地理科学专业课程教案.ppt

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1、信阳师范学院城市与环境科学学院 地理科学专业课程教案 讲授人：徐丰 2010年3月,测量与地图学课程基本信息,（一）课程名称：测量与地图学 （二）学时学分：54学时（周3学时），3学分 （三）预修课程： （四）使用教材 潘正风、杨正尧、程效军、成枢、王腾军编著：数字测图原理与方法（第1版），武汉大学出版社，2004年 祝国瑞等编著：地图设计与编绘武汉大学出版社，2004年,（五）教学参考书 1、测量学，顾孝烈、鲍 锋、程效军等，同济大学出版社。 2、测量学实验，顾孝烈、鲍 锋、程效军等，同济大学出版社。 3、测量与地图学，王慧麟等编，南京大学出版社。 4、新编地图学教程，蔡孟裔等编，高等教育出

2、版社。 5、数字测图原理与方法，潘正风等编，武汉大学出版社出版。 （六）教学方法： 课堂讲授，启发式教学，课堂讨论，案例教学，课程设计,（七）教学手段：多媒体教学 （八）考核方式：闭卷考试，课程设计 （九）学生创新精神与实践能力的培养方法： 通过实验设计、实验结果分析与讨论来提高学生分析问题、解决问题的能力、培养学生的动手能力、提高学生解决实际问题的能力。 （十）其它要求： 严格考勤，注重学生课堂表现及课堂参与情况，课下作业，课程设计等占学生成绩的较大比率（30，改变仅由期终考试决定学生该门课程成绩的状态）。,（十一）教学重点： 测量坐标系，测量误差基本知识，基本测量方法，控制测量，地形图的基

3、本知识，碎部测量，大比例尺地面数字测图方法。 地图符号与地图的表示方法，地图的数学基础，制图综合，普通地图，专题地图 （十二）教学难点： 误差传播定律，测角、测距原理，控制测量，等高线和地貌测绘 制图综合，地图符号，地图数学基础,第一部分 测量学 （数字测图原理与方法）,教学目的： 1. 掌握测量的基本知识和基本理论，具有使用常规测量仪器的操作技能。 2. 学习大比例尺数字测图的原理、方法，掌握全站仪数字测图的全过程。 3. 掌握处理测量数据的基本理论和方法，在工程建设的规划、设计和施工中能正确使用地形图和测绘资料。 4. 掌握施工测设过程中最基本的测量方法，能正确使用测量仪器进行一般工程的施

4、工放样工作。,第一章 绪 论,一、测绘学的内容和任务,测绘学是研究测定和推算地面的几何位置、地球形状及地球重力场，据此测量地球表面自然形态和人工设施的几何分布，并结合某些社会信息和自然信息的地球分布，编制全球和局部地区各种比例尺的地图和专题地图的理论和技术的学科，是地球科学的重要组成部分。 测绘学按照研究范围、研究对象及采用技术手段的不同，分为以下几个分支学科：大地测量学、摄影测量学、地图学、工程测量学、海洋测绘学。,第一节 测绘学的任务及作用,1大地测量学,大地测量学是研究和确定地球的形状、大小、重力场、整体与局部运动和地表面点的几何位置以及它们的变化的理论和技术的学科。,2摄影测量学,摄影

5、测量学是研究摄影影像与被摄物体之间的内在几何和物理关系，进行分析、处理和解译，以确定被摄物体的形状、大小和空间位置，并判定其性质的一门学科。,3地图学,地图学是研究模拟和数字地图的基础理论、设计、编绘、复制的技术方法以及应用的学科。,4工程测量学,工程测量学是研究工程建设和自然资源开发中，在规划、勘测设计、施工和运营管理各个阶段进行的控制测量、大比例尺地形测绘、地籍测绘、施工放样、设备安装、变形监测及分析与预报等的理论和技术的学科。,5海洋测绘学,海洋测绘学是以海洋水体和海底为对象，研究海洋定位、测定海洋大地水准面和平均海面、海底和海面地形、海洋重力、海洋磁力、海洋环境等自然和社会信息的地理分

