第2章随机变量的概率分布与数字特征.ppt

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1、第二章 随机变量的概率分布 与数字特征,第一节 离散型随机变量及其概率分布 第二节 连续型随机变量及其概率分布 第三节 随机变量的数字特征 第四节 三种重要分布的渐近关系 第五节 大数定律及中心极限定理,一、随机变量的概念,在第一章，我们介绍了随机事件及其概率，可以 看到很多事件都可采取数值标识。如抽检产品时出现 的废品个数；掷骰子出现的点数等。 对那些非数值标识的事件，实际上也可人为地加以 数值标识。例如，对新生儿的性别，可用0表示女，1 表示男；对生化检验的结果，可用0表示阴性，1表示 阳性；对生产的产品，可用2表示优质品，1表示次品， 0表示废品等。,因此，随机试验的结果可用一个变量来表

2、示，这种 随试验结果不同取不同数值的变量称为随机变量。,二、离散型随机变量及其概率分布,1、定义：按一定概率取有限个或可列个值的 随机变量，称为离散型随机变量。,设X所有可能取值为,（i=1,2,),称为离散型随机变量X的概率函数或分布律。,也可用表格来表示（称为概率分布表或分布列）,2、概率函数(分布律),X,性质：（1） （2）,（i=1,2,）,例 设随机变量X的分布律为 （k=1,2,3,4,5) ,求: (1) P(X=1或X=2） (2),解 （1） P(X=1或X=2）=P（X=1）+P(X=2),=1/15+2/15=1/5,（2） =P(X=1)+P(X=2)+P(X=3),

3、=1/15+2/15+3/15=2/5,三、离散型变量的几种常见分布,1、伯努利概型,试验只有两种可能结果：A 及 ， 把这个试验独立重复n次， 就构成了n重伯努利试验，简称伯努利试验。 设P（A）=p =1p=q（其中0p1)，,例1 某药治某病的治愈率为p，现用此药治该病 5例，问治愈3例的概率是多少？,例2 袋中装有白球20个和黑球10个，每次抽一个： （1）作有放回抽取5次，求抽到白球3次的概率； （2）作无放回抽取5次，求抽到白球3次的概率。,解 治5例病人，看成做5次独立的试验。每次试验只有A=治愈 和 =未治愈两个结果。且P(A)=p,则这个试验是5重的伯努利试验,设B=治愈3例

4、=A出现3次,所以,解 （1）有放回抽球，可看成每次试验是独立的， 属于伯努利试验，令A=抽到白球且P（A）=2/3,故,（2）无放回抽球，说明每次试验间不独立，因此 不属伯努利试验，应看成古典概型。,无放回抽5次，可看成一次抽5个球，由古 典公式得,2、二项分布,（1）若随机变量X的概率函数为,（k=0,1,n)，q=1-p,(2)性质,则称X服从二项分布,记为,由于各概率函数值 正好是二项式 展开式中的对应各项,故名二项分布。,例3 设 ，求P（X=4）, P(2X6)。,解 因为,所以X的概率函数为,k=0,1,20,故,用查表法计算较简便,=0.793920.19579=0.59813

5、,遇到二项分布中概率p0.5时，不能直接查表 但可以转化为其对立事件的概率计算。,设X代表A出现次数，Y代表 出现次数，则 X+Y=n且,例4 XB（10，0.7)，求,解,（3）二项分布的最可能值：使P（X=k)取最大值 的k值。即n重伯努利试验中事件A最可能 出现的次数。,例5 有10%的人对某药有肠道反应，为考察此药 的质量，现随机选5人服用此药，试求： （1）其中k(k=0,1,5)个人有反应的概率； （2）不多于2人有反应的概率； （3）有人有反应的概率。,解：随机选5人服药，各人间对药物的反应具有独立 性，且每人服药后有反应的概率均为视为0.1，这相当 于做5次独立重复试验，即p=

6、0.1,n=5的伯努利试验。 因而反应的人数XB（5，0.1),概率分布表如下,(2)不多于2人有反应的概率为,(3)有人有反应的概率为,3、泊松分布(稀有事件模型),在很多实际问题中，n重伯努利试验中的n往往 很大，p很小，则试验结果A出现的次数X，可看成 泊松分布。,正是因为结果A在n次试验中出现的次数非常少，故A可看作稀有事件。,（k=0,1,2.)其中参数,（1）概率函数,（2）性质,服从泊松分布的随机变量在实际中是很多的， 例如三胞胎出生次数，癌症发病人数，放射的粒子 个数，特大洪水发生的年数，抽检大量产品中出现 次品的件数，等等。,（3）泊松定理 在n重伯努利试验中，事件A 在一次

