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1、第二章 质点动力学,1 牛顿运动定律,任何质点都保持静止或匀速直线运动状态，直到其它物体作用的力迫使它改变这种状态为止。,第一定律引进了二个重要概念,惯性 质点不受力时保持静止或匀速直线运动状态的的性质,其大小用质量量度。,力 使质点改变运动状态的原因,质点处于静止或匀速直线运动状态时：,( 静力学基本方程 ),一. 牛顿第一定律,二. 牛顿第二定律,某时刻质点动量对时间的变化率正比与该时刻作用在质点上所有力的合力。,取适当的单位，使 k =1 ，则有,当物体的质量不随时间变化时,直角坐标系下为,讨论,(1) 第二定律只适用于质点的运动情况,自然坐标下,物体在运动中质量有所增减,如火箭、雨滴问
2、题。,高速（v 107 m/s ) 运动中,质量与运动速度相关,如相对论效应问题。,(2) 以下两种情况下，质量不能当常量,三. 牛顿第三定律,第三定律揭示了力的两个性质,成对性 物体之间的作用是相互的。,同时性 相互作用之间是相互依存，同生同灭。,当物体 A 以力,作用于物体 B 时，物体 B 也同时以力,作用于物体 A 上，,和,总是大小相等，方向相反，,且在同一直线上。,讨论,第三定律是关于力的定律，它适用于接触力。对于非接触的两个物体间的相互作用力，由于其相互作用以有限速度传播，存在延迟效应。,四、力学中常见的几种力,1. 万有引力,质量为 m1、m2 ，相距为 r 的两质点间的万有引
3、力大小为,用矢量表示为,说明,(1) 依据万有引力定律定义的质量叫引力质量，常见的用天平称量物体的质量，实际上就是测引力质量；依据牛顿第二定律定义的质量叫惯性质量。实验表明：对同一物体来说，两种质量总是相等。,如图所示，一质点m 旁边放一长度为L 、质量为M 的杆，杆离质点近端距离为l 。,解,例,该系统的万有引力大小。,求,当 l L 时,(2) 万有引力定律只直接适用于两质点间的相互作用,杆与质点间的万有引力大小为,质点与质量元间的万有引力大小为,(3) 重力是地球对其表面附近物体万有引力的分力,为物体所处的地理纬度角,设地球半经为R ，质量为M ，物体质量为m ，考虑地球自转后物体重力为
4、,2. 弹性力,当两宏观物体有接触且发生微小形变时，形变的物体对与它接触的物体会产生力的作用，这种力叫弹性力 。,在形变不超过一定限度内，弹簧的弹性力 遵从胡克定律,绳子在受到拉伸时，其内部也同样出现弹性张力。,无形变，无弹性力,设绳子MN 两端分别受到的拉力为 和 。,M,N,P,想象把绳子从任意点P 切开，使绳子分成MP 和NP 两段， 其间的作用力大小T 叫做绳子在该点P 的张力。如图所示。,设绳子以垂直加速度 运动，绳子质量线密度为 ， 则其上任一小段 l 满足下列方程, l,由方程看出：一般情况下，绳子上各处的张力大小是不相等的，但在绳子的质量可以忽略不计时，绳子上各处的张力相等。,
5、3. 摩擦力,当两相互接触的物体彼此之间保持相对静止，且沿接触面有相对运动趋势时，在接触面之间会产生一对阻止上述运动趋势的力，称为静摩擦力。,（1）静摩擦力,说明,静摩擦力的大小随引起相对运动趋势的外力而变化。最大静摩擦力为 fmax=0 N,（2）滑动摩擦力,两物体相互接触，并有相对滑动时，在两物体接触处出现的相互作用的摩擦力，称为滑动摩擦力。,( 0 为最大静摩擦系数，N 为正压力),( 为滑动摩擦系数),4.物体运动时的流体阻力,当物体穿过液体或气体运动时，会受到流体阻力，该阻力与运动物体速度方向相反，大小随速度变化。,(1) 当物体速度不太大时，流体为层流，阻力主要由流体的粘滞性产生。