6、布及编制各种海图的理论和技术的学科。,测量学研究地球表面局部地区内测绘工作的基本理论、技术、方法及应用。由于是在地球表面一个小区域内进行测绘工作，故可以把这块球面看做平面而不顾及地球曲率的影响。测量学又称为普通测量学或地形测量学，其主要内容包括角度测量、距离测量、水准测量、控制测量、地形图测绘及地形图的应用。,20世纪80年代，由于全站仪以及计算机硬件、软件技术的迅速发展，大比例尺地形图测绘技术由传统的白纸测图向自动化、数字化方向发展。到80年代后期，出现了以全站仪为主体的地面数字测图系统。,6地形测量学（普通测量学）,二、测绘科学技术的地位和作用,国民经济建设方面 国防建设方面 科学研究方面

7、,第二节 数字测图的发展概况,一、白纸测图,传统的地形测量是利用测量仪器对地球表面局部区域内的各种地物、地貌特征点的空间位置进行测定，以一定的比例尺并按图示符号将其绘制在图纸上，即通常所称的白纸测图。,影响精度的因素多,工序多,劳动强度大,质量管理难,不足,数字测图实质上是一种全解析机助测图方法，在地形测量发展过程中这是一次根本性的技术变革。,计算机的存储介质,计算机处理,远距离传输,多方共享,数控绘图仪输出,电子地图或DTM,二、数字测图,广义的数字测图,大比例尺地面数字测图,三、大比例尺地面数字测图的作业模式,1. 全站仪+电子记录簿(如PC-E500等)成图软件 2. 全站仪+仪器内存成

8、图软件 3. 全站仪+便携式计算机+成图软件 4. 全站仪+掌上电脑+成图软件 5. GPSRTK接收机成图软件（Real Time Kinematic 实时动态定位技术 ）,第二章 测量的基本知识,一、大地水准面,第一节 地球的形状和大小,水准面静止海水面所形成的封闭曲面。,特性,处处与铅垂线正交,是不规则的表面（？），有无穷多,水准面与铅垂线可作为野外测量的基准面和基准线,大地水准面其中通过平均海水面的那个水准面。,大地体大地水准面包围的形体,大地水准面和铅垂线是测量的基准面和基准线,二、参考椭球体,由于地表起伏以及地球内质量分布不均匀，所以大地水准面是个复杂的曲面。无法准确描述和计算。也

9、难以在其面上处理测量成果。,因此，用一非常接近大地水准面的数学面-旋转椭球面代替大地水准面，用旋转椭球体描述地球。代表地球形状和大小的旋转椭球称为“地球椭球”。,与某个区域如一个国家大地水准面最为密合的椭球称为参考椭球，其椭球面称为参考椭球面。,参考椭球有许多个，而总地球椭球只有一个。,旋转椭球体由椭圆（长半轴a，短半轴b）绕b轴旋转而成的椭球体。可用数学式表示的光滑曲面。,椭球的基本几何参数,椭圆的第一偏心率：,椭圆的第二偏心率：,五个基本元素,扁率反映了椭球体的扁平程度,e和e反映椭球体的扁平程度，偏心率越大，椭球愈扁,a、b称为长度元素,决定旋转椭球的形状和大小，只需知逍五个参数中的两个

10、参数就够了，但其中至少有一个长度元素，（比如a和b）。通常习惯于用a、e2或a、 e2或a、 。,我国目前采用的是1975年“国际大地测量与地球物理联合会”推荐的椭球参数，称为“1980年国家大地坐标系”（简称80系），大地原点位于陕西省泾阳县永乐镇。,一、测量常用坐标系,第二节 测量常用坐标系和参考椭球定位,1. 大地坐标系,L,B,大地经度(L),大地纬度(B),大地高(H),过地面点的子午面与起始子午面之间的夹角,过地面点的法线与赤道面之间的夹角,地面点沿法线至参考椭球面的距离,H,2. 空间直角坐标系,以椭球体中心O为原点，起始子午面与赤道面交线为X轴，赤道面上与X轴正交的方向为Y轴，

