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1、1.3 单自由度系统受迫振动,受迫振动系统在外界激励下产生的振动 激励形式可以为力（直接作用力或惯性力），也可以为运动（位移、速度、加速度）。外界激励一般为时间的函数，可以是周期函数，也可以是非周期函数。 简谐激励是最简单的激励。一般的周期性激励可以通过傅里叶级数展开成简谐激励的叠加。,有阻尼系统在简谐激振力作用下，系统的运动微分方程为,令,得到有阻尼质量弹簧系统受迫振动微分方程的标准形式,微分方程的全解等于齐次方程的通解与非齐次方程的特解之和。,齐次方程通解: x1(t),非齐次方程特解: x2(t),有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解,x1(t) 有阻尼自由振动运动微分方程的解：,
2、特解为:,有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解,由二部分组成：,第一部分振动的频率是自由振动频率 ；由于阻尼的作用，这部分的振幅都时间而衰减。-瞬态振动,第二部分以激励频率作简谐振动，其振幅不随时间衰减 稳态受迫振动。,特解为:,代入方程,解得,幅频特性与相频特性,引入量纲为1的参数 ， s， ,-称为静力偏移, 为振幅与静力偏移之比，称为振幅比（又称放大因子）。,s 是激励频率与固有频率之比，称为频率比。, s 称为幅频特性曲线, s 称为相频特性曲线,结论：,（1）线性系统对简谐激励的稳态响应是频率等同于激振频率、而相位滞后激振力的简谐振动,（2）稳态响应的振幅及相位只取决于系统本身
3、的物理性质（m, k, c）和激振力的频率及力幅，而与系统进入运动的方式（即初始条件）无关,单自由度系统受迫振动/ 稳态响应的特性,稳态响应的特性,以s为横坐标画出 (s) 曲线,幅频特性曲线,简谐激励作用下稳态响应特性：,（1）当,激振频率相对于系统固有频率很低,响应的振幅A 与静位移B 相当,（2）当,激振频率相对于系统固有频率很高,响应的振幅很小,（3）在以上两个领域,对应于不同 值,曲线较为密集，说明阻尼的影响不显著,系统即使按无阻尼情况考虑也是可以的,单自由度系统受迫振动/ 稳态响应的特性,单自由度系统受迫振动/ 稳态响应的特性,（4）当,对应于较小 值， (s) 迅速增大,当 =
4、0, (s) ,共振 振幅无穷大,但共振对于来自阻尼的影响很敏感，在s=1 附近的区域内，增加阻尼使振幅明显下降,单自由度系统受迫振动/ 稳态响应的特性,（5）对于有阻尼系统， 并不出现在s=1处，而且稍偏左,振幅无极值,（6）当,单自由度系统受迫振动/ 稳态响应的特性,记:,品质因子,带宽,阻尼越弱，Q越大，带 宽越窄，共振峰越陡峭,单自由度系统受迫振动/ 稳态响应的特性,以s为横坐标画出 (s) 曲线,相频特性曲线,（1）当s1（0） 相位差 0 位移与激振力在相位上几乎相同,（2）当s1（0） 位移与激振力反相,（3）当s 1 0共振时的相位差为 ，与阻尼无关,【例】图示带有偏心块的电动
5、机，固定在一根不计自重的弹性梁上。设电机的质量为m1，偏心块的质量为m2，偏心距为e，弹性梁的刚度系数为k，阻力系数为c，求当电机以匀角速度旋转时系统的稳态振动的位移幅值。,【解】系统可简化为图示的力学模型，将电机与偏心块看成一个质点系,设电机轴心在t 瞬时相对平衡位置的坐标为x,偏心块的坐标为x + esint，质点系动量定理在x方向的投影表达式为,整理后得系统的微分方程为,引入,微分方程化为标准形式,解得,令,解得,其幅频特性和相频特性曲线,【例】图示为一测振仪的简图，其中物块质量为m，弹簧刚度系数为k，阻力系数c。测振仪放在振动物体表面，将随物体而运动。设被测物体的振动规律为 。求测振仪
