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1、数值分析,李小林 重庆师范大学数学学院,Numerical Analysis,3.1 基本概念,第3章 函数逼近,函数逼近: 用比较简单的函数代替复杂的函数,误差度量标准：,（1）,（1）,（2）,可见，对同一个被逼近函数，不同距离意义下的逼近，逼近函数是不同的.,设给定函数 ，则对 ，存 在一多项式 ，使得 对所有 一致成立。,Bernstein多项式：,Weierstrass定理,3.2 最佳一致逼近/*Best Uniform Approximation */,注： Bernstein多项式具有良好的一致逼近性质；,如果要求精度很高， Bernstein多项式次数 会很高，即它的收敛速度
2、很慢；,Chebyshev方法：在所有次数不超过固定次 数n的多项式中寻找一个最精确地逼近函数 的多项式。,故称之为最佳一致逼近,（最佳一致逼近的定义）,和 的偏差,设函数 ，集合 如果存在 ，满足 其中 则称 为 的n次最佳一致逼近多项式，简称n次最佳逼近多项式。,几何意义,（Chebyshev交错点组/*Group of Alternating Points */）,假设 ，若存在n个点： 满足 且 则称 为 在 上的Chebyshev 交错点组。,（Chebyshev定理）,设函数 ， 则 是 的最佳一致逼近多项式的充要条件是： 在区间 上存在一个至少有n+2个点 组成的交错点组。,Ch
3、ebyshev定理给出了最佳一致逼近多项式满足的性质,（最佳一致逼近多项式的一种求法）,设 在 上有n+1阶导数， 在 上不变号， 是 的最佳一致逼近多项式，则： 的端点属于 的交错点组。,（存在唯一性）,设函数 ，则在 中， 有唯一的最佳一致逼近多项式 。,最佳一致逼近多项式求解过程总结,设在 中所求的最佳一致逼近多项式为：,的n+2个交错点组为：,则有,n+1个方程， 2n+3个未知数,当交错点 在区间 内部时满足,求最佳一致逼近多项式最终归结为求解非线性方程组,例1：求函数 在 上的一次最佳一致逼近多项式。,解：,设所求的一次最佳一致逼近多项式为：,由 Th 知， 和,设 的交错点组为：
4、,由交错点组的性质得到,相应的方程组为,解之得,一次最佳一致逼近多项式为：,3.3 最佳平方逼近/*Best Approximation in Quadratic Norm*/,假设 ， 是a,b上的一个线性无 关函数系,且 , 为a,b上的一个权函数。,如果存在一组系数,称函数 为 在a,b上关于权函数 的最佳 平方逼近或最小二乘逼近；特别，若 ，则称 是 在a,b上的最佳平方逼近.,由定义可以看出，最佳平方逼近问题实际上是个多元极值问题,记,由极值的必要条件,即：,将 代入前式：,令,对称矩阵 是关于函数系 的Gram(格拉姆)矩阵,易证Gram矩阵为实对称正定矩阵：,上述方程组存在唯一解
5、,设由上述方程组的解确定的广义多项式为：,对于任意广义多项式,下面证明,即,记,设给定节点 ，则其最佳平方逼近 唯一存在，且可以由前述Gram组成的方程组求解构造。,例1：求函数 在 上的最佳平方逼近：,解：,本题的函数系和权函数为：,首先计算Gram矩阵：,求解下列法方程组：,所求最佳平方逼近为：,即函数系和权函数取为：,法方程组的系数矩阵为：,n+1阶的 Hilbert矩阵,病态矩阵,函数系的选择方法,如果,（正交函数系）/*Orthogonal System of Function*/,特别，若,称之为标准（规范）正交函数系。,如果取正交函数系：,则法方程组的系数矩阵变为对角矩阵。,所以
6、方程组的解为：,常用的几种正交函数系,1、三角（ Trigonometric ）函数系：,正交性质,2、勒让德（Legendre）多项式系：,性质1（递推公式）,性质2（正交性质）,性质3（最佳逼近性质）,或者,说明:在区间-1,1上，n次首1的Legendre多项式 是零函数的最佳平方逼近多项式,3、切比雪夫（Chebyshev）多项式系：,性质1（递推公式）,性质3（正交性质）,性质2（零点与最值点）,在（-1,1）内的n个零点和n+1个最值点为：,性质4（最佳逼近性质）,在区间-1,1上， n次首1的Chebyshev多项式 是零函数的最佳一致逼近,4、其它多项式系：,拉盖尔（Lague
7、rre）多项式系,是区间 上关于权函数 的正交系,埃尔米特（Hermite）多项式系,是区间 上关于权函数 的正交系,有限区间的转化问题,有限区间 经过下列变换可变为区间,从而可以利用勒让德（Legendre）多项式系或切比雪夫（Chebyshev）多项式系来构造最佳平方逼近。,三、正交多项式应用举例,例2：利用Legendre多项式系，求函数 在 上的三次最佳平方逼近多项式。,解：,关于切比雪夫（Chebyshev）多项式系的应用：,设,Chebyshev级数 （ ）,例3：利用Chebyshev多项式系，求函数 在 上的五次最佳平方逼近多项式。,解：,所求的五次最佳平方逼近多项式为,化为一
8、般多项式的形式：,一、最小二乘问题的一般提法,在实际应用中，经常遇到下列数据处理问题：,已知函数 在m个点上的数据表，寻求其近似函数。,设 的近似函数为,其中 是某函数族中的已知线性无关函数。,3.4 曲线拟合 /*Curve Fitting */,称为 残向量,寻求一组常数 ，要求,的2-范数达到最小。,则得到最小二乘问题：,上述问题的解也称为方程组 的最小二乘解,当 时称之为超定（或矛盾）方程组。,所谓”曲线拟合”,是指根据给定的数据表,寻找一个 简单的表达式来”拟合”该组数据,此处的”拟合”的含义 为:不要求该表达式对应的近似曲线完全通过所有的数 据点,只要求该近似曲线能够反映数据的基本
9、变化趋势.,二、最小二乘多项式拟合,引例1：考察某种纤维的强度与其拉伸倍数的关系. 下表是实际测定的24个纤维样品的强度与相应的 拉伸倍数的数据记录:,可以看出,纤维强度随 拉伸倍数增加而增加,并且24个点大致分 布在一条直线附近,该直线称为这一问题的数学模型。,因此可认为强度与 拉伸倍数之间的主 要关系是线性关系,怎样确定a,b,使得直线能较好地反映所给数据的基 本“变化趋势”?,一般情况,各点误差,总误差,令,问题转化为求参数 使 达到最小值。,这种求线性函数y=a+bx的过程称为线性拟合。,一般地，设 的近似函数为,寻求 ，使得,则称 为函数 的多项式拟合。,满足下列法方程组：,非线性拟合（补充）,某些非线性拟合问题可转化为线性拟合问题,线性化处理：,令,则,由线性拟合方法可得到 和 ，从而的到 和,又如：若非线性函数取为,令,其中,解：,例： 求一个形如 ( 为常数)的经验公 式，使它能和下表给出的数据相拟合:,对 两边取对数得,令,此时,写出法方程组,