11、椭球体的旋转轴为Z轴，构成右手直角坐标系O-XYZ，在该坐标系中，P点的点位用OP在这三个坐标轴上的投影X、Y、Z表示。,e为第一偏心率,由空间直角坐标转换为大地坐标，可采用下式：,3. WGS-84坐标系,x,z,y,原点位于地球质心；,Y轴垂直于X、Z轴，X、Y、Z轴构成右手直角坐标系。,Z轴指向BIH1984.0定义的协议地球极(CIP)方向；,X轴指向BIHl984.0的零子午面和CIP赤道的交点；,BIH1984.0零度子午面,BIH1984.0定义的CIP,4. 平面直角坐标系,不同点： 1) 测量上北方向为X轴正向，东方向为Y轴正向。 2) 角度方向顺时针度量；象限顺时针编号。

12、相同点: 数学中的三角公式在测量中可直接应用。,5. 2000坐标系,这是我国当前最新的国家大地坐标系，英文名称为China Geodetic Coordinate System 2000，英文缩写为CGCS2000。原点位于地球质量中心的坐标系统 中国于上世纪50年代和80年代分别建立了1954年北京坐标系和1980西安坐标系,椭球短轴平行于地球自转轴; 大地起始子午面平行于天文起始子午面 ； 在一定区域范围内，椭球面与大地水准面最为密合。,椭球定向是指确定椭球旋转轴的方向，不论是局部定位还是地心定位。椭球定位与定向应满足三个条件 ：,确定参考椭球面与大地水准面的相关位置使参考椭球面在一个国

13、家或地区范围内与大地水准面最佳拟合，称为参考椭球定位。,椭球定位是指确定椭球中心的位置，可分为两类:局部定位和地心定位。,二、参考椭球定位,选择或求定椭球的几何参数（长短半径）； 确定椭球中心位置（定位）； 确定椭球短轴的指向（定向）； 建立大地原点。,椭球定位与定向的实现方法,在一个国家适当地点选定一地面点P作为大地原点，并在该点进行精密天文测量和高程测量。将P点沿铅垂线方向投影到大地水准面上得到P点，设想大地水准面与参考椭球面在P点相切，椭球面上P点的法线与该点对大地水准面的铅垂线重合，令椭球短轴与地球自转轴平行，其赤道面与地球赤道面平行。,1）单点定位,即表明在大地原点K处，椭球的法线方

14、向和铅垂线方向重合，椭球面和大地水准面相切。,一点定位的结果在较大范围内往往难以使椭球面与大地水准面有较好的密合。,2）多点定位,多点定位的结果使椭球面在大地原点不再同大地水准面相切，但在所使用的测量资料的范围内，椭球面与大地水准面有最佳的密合。,利用许多测定了天文经度、天文纬度和天文方位角的大地点的测量成果和已有的椭球参数，按照 =最小这一条件，通过计算进行新的定位和定向。,第三节 地图投影和高斯平面直角坐标系,一、地图投影,所谓地图投影，简略说来就是将椭球面各元素（包括坐标、方向和长度）按一定的数学法则投影到平面上。研究这个问题的专门学科叫地图投影学。,椭球面是一个凸起的、不可展平的曲面，

15、若将这个曲面上的元素（比如一段距离、一个角度、一个图形）投影到平面上，就会和原来的距离、角度、图形呈现差异，这一差异称作投影的变形 （角度变形、长度变形和面积变形三种）。,1地图投影的概念,2地图投影的分类,1)按正轴投影时经纬网的形状分类 在正轴投影中，投影面的中心线与地轴一致。按正轴投影时经纬网的形状，投影可分为圆锥投影、圆柱投影、方位投影。 圆锥投影 设想用一个圆锥套在地球椭球上而把地球椭球上经纬线网投影到圆锥面上，然后沿某一条母线(经线)将圆锥面剪开展成平面，就得到圆锥投影。投影中纬线为同心圆圆弧，经线投影后为相交于一点的直线束，且夹角与经差成正比。 圆柱投影 设想圆锥顶点延伸到无穷远

