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1、曲线运动 一、曲线运动的位移及速度 1曲线运动：运动轨迹是曲线的运动。 2曲线运动的位移 (1)坐标系的选择：在研究做曲线运动的物体的位移时，常常选择平面直角坐标系。 (2)位移的描述：曲线运动中位移矢量的方向不断发生变化，描述位移时，可尽量用它在 坐标轴方向的分矢量来表示，而分矢量可用该点的坐标表示。 如图所示，物体从 O点运动到 A点，位移大小为 l，与 x轴夹角为 ，则在 x方向的分位 移为 xAlcos ，在 y方向的分位移为 yAlsin_。 3曲线运动的速度 (1)速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向。 (2)运动的性质：质点做曲线运动，速度的方向时刻发生变
2、化，因此曲线运动一定是变速 运动。 (3)速度的描述：曲线运动的速度可用相互垂直的两个方向的分矢量表示，这两个分矢量 叫做分速度。如图所示，两个分速度 vx、vy与速度 v的关系为：vxvcos_，vyvsin_。 说明 速度是矢量，速度的变化有三种情况 (1)速度方向不变，只有大小改变，物体做变速直线运动。 (2)速度大小不变，只有方向改变，物体做速率不变的曲线运动。 (3)速度的大小和方向同时变化，物体做曲线运动。 选一选 如图所示，物体沿曲线由a点运动至b点，关于物体在ab段的运动，下列说法正确的是( ) A物体的速度可能不变 B物体的速度不可能均匀变化 1 Ca点的速度方向由 a指向
3、b Dab段的位移大小一定小于路程 解析：选 D 做曲线运动的物体速度方向时刻改变，即使速度大小不变，速度方向也在不 断发生变化，故 A 错误；做曲线运动的物体必定受到力的作用，当物体所受的力为恒力时，物 体的加速度恒定，速度均匀变化，故 B 错误；a点的速度沿 a点的切线方向，故 C 错误；做曲 线运动的物体的位移大小必小于路程，故 D 正确。 二、运动描述的实例 1蜡块的运动 (1)蜡块的位置：如图所示，蜡块沿玻璃管匀速上升的速度设为 vy，玻璃管向右匀速移动 的速度设为 vx。从蜡块开始运动的时刻计时，在时刻 t，蜡块的位置 P可以用它的 x、y两个 坐标表示：xvxt，yvyt。 vy
4、 (2)蜡块的速度：大小为 v v2xv2y，速度的方向满足 tan 。 vx vy (3)蜡块的运动轨迹：y x，是一条过原点的直线。 vx 2运动的合成与分解 (1)合运动与分运动 如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就是合运动，那几个运动就是分 运动。物体的实际运动一定是合运动，实际运动的位移、速度、加速度就是它的合位移、合速 度、合加速度，而分运动的位移、速度、加速度是它的分位移、分速度、分加速度。 (2)运动的合成与分解 由分运动求合运动的过程叫做运动的合成；反之，由合运动求分运动的过程叫做运动的分 解。 (3)运动的合成与分解包括位移、速度和加速度的合成与分解，这些描
5、述运动状态的物理 量都是矢量，对它们进行合成与分解时都可运用平行四边形定则。 注意 理论上讲，一个合运动可以分解成无数组分运动，但在解决实际问题时，常需要考虑运动 的效果和实际情况进行分解，分解时需要注意以下几个问题： (1)确认合运动就是物体实际表现出来的运动。 (2)明确实际运动引起了哪些分运动的效果，找到参与的分运动。 (3)正交分解法是运动分解最常用的方法，选择哪两个互相垂直的方向进行分解是求解问 题的关键。 判一判 1运动描述的实例中，蜡块的水平速度、竖直速度与实际速度三者满足平行四边形定则() 2合运动的时间一定比分运动的时间长() 3合运动和分运动具有等时性，即同时开始、同时结束