6、这时流体阻力与物体速率成正比。,(2) 当物体穿过流体的速率超过某限度时（低于声速），流体出现旋涡，这时流体阻力与物体速率的平方成正比。,(3) 当物体与流体的相对速度提高到接近空气中的声速时， 这时流体阻力将迅速增大。,五、牛顿运动定律的应用,1. 微分问题,例,解,2 . 积分问题,求,物体受到的力,已知一物体的质量为 m , 运动方程为,已知运动状态，求质点受到的合力,已知质点受到的合力 ，求运动状态。,与质点运动学相似，质点动力学问题大体可分为两类问题。,设一高速运动的带电粒子沿竖直方向以 v0 向上运动，从时刻 t = 0 开始粒子受到 F =F0 t 水平力的作用，F0 为常量，粒
7、子质量为 m 。,水平方向有,例,解,粒子的运动轨迹。,求,运动轨迹为,竖直方向有,设一物体在离地面上空高度等于地球半径处由静止落下。,在地面附近有,以地心为坐标原点，物体受万有引力,解,可得：,例,它到达地面时的速度（不计空气阻力和地球的自转）。,求,例,在竖直向上方向建坐标，地面为原点（如图）.,设压力为 N,解,O,y,l,y,取整个绳为研究对象,一柔软绳长 l ，线密度 r ，一端着地开始自由下落.,求,下落到任意长度 y 时刻，给地面的压力为多少？,以初速度v0 竖直向上抛出一质量为m 的小球，小球除受重力外，还受一个大小为mv 2 的粘滞阻力。,解,例,求,小球上升的最大高度。,装
8、沙子后总质量为M 的车由静止开始运动，运动过程中合外力始终为 f ，每秒漏沙量为 。,解,取车和沙子为研究对象，地面参考系如图，t = 0 时 v = 0,例,求,车运动的速度。,即,六、 牛顿运动定律的适用范围,1. 惯性系,甲,乙,m,牛顿定律适用,牛顿定律不适用,有力,地面参考系中的观察者甲：,运动车厢参考系中的观察者乙：,有力,和加速度,即,无加速度,惯性系：牛顿运动定律适用的参照系,结论：,牛顿第二定律不能同时适用于上述两种参考系,讨论,(2) 相对于一惯性系作匀速直线运动的参照系都是惯性系。,(1) 严格的惯性系是关于参照系的一种理想模型。大多数情况下，通常取地面参照系为惯性参照系
9、。,2. 牛顿运动定律的适用范围,牛顿运动定律适用于宏观物体的低速运动。,说明,物体的高速运动遵循相对论力学的规律；微观粒子的运动遵循量子力学的规律。,牛顿力学是一般技术科学的理论基础和解决实际工程问题的重要依据和工具。,(1),(2),3. 惯性力,设 S 系( 非惯性系 ) 相对S 系( 惯性系 ) 平动，加速度为 。,质点 m 在S 系和S 系的加速度分别为,由伽俐略变换有,在S 系:,引入虚拟力或惯性力,惯性力是虚拟力，没有施力者，也没有反作用力。不满足牛顿第三定律。,在S 系：,牛顿第二定律形式上成立,说明,惯性力的概念可推广到非平动的非惯性系。,(1),(2),则,T,T,质量分别
10、为 m1 和 m2 的两物体用轻细绳相连接后，悬挂在一个固定在电梯内的定滑轮的两边。滑轮和绳的质量以及所有摩擦均不计。当电梯以 a0=g/2 的加速度下降时。,解,取电梯为参考系,例,m1 和 m2 的加速度和绳中的张力。,求,对m1 有,对m2 有,方法（一）,取地面为参考系,例,一光滑斜面固定在升降机的底板上，如图所示，当升降机以匀加速度a0 上升时，质量为m 的物体从斜面顶端开始下滑。,y,x,x 方向,y 方向,物体对斜面的压力和物体相对斜面的加速度。,求,解,设物体的加速度为,x 方向,y 方向,方法（二）,取升降机为参考系,惯性力,例题2-3 物体在黏滞流体中的运动。质量为m的小球
11、在重力G（mg）、浮力F0、阻力f=kv（其中k是一个比例常数，它与小球的尺寸、材料与流体的黏度有关，而v是小球的运动速度）的作用下竖直下降。试求小球的速度、位置随时间变化的函数关系。,解： 该题为已知力求运动。以小球m为研究对象，画出受力图，并以小球运动直线为x轴，取其一点为原点O。由牛顿定律可写出,解出小球的速度,例题2-4 由地面沿铅直方向发射质量为m的宇宙飞船。试求宇宙飞船能脱离地球引力所需的最小初速度(不计空气阻力及其它作用力）,解：选宇宙飞船为研究对象。设地球为均质球，地心为原点，取x坐标轴向上为正。飞船只受地球引力作用，根据万有引定力定律，地球对飞船引力的大小为,由牛顿第二定律得