16、时，即成为一个圆柱面。从几何意义上看，圆柱投影是圆锥投影的一个特殊情况。在圆柱面展开成平面后，投影中纬线为一组平行直线，经线为垂直于纬线的另一组平行直线。 方位投影 将一个平面切于椭球极点，再将经纬线网投影到此平面上，在正轴方位投影中，纬线投影后为同心圆，经线投影后为同心圆的半径，且两经线间的夹角与实地经度差相等。,2)按内在的变形特征分类 等角投影 任何点上两微分线段所组成的角度在投影后仍保持不变。也即投影前后对应的微分面积保持图形相似，所以也称为正形投影。 等积投影 某一微分面积投影前后保持相等。 任意投影 既不能保持等角(正形)又不能保持等面积的投影，统称为任意投影。,3) 按照地球椭球

17、面与投影面不同的相对位置，可以分为： 正轴投影 投影面的中心线与地轴相重合时的投影。 斜轴投影 投影面的中心线与地轴斜交所得的投影。 横轴投影 投影面的中心线与地轴垂直所得的投影。,3地形图测绘对地图投影的要求,（1）要是等角投影（又称正形投影）；,（2）长度和面积变形不大，并能用简单公式计算由变形而引起的改正数。,高斯投影方法：目的是将椭球面投影到平面上。使投影带的中央子午线与椭圆柱体相切，展开后为X轴，向北为正；赤道展开后为Y轴，向东为正。,二、高斯平面直角坐标系,1高斯-克吕格投影,(1) 中央子午线的投影为一条直线，且投影之后的长度无变形；其余子午线的投影均为凹向中央子午线的曲线，且以

18、中央子午线为对称轴，离对称轴越远，其长度变形也就越大； (2) 赤道的投影为直线，其余纬线的投影为凸向赤道的曲线，并以赤道为对称轴； (3) 经纬线投影后仍保持相互正交的关系，即投影后无角度变形； (4) 中央子午线和赤道的投影相互垂直。,2. 高斯投影的特点,3. 分带投影,高斯投影中，除中央子午线外，各点均存在长度变形，且距中央子午线越远，长度变形越大。为了控制长度变形，将地球椭球面按一定的经度差分成若干范围不大的带，称为投影带。带宽一般分为经差6和3，分别称为6带和3带 。,带号N与相应的中央子午线经度L0的关系是：,3. 高斯克吕格平面直角坐标系,分带投影后，各带的中央子午线都和赤道垂

19、直，以中央子午线作为纵坐标轴x,赤道为横坐标轴y，其交点O为坐标原点。这样，在每个投影带内，便构成了一个既和地理坐标有直接关系、又有各自独立的平面直角坐标系，称为高斯-克吕格坐标系。,将以中央子午线为X轴的横坐标加上500km；,为区分各坐标带，再在各点横坐标之前加上坐标带的带号。,4国家统一坐标,5距离改化,根据球面上的长度，将其拉长改化为投影面上的距离，叫做距离改化。,S与D的关系：,推导出：,6方向改化,a、b两点间的距离较短时，投影曲线可以视为圆弧，于是有：,球面超角的计算公式：,-F球面四边形的面积,方向改化值有正负,用平面四边形的面积代替球面四边形的面积,第四节 高 差,地面点到高

20、度起算面的垂直距离称为高程。,在一般测量工作中是以大地水准面作为高程基准面。,为了建立全国统一的高程系统，通常采用平均海水面代替大地水准面作为高程基准面。,我国取由青岛验潮站验潮结果推算的黄海平均海面作为我国高程起算的基准面。,1956年黄海平均高程面 （水准原点高程72.289米）,1985国家高程基准 （水准原点高程72.260米）,某点沿铅垂线方向到大地水准面的距离，称为该点的绝对高程或海拔，简称高程，用H表示。,从某点到假定水准面的垂直距离，称为该点的假定高程或相对高程。,在局部地区或某项工程建设中，当引测绝对高程有困难时，可以任意假定一个水准面为高程起算面。,两点间的高程差，称为高差

