步采样开关，用来得到y*(t)。,则,2、脉冲传递函数计算,思路：根据LSI离散系统连续部分的单位冲击响应h(t)或传递函数G(s)来计算系统的脉冲传递函数。,连续部分的输出结果虚设的采样开关后，得到如下离散信号：,根据脉冲传递函数的定义,则G(z)为h(kT)的Z变换，即,所以，可以由LSI系统连续部分的传递函数G(s)或单位脉冲响应h(t)

40、求该系统的脉冲传递函数则G(z)，步骤为：,步骤一：由G(s)求h(t)，即,步骤二：确定h(kT)，即,步骤三：求h(kT)，的Z变换，即,对于常见函数或信号，可以通过查Z变换表，由G(s)直接获得G(z)：,例1.13 设开环系统的传递函数为,求相应的脉冲传递函数G(z)。,解： 为了查表直接得出G(z)，首先将G(s)分解为部分分式之和。,本例中，G(s)可分解为如下部分分式。,查Z变换表：,3、离散系统的开环脉冲传递函数,例1.14 求如图所示RC网络的脉冲传递函数,（1）输入端仅有一个采样器,解： 用定义求解，即先求连续部分 传递函数G(s)，再求G(z),该系统的微分方程为：,利用

41、拉氏变换可得传递函数为：,（2）当开环系统的各环节之间有采样器分割,方法：将两个环节视为离散系统串联，分别求出各环节的脉冲传递函数，再将其相乘，得到系统总的脉冲传递函数。,（3）当开环系统的各环节之间没有采样器分割,方法：先求连续部分的传递函数，再求开环系统的 脉冲传递函数。,系统连续部分的传递函数：,则开环系统的脉冲传递函数：,应当注意：,解: a)若有采样分割,b)若无采样分割,（4）带零阶保持器的开环系统的脉冲传递函数的求法,解：图中连续部分的传递函数：,设,由拉氏变换和Z变换的平移定理,4、离散系统的闭环脉冲传递函数,由于采样器在闭环系统中的位置有多种可能性，因此，闭环采样系统没有唯一

42、的结构形式，以下列举几个常见的闭环采样系统，并推导其脉冲传递函数。,（1）,解：对误差信号进行采样：,对上式作Z变换：,从e*(t)到b(t)可以看作开环系统，所以：,所以上述系统的脉冲传递函数为：,（2）带有数字校正器D(z)的采样控制系统,由图可知：,把(2)和(3)代入(1)，有,代入(4)，有,所以系统的脉冲传递函数,（3）,由图可知：,所以：,则系统的输出的Z变换为,无法写出脉冲传递函数的其显式表达式,（4）,结论：由(3)、(4)可知，闭环采样系统脉冲传递函数无固定形式。有时无法写出其显式表达式，因此常用输出量的Z变换代替。,由图可知：,所以：,五、离散系统的稳定性分析,稳定性式控

43、制系统重要性能，也是系统能够正常工作的首要条件。,定义：如果系统受到外界扰动，不论它的初始偏差有多大，当扰动取消后，都能以足够的准确度恢复到初始平衡状态，这种系统就叫做稳定的系统。,1、S平面轨迹在Z平面的映像,线性连续系统稳定性的充要条件是系统的极点都位于s平面的左半部分。对于离散系统，需要在z平面中研究其稳定性。,(4) 在s平面，当s沿虚轴从原点(=0)变化到 时,对应到z平面上，幅角从0度沿逆时针绕原点变化到360度,例1.16 求使图示系统稳定 的K值的范围（设T=1s）,解：设前向通道传递函数为：,则整个系统的脉冲传递函数为：,设,根据以前含有零阶保持器开环系统的分析知,将T=1s

44、带入上式，得系统的特征方程为：,系统的极点为：,要使系统稳定，必须满足：,即使系统稳定的K值范围为：,(1)双线性变换（W变换）,该变换使z平面和w平面建立如下映射关系：,证明：令,(2)劳斯判据,劳斯判据：劳斯表中第一列元素全部大于零。若出现小于零的元素，表示系统不稳定。,假定线性系统的特征方程可写成如下的一般形式,则可以写出劳斯表：,例1.17 图示采样系统T=1s，试判断其稳定性。如果没有采样器，该连续系统的稳定性如何？,解：前向通道传递函数为：,包含脉冲传递函数为：,将T=1带入后，特征方程为：,劳斯表为：,劳斯表第一列出现负数，故系统不稳定,分析：以上系统无采样器时，是稳定的二阶连续

45、系统。而加入采样器后系统不再稳定。所以，采样后可导致系统不稳定。为了改善系统的稳定性，可提高采样频率。因为，这样其工作状态更接近于连续系统。,如果没有采样器，该连续系统的传递函数为：,劳斯表为：,劳斯表第一列都为正数，故系统稳定,2F 如图所示闭环系统，T=1s, a=1,求此时系统的临界开环放大系数（即系统稳定时k的极限值）：,作业,上节课内容回顾及重点,脉冲传递函数得定义和计算 开环脉冲传递函数 闭环脉冲传递函数（难点是针对采样分割器得位置选择合理得分析点） 离散系统的稳定性分析 s平面与z平面得映射关系 稳定性的充分必要条件 劳斯判据（双线性变换，z平面w平面，劳斯表）,2.3 线性离散

46、系统,一、离散信号和离散系统 二、信号的采样和恢复 三、Z变换 四、脉冲传递函数 五、离散系统的稳定性分析 六、 离散系统的状态空间分析法,六、 离散系统的状态空间分析法,在线性连续系统中，选择不同的状态变量，就可得到不同的状态空间表达式。状态空间分析法同样也可以应用于线性离散系统。,1、线性离散系统状态空间表达式（重点内容）,为了书写方便，省略采样周期T0 ，系统差分方程可写为：,由定常差分方程写系统状态空间表达式与微分方程类似。,（1）,(1)作用函数不含未来值,写为矩阵形式，得到状态方程：,（5）,式中：,式中：,即该离散系统的状态空间表达式为：,(2)作用函数含有未来值,利用待定系数法

47、，可知,式中：,其状态空间表达式的求解步骤为：对差分方程通过Z变换，写成脉冲传递函数的形式，再写出其状态空间表达式。,其中，mn,且满足初始条件为零时，即,（7）,解法一：因为含有作用函数的未来，因此取状态变量为：,则状态方程为：,由差分方程可知：,所以,则系统状态方程矩阵形式为,输出方程为,解法二：如果差分方程满足初始条件为零，则可用Z变换法求解。,对差分方程进行Z变换，可得脉冲传递函数为：,引入取中间变量w，可得,则,进行Z反变换，写为差分方程形式,状态空间表达式矩阵形式为：,结论：两种方法得到得状态空间表达式不相同，因为状态变量选取不一样。,取状态变量为：,则状态方程为：,则输出方程为：,系统状态方程的一般形式为：,根据状态方程，有：,同理：,2、线性离散系统状态方程的解(了解内容),(2)Z变换法：,对状态方程进行Z变换，有：,(2),分析：式(1)、(2)都是状态方程的解，所以,可见，用Z变换法解状态方程的步骤为：,用Z变换求解要复杂一些，但可以得到解析式得结果。,作业：,2G 试列写下面离散系统的状态方程和输出方程：,