7、试验中出现的概率为p。若 ， np也较小，则令 =np 有 （k=0,1,2,),从定理也可看出，事件A发生的次数X若服从参数 为 的泊松分布，则 表示A在大量试验中发生的 平均次数。,例6 已知某厂生产的针剂的废品率为0.01，400支 针剂中，废品至少有5支以上的概率是多少？,解：设400支针剂中废品数为X，检查400支针剂看 成做400次独立重复试验，即n=400;每次试验结果 为废品或正品，抽到废品的概率即p=0.01,则XB（400，0.01），可近似看成泊松分布,例7 某人在一次试验中遇到危险的概率是1%， 如果他在一年里每天都要独立重复做一次这样的 试验，那么他在一年中至少遇到一

8、次危险的概率 是多少？,解：此人做的试验可看成伯努利试验,n=365,每次 试验遇到危险的概率p=0.01,设他在一年中遇到危险的次数为X，则XB(365,0.01),因为n很大，p较小，可近似看成泊松分布,4、两点分布（01分布）,（k=0,1),可以看出，两点分布即为二项 分布中n=1的特殊情况。,例8 一批产品共100件，其中有95件正品，5件废品， 从中任取一件，观察产品质量.若其结果用随机变量 X来描述，求X的概率函数。,解：设抽到正品，X=1；抽到废品，X=0,则X的分布律为,5、几何分布,（k=1,2,),引例 进行重复独立实验，设每次成功的概率为p, 将实验进行到出现一次成功为

9、止，以X表示所需 实验的总次数，求X的分布律。,6、超几何分布,引例 设有N件产品，其中有M件正品，现任取n件，求n件中恰有k件正品的概率。（以X表示n件中的正品数）,k=0,1,2,l,其中l=Min(M,n),四、分布函数,1、定义： 设X是一随机变量，x为任意实数， 则称函数 为X的分布函数。,2、性质,F(x)在间断点处右连续，即,F(x)单调不减,3、常用公式,由此看出，已知X的分布函数就可知X在任一范围 内取值的概率，这说明分布函数全面地描述了 随机变量的分布情况。,4、离散型随机变量的分布函数,例 设某药检所从送检的药品中先后抽3件，如果 送检的10件中有2件失效，试列出检得次品

10、数的 概率分布表，并求出分布函数。,（分段函数）,解 检得次品数为随机变量，设为X，则X的可取值为 0，1，2 ，由古典概率计算得,X的分布函数为,当x0时，,当 时，,当 时，,当 时，,即,如果取X的值于横轴， 的值于纵轴，便得到X 的概率函数图，它由几条 函数组成，每条线长的值 等于该点上的概率。,取X的值于横轴，F(x) 的值于纵轴，便得到X的 分布函数图。,此例中X是离散型随机变量， 由此可见离散型随机变量的分 布函数是台阶形，在分段点右 连续。,一、连续型随机变量概念,可取某个区间上所有值的变量。,3、连续型随机变量的分布函数,4、分布函数与密度函数之间的互化,重要公式：,例1 设

11、X的分布函数为 ，求 常数A、B及相应的密度函数。,解：由F(x)的性质，有,而,由上述方程解得,所以,例2,已知X的密度函数为,（1）求相应的分布函数F(x)； （2）求 及,解,当 时，,当 时，,（1）,当 时，,当x2时，,=1,（2）,或,或,二、连续型随机变量的几种常见分布,1、正态分布,(1)分布形式,(2)图形与性质,特点是“两头小，中间大，左右对称”.,正态分布的密度曲线是一条 关于 对称的钟形曲线. x轴是f(x)的渐近线,可见 决定了图形的中心位置，称为位置参数； 决定了图形中峰的陡峭程度，称为形状参数.,左图 不变,右图 不变,（3）标准正态分布,标准正态分布函数,重要