21、。,第六节 方位角,1真北方向 过地面某点真子午线的切线北端所指示的方向，称为真北方向。真北方向可采用天文测量的方法测定，如观测太阳、北极星等，也可采用陀螺经纬仪测定。 2坐标北方向 坐标纵轴(X轴)正向所指示的方向，称为坐标北方向。实用上常取与高斯平面直角坐标系中X坐标轴平行的方向为坐标北方向。 3磁北方向 磁针自由静止时其指北端所指的方向，称为磁北方向。磁北方向可用罗盘仪测定。,一、基本方向,二、子午线收敛角与磁偏角,1子午线收敛角 过一点的真北方向与坐标北方向之间的夹角称为子午线收敛角，用表示。的符号规定为：若坐标北方向在真北方向东侧时，为正；若坐标北方向在真北方向西侧时，为负。,式中，

22、,2磁偏角 由于地球磁极与地球南北极不重合，因此过地面上一点的磁北方向与真北方向不重合，其间的夹角称为磁偏角，用表示。的符号规定为：磁北方向在真北方向东侧时，为正；磁北方向在真北方向西侧时，为负。,三、方位角 由直线一端的基本方向起，顺时针方向至该直线的水平角度称为该直线的方位角。方位角的取值范围是0360。 1真方位角：由真北方向起算的方位角，用A表示。 2坐标方位角：由坐标北方向起算的方位角，用表示。 3磁方位角：由磁北方向起算的方位角，用Am表示。,四、方位角之间的相互换算,A=Am+ A=+ =Am+,五、正、反坐标方位角,12=21180,第六节 地形图的基本知识,凡地面各种固定性的

23、物体均称之为地物； 地表面的各种高低起伏形态都称之为地貌。 地形是地物和地貌的总称。,地形图是按照一定的数学法则，运用符号系统表示地表上的地物、地貌平面位置及基本的地理要素且高程用等高线表示的一种普通地图。,地形图的内容大致可分为三类： 数学要素，如比例尺、坐标格网等； 地形要素，即各种地物、地貌； 注记和整饰要素，包括各类注记、说明资料和辅助图表。本节主要介绍地形图的比例尺、地形图符号、图廓及图廓外注记。,一、地图的比例尺及比例尺精度,1地图的比例尺,地图上任一线段的长度与地面上相应线段水平距离之比，称为地图的比例尺。,比例尺表示形式有两种：数字比例尺和图示比例尺。,(1)数字比例尺,(2)

24、图示比例尺,最常见的图示比例尺是直线比例尺。用一定长度的线段表示图上的实际长度 。,为提高估读的准确，可采用称为复式比例尺 ，以减少估读的误差。,2比例尺精度,在测量工作中称相当于图上0.1 mm实地水平距离为比例尺精度。,根据比例尺精度，可参考决定：,(1)按工作需要，多大的地物须在图上表示出来或测量地物要求精确到什么程度，由此可参考决定测图的比例尺。 (2)当测图比例尺决定之后，可以推算出测量地物时应精确到什么程度。,（1）大比例尺地形图1：500、1：1000、1：2000、1：5000 （2）中比例尺地形图1：1万、1：2.5万、1：5万、1：10万 （3）小比例尺地形图1：20万、1

25、:25万、1：50万、1：100万,二、地形图符号,地形图符号有三类：地物符号、地貌符号和注记符号。 1地物符号 地物符号是用来表示地物的类别、形状、大小及其位置分为比例符号、非比例符号和半比例符号。 2地貌符号 地形图上表示地貌的方法有多种，目前最常用的是等高线法。在图上，等高线不仅能表示地面高低起伏的形态，还可确定地面点的高程，对峭壁、冲沟、梯田等特殊地形，不便用等高线表示时，则绘注相应的符号。 3注记 注记包括地名注记和说明注记。,三、图廓及图廓外注记,1矩形分幅地形图的图廓,2梯形分幅地形图的图廓,图号、图名和接图表 比例尺 经纬度及坐标格网 三北方向图 坐标系统 高程系统 图式、测图