6、() 4合运动的位移大小等于两个分运动位移大小之和() 三、物体做曲线运动的条件 2 说明 判一判 1物体做曲线运动时，合力一定是变力() 2物体做曲线运动时，加速度一定不为零() 3两个匀速直线运动的合运动一定是直线运动() 4一个匀速直线运动和一个匀加速直线运动的合运动一定是匀加速直线运动() 5两个匀加速直线运动的合运动可能是曲线运动() 1.从力和运动关系的角度理解物体做曲线运动的条件 (1)当合力的方向跟物体的速度方向始终垂直时，物体做速度大小不变、方向不断改变的 曲线运动，此时的合力只改变速度的方向，不改变速度的大小。 (2)当合力的方向跟速度方向不在同一直线上时，可将合力分解到沿
7、着速度方向和垂直于 速度方向这两个方向，如图所示，沿着速度方向的分力 F1只改变速度的大小，垂直于速度方 向的分力 F2只改变速度的方向，这时物体做速度大小和方向都改变的曲线运动。 (3)若合力和速度之间的夹角为 ，当 090时，物体速度不断增大；当 90 180时，物体速度不断减小。 2曲线运动的轨迹 (1)轨迹图如图所示 (2)轨迹特点及常考的问题 3 典型例题 例 1.(2016佳木斯高一检测)如图所示，一质点从 M 点到 N 点做曲线运动，当它通过 P 点时，其速度 v 和加速度 a 的关系可能正确的是( ) 解析 加速度的方向与合力的方向一致，由曲线运动中合力与轨迹的关系可知，加速度
8、 的方向也一定指向轨迹的凹侧，而速度的方向一定是轨迹上该点的切线方向，故 C 正确。 答案 C 点评 曲线运动中速度、轨迹和合力的位置关系 (1)速度方向与轨迹相切。 (2)合力(加速度)的方向指向轨迹内侧。 (3)运动轨迹总是在合力(加速度)和速度的方向之间。 即时巩固 1多选关于曲线运动，下列说法正确的是( ) A曲线运动是一种变速运动 B做曲线运动的物体所受合力一定不为零 C做曲线运动的物体所受合力一定是变化的 D曲线运动不可能是一种匀变速运动 解析：选 AB 曲线运动中速度方向时刻在改变，故曲线运动是变速运动，A 正确；做曲线 运动的物体所受合力一定不为零，当做曲线运动的物体所受合力不
9、变时，物体做匀变速曲线运 动，B 正确，C、D 错误。 1.合运动与分运动关系的四个特性 2互成角度的两个直线运动的合成 4 3.运动的分解 (1)运动的分解的步骤 根据运动的效果(产生位移)确定运动的分解方向； 应用平行四边形定则，画出运动分解图； 将平行四边形转化为三角形，应用数学知识求解。 (2)两点拓展 运动的合成和分解实际上是描述运动的位移、速度、加速度的合成和分解，合成或分解 的参量必须是相对于同一参考系的； 运动的分解与力的分解一样，如无约束条件，一个运动可以分解为无数组分运动。在具 体分解运动时，一般情况下按照运动的实际效果分解。 典型例题 例 2.质量 m2 kg的物体在光滑
10、水平面上运动，其分速度 vx和 vy随时间变化的图线如图 甲、乙所示，求： (1)物体所受的合力； (2)物体的初速度； 4 3 (3)t8 s 时物体的速度(tan 53 ； ，tan 374) 3 (4)t4 s 内物体的位移大小； 5 (5)物体运动轨迹的方程。 vy 解析 (1)物体在 x 轴方向上的加速度 ax0，y 轴方向上加速度 ay 0.5 m/s2 t 根据牛顿第二定律知物体所受合力 F 合may1 N，方向沿 y 轴正方向。 (2)由图可知 vx03 m/s，vy00 则物体的初速度为 v03 m/s，方向沿 x 轴正方向。 4 (3)t8 s 时，vx3 m/s，vy4
11、m/s，物体的合速度为 v v2xv2y5 m/s，tan ， 3 53 即速度方向与 x 轴正方向的夹角为 53。 (4)t4 s 内，沿 x 轴位移 xvxt12 m 1 沿 y 轴位移 y ayt24 m 2 物体的位移大小 l x2y212.6 m 1 x2 (5)由 xvxt，y ayt2消去 t 代入数据得 y 2 36 答案 (1)1 N，沿 y 轴正方向 (2)3 m/s，沿 x 轴正方向 (3)5 m/s，与 x 轴正方向的夹角为 53 x2 (4)12.6 m (5)y 36 点评 求解合运动与分运动的三个注意点 (1)合运动与分运动必须是同一个物体的运动。 (2)合运动与