12、,飞船要脱离地球引力的作用，即意味着飞船的末位置x趋于无限大而v0。把x时v=0代入上式，即可求得飞船脱离地球引力所需的最小初速度(取地球的平均半径为6370 km)为,=11.2 kms-1,这个速度称为第二宇宙速度。需要指出，在上面的分析中忽略了空气阻力，同时也未考虑地球自转等影响。,设飞船在地面附近(xR)发射时的初速度为v0，在x处的速度为v,2 质点动量定理,力的时间积累，即冲量,m,动量,牛顿运动定律,结论,力F 的元冲量,一. 冲量和动量,二. 质点动量定理,质点动量的增量等于合外力乘以作用时间的增量,（动量定理的微分形式）,对一段有限时间有,x,y,z,O,质点动量的增量等于合
13、力对质点作用的冲量 质点动量定理,(1) 物理意义：,质点动量的变化依赖于作用力的时间累积过程,合力对质点作用的冲量,质点动量矢量的变化,(2) 矢量性：,冲量的方向与动量的增量方向相同,讨论,（动量定理积分形式）,在力的整个作用时间内，平均力的冲量等于变力的冲量,平均力,冲量的任何分量等于在它自己方向上的动量分量的增量,动量定理的分量形式,例 一篮球质量0.58kg，从2.0m高度下落，到达地面后，以同样,解 篮球到达地面的速率,对地平均冲力,相当于 40kg 重物所受重力!,速率反弹，接触时间仅0.019s.,求 对地平均冲力?,例 质量为 m 的匀质链条，全长为 L，,开始时，下端与地面
14、的距离为 h , 当链,条自由下落在地面上时,所受链条的作用力？,L,h,解 设,链条在此时的速度,根据动量定理,地面受力,m,求 链条下落在地面上的长度为 l ( lL )时，地面,dm,三、质点系动量定理,P 表示质点系在时刻 t 的动量,（质点系动量定理）,一对内力,直角坐标系：,在有限时间内：,(1) 只有外力可改变系统的总动量,(2) 内力可改变系统内单个质点的动量 内部作用复杂,说明,某段时间内，质点系动量的增量，等于作用在质点系上所有外力在同一时间内的冲量的矢量和 质点系动量定理,一粒子弹水平地穿过并排静止放置在光滑水平面上的木块,已知两木块的质量分别为 m1, m2 ，子弹穿过
15、两木块的时间各为 t1, t2 ，设子弹在木块中所受的阻力为恒力F,子弹穿过第一木块时，两木块速度相同，均为v1,子弹穿过第二木块后，第二木块速度变为v2,例,解,求 子弹穿过后， 两木块各以多大速度运动,解得,四、质点系动量守恒定律,当,动量守恒的分量表述,(1) 动量守恒定律适用于惯性系,质点系动量守恒定律,说明,(2) 动量守恒定律也适用于高速，微观领域,如图所示，两部运水的卡车A、B在水平面上沿同一方向运动，B的速度为u ，从B上以6kg/s的速率将水抽至A上，水从管子尾部出口垂直落下，车与地面间的摩擦不计，时刻 t 时，A车的质量为M，速度为v 。,选A车M和t时间内抽至A车的水m为
16、研究系统，水平方向上动量守恒,解,例,求 时刻 t ，A 的瞬时加速度,A,B,u,v,A,在恒星系中，两个质量分别为 m1 和 m2 的星球，原来为静止，且相距为无穷远，后在引力的作用下，互相接近，到相距为 r 时。,解,由动量守恒，机械能守恒,例,解得,相对速率,求 它们之间的相对速率为多少？,例题2-6 一个质量 的垒球，以 的速率沿水平方向飞向击球手，被击中后，又以相同的速率沿 的仰角方向飞出。设球和棒的作用时间 ms，求垒球受到棒的平均打击力。,解：直接用动量定理的矢量形式求解。垒球被击中前后的动量 和 的 矢量关系。,组成矢量三角形。由题意可知,垒球受到棒的平均打击力约为垒球自身重