26、日期 测图者 内、外图廓。,第七节 地形图的分幅与编号,地形图的分幅方法有两种：一种是按经纬线分幅的梯形分幅法；另一种是按坐标格网线分幅的矩形分幅法。,一、梯形分幅与编号,我国基本比例尺地形图(1：100万l：5 000)采用经纬线分幅 。以1：100万地形图为基础，按规定的经差和纬差划分图幅 。,优点：是每个图幅都有明确的地理位置概念，适用于很大范围的地图分幅。,缺点：图幅拼接不方便。,一幅1：1 00万比例尺地形图，是由纬差4的纬圈和经差6的子午线所围成的梯形。其编号由该图所在的列号与行号组合而成。,1：100万地形图的编号采用国际统一的行列式编号。从赤道起分别向南向北，每纬差4为一列，至

27、纬度88各分为22横列，依次用大写拉丁字母(字符码)A，B，C，V表示。从180经线起，自西向东每经差6为一行，分为60纵行。,120世纪7080年代我国基本比例尺地形图的分幅与编号,1:5千,a,b,c,d,J-50-1-(1)-a,梯形分幅关系示意图,2现行的国家基本比例尺地形图分幅和编号,1：50万,4幅,J50B001002,1：25万,16幅,J50C003003,1：10万,1212幅,J50D010010,1：5万,2424幅,J50E017016,1：2.5万,4848幅,J50F042033,1：1万,192192幅,J50G083058,1：5000,9696幅,J50H0

28、83105,已知图幅内某点的经、纬度或图幅西南图廓点的经、纬度，计算1：100万地形图图幅编号。,例 某点经度为1143345，纬度为392230，计算其所在图幅的编号。,a=3922304+1=10 b=11433456+31=50,已知图幅内某点的经、纬度或图幅西南图廓点的经、纬度，也计算所求比例尺地形图在1：100万地形图图号后的行、列号。,见前例，1：1万的图中的编号,二、矩形分幅与编号,1按图廓西南角坐标编号,采用图廓西南角坐标公里数编号，x坐标在前，y坐标在后，中间用短线连接。l：5 000取至km数；1：2 000、l：1 000取至0.1 km；1：500取至0.0l km。例

29、如某幅1：1 000比例尺地形图西南角图廓点的坐标x=83 500m、y=15，500m，则该图幅编号为83.5-15.5。,2按流水号编号,3按行列号编号,4以1：5 000比例尺图为基础编号,第三章 测量误差的基本知识,第一节 观测误差的分类,一、测量误差产生的原因,1) 人的原因 2) 仪器的原因 3) 外界环境的影响,观测条件,测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为： 系统误差、偶然误差和粗差三类 。 1. 系统误差(system error) 定义：在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果出现的误差在符号和数值上都相同，或按一定的规律变化，这种误差称为“系统误差”。,二

30、测量误差的分类与处理原则,特点： 具有积累性，对测量结果的影响大，但可通过一般的改正或用一定的观测方法加以消除。 例如：钢尺尺长误差、 水准仪视准轴误差。,定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均不一定，这种误差称为偶然误差。但具有一定的统计规律。,2. 偶然误差 (accident error),特点： （1）具有一定的范围。（有界性） （2）绝对值小的误差出现概率大。（占优性） （3）绝对值相等的正、负误差出现的概率相同。 （对称性） （4） 数学期望等于零。（抵偿性）即：,特性：有界性，占优性，对称性，抵偿性。,3. 粗差(gross error),定义：由于

31、观测者的粗心或各种干扰造成的大于限差的误差称为粗差。,如瞄错目标、读错大数等,4) 误差处理原则,粗 差,重复观测 严格检核 计算中发现,发现后舍弃或重测,系统误差,采用适当的观测方法 校正仪器 计算加改正 系统误差补偿,偶然误差 :,采用测量平差的方法,为了防止错误的发生和提高观测成果的精度，在测量工作中，一般需要进行多于必要的观测，称为“多余观测”。,第二节 衡量精度的指标,精度的概念：所谓精度，就是指误差分布的密集或离散的程度，也就是指离散程度的大小。,假如两组观测成果的误差分布相同，便是两组观测成果的精度相同；反之，若误差分布不同，则精度也就不同。 在相同的观测条件下所进行的一组观测，