6、中物块的运动微分方程及其受迫振动规律。,【解】以物块的静平衡位置为坐标原点，考察其相对地球的运动（绝对运动），运动微分方程可写为,令,则微分方程可写成,其中,微分方程特解：,回代得：,由前计算化简可得,系统的幅频特性和相频特性为,代入,引入量纲为1的量:,系统的幅频特性为,系统的相频特性为,系统的幅频特性和相频 特性曲线,单自由度系统受迫振动/ 受迫振动的过渡阶段,受迫振动的过渡阶段,在系统受到激励开始振动的初始阶段，其自由振动伴随受迫振动同时发生。系统的响应是暂态响应与稳态响应的叠加,回顾：,显含t，非齐次微分方程,非齐次微分方程 通解,齐次微分方程 通解,非齐次微分方程 特解,阻尼自由振动
7、 逐渐衰减,持续等幅振动,暂态响应,稳态响应,单自由度系统受迫振动/ 受迫振动的过渡阶段,先考虑无阻尼的情况，假设激励为正弦激励,通解：,齐次方程通解,非齐次方程特解,由初始条件确定,单自由度系统受迫振动/ 受迫振动的过渡阶段,初始条件响应,自由伴随振动,强迫响应,以系统固有频率振动,单自由度系统受迫振动/ 受迫振动的过渡阶段,初始条件响应,自由伴随振动,强迫响应,初始条件为零,自由伴随振动,强迫响应,由于系统是线性的,也可以利用叠加定理求解,通解:,初始条件响应,自由伴随振动,强迫响应,单自由度系统受迫振动/ 受迫振动的过渡阶段,单自由度系统受迫振动/ 受迫振动的过渡阶段,即使在零初始条件下
8、,也有自由振动与受迫振动相伴发生.,实际中总是存在着阻尼的影响,因而上式右端的暂态运动会逐渐衰减,进而消失,最终系统为稳态响应.,单自由度系统受迫振动/ 受迫振动的过渡阶段,例:计算初始条件,以使 的响应只以频率 振动.,解:,如果要使系统响应只以 为频率振动,必须成立:,初始条件:,例:计算初始条件,以使 的响应只以频率 振动.,单自由度系统受迫振动/ 受迫振动的过渡阶段,解:,全解,由,求一阶导数,由,单自由度系统受迫振动/ 受迫振动的过渡阶段,如果要使系统响应只以 为频率振动,初始条件:,单自由度系统受迫振动/ 受迫振动的过渡阶段,若激励频率与固有频率十分接近,令,为小量,考虑稳态响应,
9、单自由度系统受迫振动/ 受迫振动的过渡阶段,可看作频率为 ，振幅按 规律缓慢变化的振动,这种在接近共振时的特殊振动现象称为拍,拍的周期为：,图形的包络线：,单自由度系统受迫振动/ 受迫振动的过渡阶段,当,随着t增大，振幅无限增大，无阻尼系统共振的响应曲线,即使是无阻尼系统，要达到理论上的无穷大振幅，也需要无限长的时间。,所以，如果机器的工作运转速度设计在共振转速以上，穿越共振去并没有很大困难，只要穿越的快些就好。,单自由度系统受迫振动/ 受迫振动的过渡阶段,讨论有阻尼系统在过渡阶段对简谐激励的响应,利用前述相同的方法，可得,初始条件响应,自由伴随振动,强迫响应,单自由度系统受迫振动/ 受迫振动
10、的过渡阶段,初始条件响应,自由伴随振动,强迫响应,经过充分长的时间，作为瞬态响应的前两种振动将消失，只剩下稳态强迫响应,单自由度系统受迫振动/ 受迫振动的过渡阶段,初始条件响应,自由伴随振动,强迫响应,对于零初始条件,单自由度系统受迫振动/ 简谐惯性力激励的受迫振动,简谐惯性力激励的受迫振动,背景：地基振动，转子偏心引起的受迫振动,特点：激振惯性力的振幅与频率的平方成正比,坐标：相对基座的位移,动力学方程,基座运动规律,单自由度系统受迫振动/ 简谐惯性力激励的受迫振动,解得：,回顾：,单自由度系统受迫振动/ 简谐惯性力激励的受迫振动,单自由度系统受迫振动/ 简谐惯性力激励的受迫振动,若以绝对位