12、分运动遵守平行四边形定则。 (3)“”等时性 是合运动与分运动的桥梁。 即时巩固 2如图所示，在长约 80100 cm、一端封闭的玻璃管中注满清水，水中放一个用红蜡做 成的小圆柱体(小圆柱体恰能在管中匀速上浮)，将玻璃管的开口端用胶塞塞紧。然后将玻璃管 竖直倒置，在红蜡块匀速上浮的同时使玻璃管紧贴黑板面水平向右匀加速移动，你正对黑板面 将看到红蜡块相对于黑板面的移动轨迹可能是图中的( ) 解析：选 C 红蜡块的水平分速度越来越大，合速度越来越大，合速度与水平方向的夹角 越来越小，由此可知 C 正确。 1. 常见问题 6 物体斜拉绳或绳斜拉物体的问题，如图所示。 2规律 由于绳不可伸长，所以绳两
13、端所连物体的速度沿着绳方向的分速度大小相同。 3速度分解的方法 物体的实际运动就是合运动。 (1)把物体的实际速度分解为垂直于绳和平行于绳的两个分量，根据沿绳方向的分速度大 小相同列方程求解。 (2)“”“以上所说的 速度 沿绳方向的分量指的是 瞬时速度”“，而不是 平均速度”。 (3)把甲、乙两图的速度分解，如图丙、丁所示。 典型例题 例 3.如图所示，某人用绳通过定滑轮拉小船，设人匀速拉绳的速度为 v0，绳某时刻与水 平方向夹角为 ，则小船的运动性质及此时刻小船水平速度 vx 为( ) v0 A小船做变速运动，vx cos B小船做变速运动，vxv0cos C小船做匀速直线运动，vxv0c
14、os D小船做匀速直线运动，vxv0cos 解析 小船的实际运动是水平向左的运动，它的速度 vx 可以产生两个效果：一是使绳 子 OP 段缩短；二是使 OP 段绳与竖直方向的夹角减小。所以小船的速度 vx 应有沿 OP 绳指向 O v0 的分速度 v0和垂直 OP 的分速度 v1，由运动的分解可求得 vx ， 角逐渐变大，可得 vx cos v0 是逐渐变大的，所以小船做的是变速运动，且 vx 。 cos 答案 A 点评 (1)小船的实际运动为合运动，此运动产生两个效果，一是使绳子沿自身方向向上收缩， 二是使与船接触的绳有沿与绳垂直方向向下摆动的趋势。 (2)关联物体的分析思路 7 即时巩固
15、3(2016南昌月考)如图所示，套在竖直细杆上的环 A 由跨过定滑轮且不可伸长的轻绳 与重物 B 相连，由于 B 的质量较大，在释放 B 后，A 将沿杆上升，当运动至与定滑轮的连线处 于水平位置时，其上升速度 vA0，B 未落地，这时 B 的速度为 vB_。 解析：环 A 沿细杆上升的过程中，任取一位置，此时绳与竖直方向的夹角为 。将 A 的 速度 vA 沿绳方向和垂直于绳的方向进行分解，如图所示，则 v1vAcos ，B 下落的速度 vBv1 vAcos ，当环 A 上升至与定滑轮的连线处于水平位置时 90，所以此时 B 的速度 vB 0。 答案：0 小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与
16、了两个方向的分运动，即随水流的运动(水冲船 的运动速度 v 水)和船相对水的运动(即船在静水中的速度 v 船)，船的实际运动是合运动(v 合)。 1渡河最短时间 d 若 使小船渡河的时间最短，应使船头正对河岸行驶，如图甲所示，此时渡河时间 t (d v 船 为河宽)，此时小船一定在对岸下游处靠岸。此种情况与船的实际速度及水流速度的大小无关， 只取决于船相对于水的速度。 2渡河最短位移 (1)v 船v 水时，若小船垂直于河岸渡河，渡河位移最小，为河宽，应将船头偏向上游，如 d d 图乙所示，此时渡河时间 t 。 v 合 v 船sin 8 (2)v 船v 水时，要使渡河位移最小，此时小船不能垂直河
17、岸渡河。 以水流速度的末端 A 为圆心，小船在静水中速度大小为半径作圆，过 O 点作该圆的切线， 交圆于 B 点，此时船速与半径 AB 平行，如图丙所示。此时小船运动的速度(合速度)与垂直河 x v 水 v 水 岸方向的夹角最小，小船渡河位移最小。由相似三角形可得 ，解得 x d。渡河时间仍 d v 船 v 船 d 可以采用上面的方法 t 。 v 船sin 典型例题 例 4.河宽 d200 m，水流速度 v13 m/s，船在静水中的速度 v25 m/s。求： (1)欲使船渡河时间最短，船应怎样渡河？最短时间是多少？船经过的位移多大？ (2)欲使船航行距离最短，船应怎样渡河？渡河时间多长？ 解析