32、由于它们对应着同一种误差分布，因此，对于这一组中的每一个观测值，都称为是同精度观测值。,结论：第一组比第二组误差分布较为集中，或离散度小。,1. 中误差(mean square error),可以用标准差为统一衡量在一定观测条件下观测结果的精度的指标。,按有限的几次观测的偶然误差求得的标准差为“中误差” 。在实际测量工作中，可以用中误差为衡量精度的指标，用m表示。,计算中误差的公式,真误差：,标准差公式：,中误差公式为：,举 例,设对某个三角形用两种不同的精度分别对它进行门10次观测，求得每次观测所得的三角形内角和的真误差为： 第一组：3，-2，-4，2，0，-4，-3，+2，-3，-1； 第

33、二组：0，-1，-7，+2，+1，+1，-8，+0，+3，-1。,这两组观测值的中误差,2. 相中误差(relative error),3. 极限误差(limit error)或容许误差(tolerance）,对观测值的精度仅用中误差来衡量还不能正确反映出观测值的质量。,常以两倍或三倍中误差作为误差的误差极限,称为“允许误差”，简称“限差”。,相对中误差=,第三节 算术平均值及观测值的中误差,一、算术平均值,在相同的观测条件下，对某个未知量进行n次观测,称为“最或是值”,设某一个量的真值为x，各次观测值为 ，其相应的真误差为1，2，n，则 ：,二、观测值的改正值,一组观测值取算术平均值后，其改

34、正值之和恒等于零。,三、按观测值的改正值计算中误差,(白塞尔公式),简单的解释为：在真值已知的情况下，所有n次观测值均为多余观测；在真值未知的情况下，则有一次观测值是必要的，其余(n1)次观测值是多余的。因此，n和(n1)是分别代表真值已知和未知两种不同情况下的多余观测数。,由基本概念得：,左右各取其总和,取其平方和,第四节 误差传播定律,设函数,为独立观测值，,则有全微分,1. 误差传播定律,微分元素用中误差代替：,若对z观测了n次，将n个关系式平方后求和后：,当 时,两边除以n得：,1. 倍数函数：,2. 和差函数：,3. 线性函数：,2. 常用函数的中误差公式,举 例,1. 量得某圆形建

35、筑物得直径D=34.50m,其中误差 ,求建筑物得圆周长及其中误差。,解：圆周长,举 例,2. 水准测量从A进行到B,得高差 ,中误差 ,从C到B得高差 ,中误差 ,求A,C两点间的高差及其中误差。,3. 用长30m得钢尺丈量了10个尺段，若每尺段的中误差为5mm，求全长D及其中误差。,举 例,举 例,4. 丈量斜距s=50.00m,其中误差 并测得倾斜角 ,其中误差 ,求相应水平距离D及其中误差.,解:,第五节 广义算术平均值及权,一、广义算术平均值,如果对某个未知量进行n次同精度观测，则其最或然值即为n次观测量的算术平均值：,在相同条件下对某段长度进行两组丈量：,第一组：,第二组：,算术平

36、均值分别为,其中误差分别为：,全部同精度观测值的最或然值为：,在,值的大小体现了,中比重的大小，,称,为,的权。,令,若有不同精度观测值,其权分别为,该量的最或然值可扩充为：,称之为广义算术平均值。,当各观测值精度相同时,二.权,定权的基本公式：,称为,中误差,，,为单位权观测值，,当观测值,称为单位权，,单位权中误差。,权的特性,1 反映了观测值的相互精度关系。,值的 大小，对X值毫无影响。,2,3 不在乎权本身数值的大小，而在于相互的比例关系 。,4 若,同类量的观测值，此时，权无单位。若,是不同类量的观测值，权是否有单位不能,一概而论，而视具体情况而定。,例：已知,的中误差分别为：,设,若设,三.单位权中误差的计算公式,在同精度观测中，观测值的精度是相同的，因此可用 来计算观测值的中误差。在不同精度观测中，每个观测值的精度不同，就必须先求出单位权中误差，然后根据 求出各观测值的中误差。,以推导计算单位权中误差的公式为,