11、移 为坐标,单自由度系统受迫振动/ 简谐惯性力激励的受迫振动,单自由度系统受迫振动/ 简谐惯性力激励的受迫振动,可以看出： 当 时，,振幅恒为支撑运动的振幅D,当 时，,振幅恒小于D,增加阻尼反而会使振幅增大,单自由度系统受迫振动/ 简谐惯性力激励的受迫振动,单自由度系统受迫振动/ 简谐惯性力激励的受迫振动,解：,汽车行驶的路程可表示为：,则,路面的激励频率为,由,为常数得,与 成反比,空载时的阻尼比为：,满载和空载时的频率比：,单自由度系统受迫振动/ 简谐惯性力激励的受迫振动,满载时的阻尼比为：,空载时的阻尼比为：,满载时的频率比：,空载时的频率比：,记满载时的振幅为,空载时的振幅为,满载与
12、空载的振幅比为,单自由度系统受迫振动/ 简谐惯性力激励的受迫振动,已知梁截面惯性矩I，弹性模量E，,梁质量不计,例,支座A产生微小竖直振动,支座B不动,求：质量m的稳态振动振幅,解：在质量m作用下，由材料力学可求出静挠度 固有频率,：因 的运动而产生的质量m处的运动,动力学方程：,振幅,单自由度系统受迫振动/ 简谐惯性力激励的受迫振动,支承运动小结,基座位移规律：,相对位移,绝对位移,单自由度系统受迫振动/ 简谐惯性力激励的受迫振动,高速旋转机械中，偏心质量产生的离心惯性力是主要的激励来源。,旋转机械总质量为M，转子偏心质量为m，偏心距为e，转子转动角速度为。,x：机器离开平衡位置的垂直位移,
13、则偏心质量的垂直位移：,由达朗伯原理，系统在垂直方向的动力学方程：,单自由度系统受迫振动/ 简谐惯性力激励的受迫振动,不平衡量引起的离心惯性力,设,单自由度系统受迫振动/ 简谐惯性力激励的受迫振动,单自由度系统受迫振动/ 简谐惯性力激励的受迫振动,例：,偏心质量系统,共振时测得最大振幅为0.1m,由自由衰减振动测得阻尼系数为,设,求： （1）偏心距e，（2）若要使系统共振时振幅为0.01 m，系统的总质量需要增加多少？,单自由度系统受迫振动/ 简谐惯性力激励的受迫振动,解：,（1）共振时的最大振幅,（2）若要使共振时的最大振幅0.01m,单自由度系统受迫振动/ 简谐惯性力激励的受迫振动,偏心质
14、量小结,单自由度系统受迫振动/ 机械阻抗和导纳,机械阻抗与导纳,工程中常用机械阻抗来分析结构的动力特性。,机械阻抗定义为简谐激振时复数形式的输入与输出之比,动力学方程：,输入：,输出：,代入得：,根据定义，位移阻抗：,单自由度系统受迫振动/ 机械阻抗和导纳,位移阻抗与复频响应函数互为倒数， H( ) 也称为导纳,输出也可以定义为速度或加速度，相应的机械阻抗称为速度阻抗和加速度阻抗。,速度阻抗,加速度阻抗,机械阻抗的倒数称为机械导纳，相应 、 、 分别有位移导纳、速度导纳和加速度导纳,机械阻抗和机械导纳都仅仅取决于系统本身的动力特性（m，k，c），它们都是复数。,单自由度系统受迫振动/ 机械阻抗
15、和导纳,现已有多种专门测试机械阻抗的分析仪器，根据系统的机械阻抗可以确定和分析系统的固有频率，相对阻尼系数等参数及其它动力特征。,单自由度系统受迫振动/ 工程中的受迫振动问题/惯性式测振仪,惯性式测振仪,基础位移,x 为m 相对于外壳的相对位移 动力方程：,振幅：,当仪器的固有频率远小于外壳振动频率时，仪器读数的幅值A1 接近外壳振动的振幅D,低固有频率测量仪用于测量振动的位移幅值，称为位移计,单自由度系统受迫振动/ 工程中的受迫振动问题/惯性式测振仪,当仪器的固有频率远大于外壳振动频率时，仪器读数的幅值A1与外壳加速度的幅值成正比,高固有频率测量仪用于测量振动的加速度幅值，称为加速度计,被测
16、物体的加速度幅值,单自由度系统受迫振动/ 工程中的受迫振动问题/惯性式测振仪,另一种分析方法,基础位移假定为正弦:,x 取绝对位移，受力图,动力学方程：,叠加原理，解为右端两项解之和,单自由度系统受迫振动/ 工程中的受迫振动问题/惯性式测振仪,和前述支承运动中的绝对位移法结果相同,单自由度系统受迫振动/ 工程中的受迫振动问题/振动的隔离,振动的隔离,将作为振源的机器设备与地基隔离，以减少对环境的影响称为主动隔振,隔振前机器传到地基的力：,隔振后系统响应,单自由度系统受迫振动/ 工程中的受迫振动问题/振动的隔离,隔振后通过k、c传到地基上的力：,单自由度系统受迫振动/ 工程中的受迫振动问题/振动