17、力的5900倍，说明打击力是多么强大！,例题2-8 粒子是氦原子核。在一次 粒子散射实验中， 粒子和静止的氧原子核发生“碰撞” 。实验测出，碰撞后 粒子沿与入射方向成 角的方向运动，而氧原子核沿与 粒子入射方向成 角的方向运动。求碰撞前后 粒子的速率比。,解：,令 粒子入射方向与x轴平行，由动量守恒定律得,由以上两式解得,即碰撞后 粒子的速率约为初速率为71%。,3 动能定理和能量守恒定律,1.恒力的功,2.变力的功,a,b,求质点M 在变力作用下，沿曲线 轨迹由a 运动到b，变力作的功,一段上的功：,M,在,一、功,在直角坐标系中,说明,(1) 功是标量，且有正负,(2) 合力的功等于各分力
18、的功的代数和,在ab一段上的功,在自然坐标系中,(3) 一般来说，功的值与质点运动的路径有关,二、功率,力在单位时间内所作的功，称为功率。,平均功率,当t 0时的瞬时功率,质量为10kg 的质点，在外力作用下做平面曲线运动，该质 点的速度为,解,在质点从 y = 16m 到 y = 32m 的过程中，外力做的功。,求,例,开始时质点位于坐标原点。,缓慢拉质量为m 的小球，,解,例, = 0 时，,求,已知用力,保持方向不变,作的功。,已知 m = 2kg , 在 F = 12t 作用下由静止做直线运动,解,例,求,t = 02s内F 作的功及t = 2s 时的功率。,三、几种常见力的功,1.重
19、力的功,重力mg 在曲线路径 M1M2 上的功为,重力所作的功等于重力的大小乘以质点起始位置与末了 位置的高度差。,(1)重力的功只与始、末位置有关，而与质点所行经的路 径无关。,(2)质点上升时，重力作负功；质点下降时，重力作正功。,m,G,结论,2.弹性力的功,(1) 弹性力的功只与始、末位置有关，而与质点所行经的路径无关。,(2) 弹簧的变形减小时，弹性力作正功；弹簧的变形增大时，弹性力作负功。,弹簧弹性力,由x1 到x2 路程上弹性力的功为,弹性力的功等于弹簧劲度系数乘以质点始末位置弹簧形变 量平方之差的一半。,结论,3.万有引力的功,上的元功为,万有引力F在全部路程中的功为,(1)
20、万有引力的功，也是只与始、末位置有关，而与质点所行经的路径无关。,M,a,b,m,结论,在位移元,4.摩擦力的功,在这个过程中所作的功为,摩擦力的功，不仅与始、末位置有关，而且与质点所行经的路径有关 。,摩擦力方向始终与质点速度方向相反,(2) 质点移近质点时，万有引力作正功；质点A远离质点O 时，万有引力作负功。,结论,摩擦力,四、质点动能定理,作用于质点的合力在某一路程中对质点所作的功，等于质点在同一路程的始、末两个状态动能的增量。,(1) Ek 是一个状态量, A 是过程量。,(2) 动能定律只用于惯性系。,说明,五、质点系动能定律,把质点动能定理应用于质点系内所有质点并把所得方程相加有
21、:,(1) 内力和为零,内力功的和是否为零？,不一定为零,S,L,讨论,(2) 内力的功也能改变系统的动能,例:炸弹爆炸，过程内力和为零，但内力所做的功转 化为弹片的动能。,一轻弹簧的劲度系数为k =100N/m，用手推一质量 m =0.1 kg 的物体把弹簧压缩到离平衡位置为x1=0.02m处, 如图所示。放手后，物体沿水平面移动到x2=0.1m而停止。,放手后，物体运动到 x 1 处和弹簧分离。在整个过程中，,解,例,物体与水平面间的滑动摩擦系数。,求,摩擦力作功,弹簧弹性力作功,根据动能定理有,长为l 的均质链条，部分置于水平面上，另一部分自然下垂, 已知链条与水平面间静摩擦系数为0 ,
22、 滑动摩擦系数为,(1) 以链条的水平部分为研究对象，设链条每单位长度的质量为，沿铅垂向下取Oy 轴。,解,例,求,满足什么条件时，链条将开始滑动 (2) 若下垂部分长度为b 时，链条自静止开始滑动，当链条末端刚刚滑离桌面时，其速度等于多少？,当 y b0 ，拉力大于最大静摩擦力时，链条将开始滑动。,设链条下落长度 y =b0 时，处于临界状态,(2) 以整个链条为研究对象，链条在运动过程中各部分之间相互作用的内力的功之和为零，,摩擦力的功,重力的功,根据动能定理有,六、势能与机械能守恒定律,1.保守力,如果力所做的功与路径无关，而只决定于物体的始末 相对位置，这样的力称为保守力。,保守力沿闭