12、公式：,若 ，则,XN(0,1),例1 设XN（0,1)，求： （1） ； （2） （3）,解 （1）,查表得0.02275,（2）,=0.02275,（3）,例2 设XN（2，4），求： （1）f(5) (2)P(-4X2),解 由已知得 ，,（1）,（2）,例3 设 ，求,（1）,（2）,解 （1）,（2）,这个结果说明在一次试验中，服从正态分布的随机 变量X落在区间 内的概率相当大，即 X几乎必然落在上述区间内，这就是通常所说的“ ” 原理。,2、均匀分布,XUa,b,这说明X落在子区间的概率只与子区间的长度有关， 与子区间的位置无关。,（1）形式,设（c,c+l)是a,b上的一个子区间

13、，则,（2）分布函数,3、对数正态分布,若 ，则称X服从对数正态分布。,4、韦布尔分布、指数分布,5、 分布,一、均数（数学期望）,引例 设有一批药材是由三个等级的药材组成，现 观察它的等级X。若有放回地抽取10件，其中有5件1等、 3件2等、2件3等，则所取的10件产品的平均等级是多少？,解 X的所有取值为1,2,3，10件产品的平均等级为,将上式改写成,这种把每个等级与相应的频率乘积的和，称为1,2,3 分别以5/10,3/10,2/10为权的加权平均。,我们知道，如果再抽取10件，平均等级就不一定 是1.7等了，可见由于抽样不同，抽样的平均等级也 不同，它是一个随机变量。但是，随着试验（

14、抽取 药材）的次数增大，出现1,2,3等品的频率就会逐渐 稳定在稳定在各自的概率附近。,设 表示第i（i=1,2,3)等药材出现的概率，则整 批药材的平均等级为,我们称这种加权平均值为均数，也叫数学期望。,1、离散型随机变量的均数,设离散型随机变量X的概率函数为,（i=1,2,3,),则规定X的均数,均数是反映随机变量取值的集中 趋势的一个数字特征。,解 ：,2、连续型随机变量的均数,设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，则规定X 的均数为,例2 求在a,b上服从均匀分布的随机变量X的均数 EX。,解 依题意有,由定义得,3、常见分布的均数,（2）若XB（n,p)，则EX=np,（3）若 ，

15、则,（4）若XUa,b，则,（5）若 ，则,（1）若X两点分布，则EX=p,4、均数的性质,（1）E(c)=c (c为常数）,（2）,（k为常数）,（3）,（k,b为常数）,（4）,(X与Y独立）,解,二、方差,均数反映了随机变量取值的平均情况，它是随机 变量的一个重要数字特征，但只看均数是不够的，还 应知道随机变量的取值对均数的偏离程度。,引例 设有甲、乙两台制丸机生产同一种药丸的直径 （mm)的概率分布表如下,如果药丸的标准直径为7mm，问哪台机器的性能 更好？,解 易算出EX=EY=7,可见两台机器都是按标准生 产的。但是从分布可见，甲机器比乙机器生产的丸 径稳定，也就是甲生产的丸径与标

16、准丸径的偏差小。 因此，甲机器的生产性能比乙好。,最终，我们选用 来刻画随机变量X的取 值对均数EX的平均偏离程度（波动程度）。,1、方差定义,称为X的标准差。,方差反映了随机变量取值对均数的平均偏离程度。,（1）离散型,（2）连续型,其中 （i=1,2,),其中f(x)是X的概率密度函数,为了便于计算，可由定义式推出实用计算公式为,即,3、方差的性质,（1）D（C）=0（C为常数） （2） （k为常数） （3） （k、b为常数） （4） （X与Y独立，可推广到 任意有限个相互独立随机变量的情况）,解 D(2X+3)=4DX=,由X的分布列得,则,而由例1知EX=,所以,三、变异系数标准差相对

17、于均数的变化率,变异系数用来比较两个均数相差很大或者量纲不同 的随机变量取值的波动程度。,例5 据调查，某地18岁男子身高均数为165.08cm， 标准差为4.98cm，体重均数为51.6kg，标准差为 5.01kg，试比较该地男子的身高和体重波动程度哪 个大？,解 因为身高和体重单位不同，直接用标准差比较 波动程度不合适，应用变异系数来比较,身高,体重,可见，体重的相对波动程度大于身高的相对波动 程度。,离散型变量的二项分布、泊松分布和连续型变量 的正态分布，是三种最基本也是最重要的分布，它 们之间有着密切的联系，即,当 时，二项分布以泊松分布为极限分布； 当 时，二项分布以正态分布为极限分