18、 (1)当船头指向对岸时，渡河时间最短，如图甲所示。 d tmin 40 s v2 船经过的位移大小 xvtmin v21v tmin233 m 2 (2)欲使船航行距离最短，需使船的实际位移(合位移)与河岸垂直，设此时船的航行速度 v2 与岸成 角，如图乙所示。 v1 3 则 cos v2 5 v v2v214 m/s d 渡河时间 t 50 s v 3 答案 (1)船头指向对岸 40 s 233 m (2)船头指向上游，与岸所成角的余弦值为 5 9 50 s 点评 即时巩固 4(2016长兴高一检测)有一小船正在渡河，如图所示，在离对岸 30 m 时，其下游 40 m 处有一危险水域，假若
19、水流速度为 5 m/s，为了使小船在危险水域之前到达对岸，则小船从现 在起相对于静水的最小速度应是多大？ 解析：设小船相对于静水的速度为 v1，水速为 v2，小船的合速度 v 的方向(渡河方向)与水 速度的夹角为 ，如图所示， 由几何关系知，当 v1垂直于 v 时，v1才可能最小，此时 v1v2sin ，由题意知，sin 的最 3 小值为 ，所以 v1的最小值 5 3 vmin5 m/s3 m/s 5 故当小船恰好到达危险区边界与对岸的交点处时，v1最小，为 3 m/s。 答案：3 m/s 1(2016南开区高一检测)做曲线运动的物体，在运动过程中，一定发生变化的物理量 是( ) A速率 B速
20、度 C加速度 D合力 10 解 析：选 B 曲线运动物体的速度方向一定变化，但大小可能变，也可能不变，B 正确，A 错误；做曲线运动的物体一定具有加速度，加速度可能不变，也可能变化，故 C、D 错误。 2多选关于曲线运动的性质，以下说法中正确的是( ) A曲线运动一定是变速运动 B变速运动不一定是曲线运动 C曲线运动一定是加速度变化的运动 D运动物体的速度大小、加速度大小都不变的运动一定是直线运动 解析：选 AB 做曲线运动的物体其速度方向一定是时刻改变的，而速度是矢量，速度方 向变了，物体的运动就一定是变速运动，若速度的方向不变，而大小变化了，物体做的是变速 直线运动，A、B 正确；物体做曲
21、线运动时，若所受合力为恒力，则物体的加速度就为恒加速 度，是不变的，C 错误；当物体的速度方向和合力方向垂直时，物体的速度、加速度大小均不 变，物体做曲线运动，D 错误。 3关于运动的合成和分解，下列说法正确的是( ) A合运动的时间等于两个分运动的时间之和 B匀变速运动的轨迹可以是直线，也可以是曲线 C曲线运动的加速度方向可能与速度在同一直线上 D分运动是直线运动，则合运动必是直线运动 解析：选 B 合运动与分运动具有等时性，故 A 错误；加速度不变的运动为匀变速运动， 轨迹可能是直线，也可能是曲线，故 B 正确；物体做曲线运动的条件是合力与速度不在同一条 直线上，因此曲线运动的加速度方向与
22、速度方向不在同一条直线上，故 C 错误；分运动是直线 运动，合运动不一定是直线运动，比如平抛运动，故 D 错误。 4船在静水中的航速为 v1，水流的速度为 v2，为了使船行驶到河正对岸的码头，则 v1相 对 v2的方向应为( ) 解析：选 C 为了使船行驶到正对岸，v1、v2的合速度应指向正对岸，C 正确。 5(2016瑞安月考)降落伞在匀速下降过程中遇到水平方向吹来的风，若风速越大，则 降落伞( ) A下落的时间越短 B下落的时间越长 C落地时速度越小 D落地时速度越大 解 析：选 D 根据运动的独立性原理，水平方向吹来的风不会影响竖直方向的运动，A、B 错误；根据速度的合成，落地时速度 v v2xv2y，若风速越大，vx 越大，则降落伞落地时速度 越大，C 错误，D 正确。 11 12