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1、第2章平面向量(A)(时间：120分钟满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1与向量a(1，)的夹角为30的单位向量是_2已知三个力f1(2，1)，f2(3,2)，f3(4，3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f4，则f4_.3设平面向量a1，a2，a3满足a1a2a30，如果平面向量b1，b2，b3满足|bi|2|ai|，且ai顺时针旋转30后与bi同向，其中i1,2,3，则b1b2b3_.4若a与b满足|a|b|1，a，b60，则aaab_.5若向量a(1,1)，b(1，1)，c(1,2)，则c_.(用a，b表示)6若向量a(1,1)，b
2、(2,5)，c(3，x)，满足条件(8ab)c30，则x_.7设点A(1,2)、B(3,5)，将向量按向量a(1，1)平移后得到为_8若a(，2)，b(3,5)，且a与b的夹角是钝角，则的取值范围是_9已知向量a(2，1)，b(1，m)，c(1,2)，若(ab)c，则m_.10在菱形ABCD中，若AC2，则_.11已知向量a和向量b的夹角为30，|a|2，|b|，则向量a和向量b的数量积ab_.12已知非零向量a，b，若|a|b|1，且ab，又知(2a3b)(ka4b)，则实数k的值为_13.如图所示，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是_(填序号)；.14.如图所
3、示，半圆的直径AB2，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则()的最小值是_二、解答题(本大题共6小题，共90分)15(14分)已知a，b，c在同一平面内，且a(1,2)(1)若|c|2，且ca，求c；(2)若|b|，且(a2b)(2ab)，求a与b的夹角16(14分)已知|a|2，|b|3，a与b的夹角为60，c5a3b，d3akb，当实数k为何值时，(1)cd；(2)cd.17(14分)已知|a|1，ab，(ab)(ab)，求：(1)a与b的夹角；(2)ab与ab的夹角的余弦值18(16分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，2)，B(2,3)，C(2，
4、1)(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足(t)0，求t的值19(16分)已知正方形ABCD，E、F分别是CD、AD的中点，BE、CF交于点P.求证：(1)BECF；(2)APAB.20(16分)已知向量、满足条件0，|1.求证：P1P2P3是正三角形第2章平面向量(A)1(0,1)或(，)2(1,2)解析根据力的平衡原理有f1f2f3f40，f4(f1f2f3)(1,2)30解析将ai顺时针旋转30后得ai，则a1a2a30.4.解析由题意得aaab|a|2|a|b|cos 601.5.ab解析令cab，则cab.64解析a(1,1)，b(2,5)，8
5、ab(8,8)(2,5)(6,3)又(8ab)c30，(6,3)(3，x)183x30.x4.7(2,3)解析(3,5)(1,2)(2,3)，平移向量后得，(2,3)8.解析ab310.当a与b共线时，.此时，a与b同向，.91解析a(2，1)，b(1，m)，ab(1，m1)(ab)c，c(1,2)，2(1)(m1)0.m1.102解析如图，设对角线AC与BD交于点O，.()202.113解析ab|a|b|cos 302cos 303.126解析由(2a3b)(ka4b)2ka212b22k120，k6.13解析根据正六边形的几何性质，.0，0，|cos |2，|2|cos |2.比较可知正确
6、14解析因为点O是A，B的中点，所以2，设|x，则|1x(0x1)所以()22x(1x)2(x)2.当x时，()取到最小值.15解(1)ca，设ca，则c(，2)又|c|2，2，c(2,4)或(2，4)(2)(2ab)，(a2b)(2ab)0.|a|，|b|，ab.cos 1，180.16解由题意得ab|a|b|cos 60233.(1)当cd，cd，则5a3b(3akb)35，且k3，k.(2)当cd时，cd0，则(5a3b)(3akb)0.15a23kb2(95k)ab0，k.17解(1)(ab)(ab)|a|2|b|21|b|2，|b|2，|b|，设a与b的夹角为，则cos .45.(2
7、)|a|1，|b|，|ab|2a22abb212.|ab|，又|ab|2a22abb212.|ab|，设ab与ab的夹角为，则cos .即ab与ab的夹角的余弦值为.18解(1)(3,5)，(1,1)，求两条对角线的长即求|与|的大小由(2,6)，得|2，由(4,4)，得|4.(2)(2，1)，(t)t2，易求11，25，由(t)0得t.19证明如图建立直角坐标系xOy，其中A为原点，不妨设AB2，则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)，F(0,1)(1)(1,2)(2,0)(1,2)，(0,1)(2,2)(2，1)，1(2)2(1)0，即BECF.(2)设P(x，y)，则(x，y1)，(2，1)，x2(y1)，即x2y2.同理由，得y2x4，代入x2y2.解得x，y，即P.22242，|，即APAB.20证明0，()2()2，|2|22|2，cosP1OP2，P1OP2120.同理，P1OP3P2OP3120，即、中任意两个向量的夹角为120，故P1P2P3是正三角形7