18、布； 当 时，泊松分布以正态分布为极限分布,以上第一种渐近分布在第一节中已经介绍过，这 里不再重复。以下介绍后两种渐近分布。,二项分布的正态近似,当 时，,有了二项分布的两个近似运算，现总结二项分布问题 中的计算方法的选择： （1）当n为一个较小的数，可直接用二项分布公式 （2）当n是一个大的数，p很小，np较小，则用泊松 分布近似计算； （3）当n是一个大的数，np较大时，则用正态分布 近似计算,例1 某车间送检一批针剂,其中次品的概率是0.01, 问抽检500支针剂，有5支次品的概率是多少？,解 设抽检的500支针剂中次品数为X,则XB（500，0.01)，其中n很大，np=5较小， 因此

19、化为泊松分布P(5)近似计算,例2 对一癌症高发病地区进行普查，患病率为0.005, 现有这地区一万人的乡村，试求： （1）此乡有70人患癌症的概率； （2）有3050人患病的概率；,解 设一万人的乡村中患癌症的人数为X，则 XB（10000,0.005)，此时n很大，但np=50较大， 故用正态分布来计算,（1）,(2),当 时，,泊松分布的正态近似,例3 某药厂大批量生产外用药，平均每个月的废品数为35件，试估计下个月内出现废品数少于40件的概率。,解 设此药厂每月生产的废品数为X，出现废品属于伯 努利试验之稀有事件，则XP（35），可用正态分布 近似计算,则XN（35，35）,所谓极限定

20、理，就是采用极限的方法得出随机变 量分布的一系列定理。一般可以分为两类： 第一类是阐述若干个随机变量的均数的极限定理， 统称为大数定律；第二类是阐述在怎样的条件下， 当n不断增大时，n个独立随机变量之和的极限分布 为正态分布，统称为中心极限定理。,1、切比雪夫不等式（Chebyshev）,设随机变量X有期望EX和方差DX， 则对于 ,有,一、大数定律,或,切比雪夫不等式只用均数和方差就描述了随机变量 大概的概率分布情况，无需知道X的分布，因此它在 理论研究及实际应用中很有价值。,例1 某地区调查10000名某疾病患者，该病需住院 治疗的概率为0.7，试用切比雪夫不等式估计10000 名患者中同

21、时需要住院的人数在68007200之间 的概率。,解 设X表示同时住院的病人数，则XB(10000,0.7),若要精确计算，应用正态分布近似计算，即,XN(7000,2100),现用切比雪夫不等式来估计,EX=np=7000,DX=npq=2100,虽然有10000名患者，但只要预备7200张病床就能 以相当大的概率保证病床够用。,2、切比雪夫大数定律,设 , 是相互独立的随机变量 且 ，则对 有,这个定理表明，当n充分大时，独立随机变量 的算术平均数近似等于均数 的算术平均数。,推论 若 , 独立同分布， 且 ， ，则对 ，有,上式说明，只要n足够大，样本平均值以很大的 概率接近于总体平均数

22、。这也应证了生活中常用的 “平均数原理”，我们测量一医学指标，在不变的条件 下，重复测量多次，最后取算术平均值作为真值的 近似值。,3、伯努利大数定律,设X是n次伯努利试验中事件A发生的次数， P(A)=p，则对 ，有,该定律证明了频率的稳定性。只要试验次数n足够大，事件A出现的频率f(A)就会稳定在p(A)附近。 因此，在统计实践中，经常用频率作为概率的估计 值。,二、中心极限定理,1、客观背景,观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机 因素的影响所造成，而单个因素在总影响中所起的 作用不大，则这种量一般都服从或近似服从正态分布.,设X1,X2, 是独立同分布的随机变量序列，且EXi= ，DXi= ，i=1,2,，则对任意实数x，有,2、中心极限定理,其中,例2 1片药片的重量是个随机变量，其均数为1g， 标准差为0.1g，求1瓶（100片）药片重量大于102g 的概率。,解 设药片重量为X，瓶中第i片药片的重量为 (i=1,2,100)且 相互独立,由中心极限定理结论中的第三个公式得,100片药片重量可表示为,