17、的隔离,单自由度系统受迫振动/ 工程中的受迫振动问题/振动的隔离,解：,频率比：,弹性支承的刚度：,机器振动的振幅：,主动隔振系数：,传到地基上的力幅：,单自由度系统受迫振动/ 工程中的受迫振动问题/转子的临届转速,转子的临界转速,汽轮机、发电机等高速旋转机械在开机或停机过程中经过某一转速附近时，支撑系统经常会发生剧烈振动,临界转速,在数值上很接近转子横向振动的固有频率,以单盘转子为例,单自由度系统受迫振动/ 工程中的受迫振动问题/转子的临届转速,单自由度系统受迫振动/ 工程中的受迫振动问题/转子的临届转速,单自由度系统受迫振动/ 工程中的受迫振动问题/转子的临届转速,单自由度系统受迫振动/
18、工程中的受迫振动问题/转子的临届转速,可见，当阻尼比较小时，即使转子平衡得很好（e很小），动挠度f也会相当大，容易使轴破坏，这样的转速成为临届转速，为：,用每分钟转速表示：,单自由度系统受迫振动/ 工程中的受迫振动问题/转子的临届转速,单自由度系统受迫振动/ 工程中的受迫振动问题/转子的临届转速,单自由度系统受迫振动/ 任意周期激励的响应,单自由度系统受迫振动/ 任意周期激励的响应,当 作用于系统上所产生的静变形,单自由度系统受迫振动/ 任意周期激励的响应,单自由度系统受迫振动/ 任意周期激励的响应,单自由度系统受迫振动/ 任意周期激励的响应,分别为第n次谐波激励所对应的振幅放大因子和相位差,
19、单自由度系统受迫振动/ 任意周期激励的响应,单自由度系统受迫振动/ 任意周期激励的响应,单自由度系统受迫振动/ 任意周期激励的响应,单自由度系统受迫振动/ 任意周期激励的响应,单自由度系统受迫振动/ 非周期激励的响应,单自由度系统受迫振动/ 非周期激励的响应,单自由度系统受迫振动/ 非周期激励的响应,单自由度系统受迫振动/ 非周期激励的响应,单自由度系统受迫振动/ 非周期激励的响应,单自由度系统受迫振动/ 非周期激励的响应,系统的单位脉冲响应即初始位移为零，而初始速度为1/m的自由振动,解为,无阻尼系统：,若单位脉冲力不是作用在时刻t = 0，而是作用在 时刻：,如果系统在 时刻受到冲量为I0
20、 的任意脉冲力作用，则系统暂态响应可用脉冲响应函数表示为：,单自由度系统受迫振动/ 任意非周期激励的响应,任意非周期激励的响应,当处于零初始条件的系统受到任意激振力时，可以将激振力F(t) 看作一系列脉冲力的叠加,对于时刻t =的脉冲力,其冲量为,系统受脉冲作用后产生速度增量：,并引起t 各个时刻的响应,系统的脉冲响应：,由线性系统的叠加原理，系统对任意激振力的响应应等于系统在时间区间0 t 内各个脉冲响应的总和,杜哈梅(Duhamel)积分,单自由度系统受迫振动/ 任意非周期激励的响应,利用卷积性质,任意激励力的响应公式,单自由度系统受迫振动/ 任意非周期激励的响应,单自由度系统受迫振动/
21、任意非周期激励的响应,单自由度系统受迫振动/ 任意非周期激励的响应,单自由度系统受迫振动/ 任意非周期激励的响应,单自由度系统受迫振动/ 任意非周期激励的响应,当t t0 时激振力已经去除，此时系统将以时刻t =t0 时的位移和速度为初始条件做自由振动，称为残余振动.,t t0 时的响应可以求解如下,先求得t =t0 时刻的位移和速度,单自由度系统受迫振动/ 任意非周期激励的响应,单自由度系统受迫振动/ 任意非周期激励的响应,另解,一个自由度系统对矩形冲量的无阻尼响应：,单自由度系统受迫振动/ 任意非周期激励的响应,单自由度系统受迫振动/ 任意非周期激励的响应,单自由度系统受迫振动/ 任意非周期激励的响应,单自由度系统受迫振动/ 任意非周期激励的响应,单自由度系统受迫振动/ 任意非周期激励的响应,单自由度系统受迫振动/ 任意非周期激励的响应,