23、合路径一周所做的功为零。,即,例如重力、万有引力、弹性力都是保守力。,作功与路径有关的力称为非保守力。,例如: 摩擦力,质点在保守力场中某点的势能，在量值上等于质点从M点移动至零势能点M0 的过程中保守力,（1）重力势能,（2）弹性势能,所作的功。,2. 势能,（3）万有引力势能,r,M,m,等势面,例如,在质量为M、半径为R、密度为 的球体的万有引力场中,M,R,x,m,质点在球外任一点C ，与球心距离为x，质点受到的万有引力为:,O,质点在球内任一点C，与 球心距离为x，质点受到 的万有引力为,m,在保守力场中，质点从起始位置 1 到末了位置2，保守力的 功 A 等于质点在始末两位置势能增
24、量的负值,质点的势能与位置坐标的关系可以用图线表示出来。,（3） 势能曲线,(1) 由于势能零点可以任意选取，所以某一点的势能值是相对的。,(2) 保守力场中任意两点间的势能差与势能零点选取无关。,说明,重力势能,弹性势能,E,万有引力势能,3. 机械能守恒定律,对质点系:,当,机械能守恒定律,机械能增量,(2) 守恒定律是对一个系统而言的,(3) 守恒是对整个过程而言的，不能只考虑始末两状态,说明,(1) 守恒条件,把一个物体从地球表面上沿铅垂方向以第二宇宙速度,解,根据机械能守恒定律有:,例,物体从地面飞行到与地心相距 nRe 处经历的时间。,求,发射出去，阻力忽略不计，,4.能量守恒定律
25、,能量不能消失，也不能创造，只能从一种形式转换为另一种形式。对一个封闭系统来说，不论发生何种变化，各种形式的能量可以互相转换，但它们总和是一个常量。这一结论称为能量转换和守恒定律。,3. 机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在机械运动范围内的体现,1. 能量守恒定律可以适用于任何变化过程,2. 功是能量交换或转换的一种度量,例如：利用水位差推动水轮机转动，能使发电机发电，将机械能转换为电能。,讨论,电流通过电热器能发热，把电能又转换为热能。,例题2-9 马拉爬犁在水平雪地上沿一弯曲道路行走。爬犁总质量为3 t，它和地面的滑动摩擦系数 求马拉爬犁行走2 km的过程中，路面摩擦力对爬犁做的功。,解:
26、 爬犁在雪地上移动任一元位移dr的过程中，它受的滑动摩擦力的大小为,0.1230009.812000=7.06106(J),例题2-10 质量为m的摆锤系于绳的下端，绳长为l，上端固定，一个水平力F从零逐渐增大，缓慢地作用在摆锤上，使摆锤虽得以移动，但在所有时间内均无限地接近于力平衡，一直到绳子与竖直线成 角的位置。试计算变力F所做的功。,ds,F,l,T,解: 选摆锤为研究对象。将力沿水平、竖直方向分解，其分量式为,力F对摆锤所作的总功为,例题2-12 把质量为m的物体，从地球表面沿铅直方向发射出去，试求能使物体脱离地球引力场而作宇宙飞行所需的最小初速度第二宇宙速度。,解：取地球中心为坐标原
27、点并假设地球是半径为R、质量为M的均质球。在物体从初始位置(r1=R)运动到末了位置(r2=)的过程中，不考虑空气阻力，只有万有引力做功，由动能定理,考虑到,这个结果与例题2-4的结果相同。,例题2-14 一个劲度系数为k的弹簧，一端固定，另一端与质量为m2的物体相连，m2静止在光滑的水平面上。质量为m1的物体从半径为R的1/4光滑圆弧上滑下，与m2粘在一起压缩弹簧。求弹簧的最大压缩量。,解： 本题由三个物理过程组成。第一个过程为m1从静止下滑到水平面上，还没有与m2相碰的过程，在此过程中机械能守恒（取m1与地球为一个质点系）。设m1滑到水平面时的速度为v1 ，由机械能守恒可知,按动量守恒定律有,根据机械能守恒定律，可得,