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1、第三节 三重积分,一、引例 二、在直角坐标系下计算三重积分 二、在柱面坐标系下计算三重积分 三、在球面坐标系下计算三重积分 四、小结 五、作业,一、引例,空间物体的质量,二、三重积分的定义与性质,直角坐标系中将三重积分化为三次积分,三、在直角坐标系下计算三重积分,如图，,X型,再计算,的函数,得,则,当D为Y型闭域时,相交不多两点情形.,所以,三重积分可以化为六种不同次序的三次积分(累次积分).,和积分域选取适当的三次积分进行计算.,解题时,要依据具体的被积函数,同样,也可以把积分域向yOz、zOx面投影.,解,例,解：,思考：,注：熟练后直接写出三次积分，不必先“一”后“二”！,解,如图，,
2、解,如图,练习 求,解,的原函数不是初等函数,应先x对积分,一定要交换积分次序.,解,sw下次从此开始,解,原式,小结：,变式：,三重积分的定义和计算（直角坐标系下）,计算方法：投影法、截面法）,小结:,思考题,选择题:,四、利用柱面坐标计算三重积分,规定：,柱面坐标与直角坐标的关系为,如图，三坐标面分别为,圆柱面；,半平面；,平 面,如图，柱面坐标系中的体积元素为,问题：,如何将柱面坐标系下的三重积分化成三次积分？,方法：,三重积分的投影法+二重积分的极坐标法,解,知交线为,解,所围成的立体如图，,类似课本P.110例6,所围成立体的投影区域如图，,方法二：（截面法）即课本P.111方法三,
3、五、利用球面坐标计算三重积分,规定：,如图，三坐标面分别为,圆锥面；,球 面；,半平面,球面坐标与直角坐标的关系为,如图，,球面坐标系中的体积元素为,如图，,解,补充：利用对称性化简三重积分计算,使用对称性时应注意：,、积分区域关于坐标面的对称性；,、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的,奇偶性,解,积分域关于三个坐标面都对称，,被积函数是 的奇函数,解,思考题,（1） 柱面坐标的体积元素,（2） 球面坐标的体积元素,（3） 对称性简化运算,三重积分换元法,柱面坐标,球面坐标,小结,三重积分的换元法,与二重积分的类似,总结,三重积分的定义、物理意义、性质、对称性 *三种坐标下计算三重积分（四种方法） 必须熟练掌握！ 换元法,六、作业,