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1、向心力 一、向心力 1定义：做匀速圆周运动的物体受到的指向圆心的合力。 2方向：始终指向圆心，与线速度方向垂直。 v2 42 3公式：Fnm 或 Fnm2r或 Fnm r。 r T2 4来源： (1)向心力是按照力的作用效果命名的。 (2)匀速圆周运动中向心力可能是物体所受外力的合力，也可能是某个力的分力。 5作用：产生向心加速度，改变线速度的方向。 说明 v2 42 根据向心加速度的表达式 an 2r r42n2rv，结合牛顿第二定律 Fnman r T2 就可得到向心力表达式。 判一判 1向心力是除物体所受重力、弹力以及摩擦力以外的一种新力() 2向心力的方向时刻指向圆心，方向不断变化()
2、 3做圆周运动的物体其向心力大小不变，方向时刻变化() 4向心力既可以改变速度的大小，也可以改变速度的方向() 5物体做圆周运动的速度越大，向心力一定越大() 二、变速圆周运动和一般的曲线运动 1变速圆周运动：线速度大小发生变化的圆周运动，做变速圆周运动的物体同时具有向 心加速度和切向加速度。 2一般的曲线运动 (1)定义：运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动。 (2)研究方法：将一般的曲线运动分成许多很短的小段，质点在每一小段的运动都可以看 做圆周运动的一部分。 说明 v2 v2 对于变速圆周运 动，Fnm m2r，an 2r仍可用。 r r 填一填 荡秋千是小朋友很喜欢的游戏，当秋千向下
3、荡时， (1)小朋友做的是_运动； (2)绳子拉力与重力的合力指向悬挂点吗？ _ 解 析：(1)秋千荡下时，速度越来越大，做的是变速圆周运动。(2)由于秋千做变速圆周运 动，合外力既有指向圆心的分力，又有沿圆周切向的分力，所以合力不指向悬挂点。 答案：(1)变速圆周 (2)不指向 1 1. 向心力的作用效果：改变线速度的方向。由于向心力始终指向圆心，其方向与物体运动方 向始终垂直，故向心力不改变速度的大小。 v2 2大小：Fnmanm m2rmv，对于匀速圆周运动，向心力大小始终不变，但对 r 非匀速圆周运动(如用一根绳拴住小球绕固定圆心在竖直平面内做的圆周运动)，其向心力大小 随速率 v而变
4、化，所以公式表述的只是瞬时值。 3方向：无论是否为匀速圆周运动，其向心力总是沿着半径指向圆心，方向时刻改变， 故向心力是变力。 4向心力的来源 (1)实例分析 向心力可以由某一个力充当 如图所示，用细绳拴住小球在竖直平面内转动，当它经过最高 点时，若绳的拉力恰好为零，则此时向心力由重力提供 重力可以充当 向心力 如图所示，用细绳拴住小球在光滑的水平面内做匀速圆周运动， 弹力可以充当 向心力由绳子的拉力提供 向心力 如图所示，物体随转盘做匀速圆周运动，且物体相对于转盘静 止，向心力由转盘对物体的静摩擦力提供 摩擦力可以充 当向心力 向心力可以由合力提供 如细线拴住小球在竖直面内做匀速圆周运动，当
5、小球经过最低点时，向心力由细线的拉力 和重力的合力提供，如图甲所示。 向心力可以由某个力的分力提供 如小球在细线作用下，在水平面内做圆锥摆运动时，向心力由细线的拉力在水平面内的分 力提供，如图乙所示。 (2)结论：向心力是按力的作用效果命名的，充当向心力的力可以是重力、弹力、摩擦力 等各种力，可以是某一个单独的力，也可以是几个力的合力，还可以是物体受到的合力在沿半 径指向圆心方向上的分量。 典型例题 2 例 1.一圆台可绕通过圆台中心 O 且垂直于台面的竖直轴转动。在圆台上放置一小木块 A， 它随圆台一起做匀速圆周运动，如图所示，则关于木块 A 的受力，下列说法中正确的是( ) A木块 A 受
6、重力、支持力和向心力作用 B木块 A 受重力、支持力和静摩擦力作用，静摩擦力的方向与木块运动方向相反 C木块 A 受重力、支持力和静摩擦力作用，静摩擦力的方向与木块运动方向相同 D木块 A 受重力、支持力和静摩擦力作用，静摩擦力的方向指向圆心 解析 物体 A 在水平圆台上，受竖直向下的重力，竖直向上的支持力，且两力是一对平 衡力。由于 A 随圆台一起做匀速圆周运动，故其必受向心力作用，所以 A 必定受到静摩擦力作 用，静摩擦力一定指向圆心且等于向心力，D 正确，B、C 错误；向心力不是物体受到的力，是 由木块 A 所受的静摩擦力提供的，A 错误。 答案 D 点评 向心力的三点理解 (1)向心力
7、不是具有特定性质的某种力，任何性质的力都可以作为向心力，受力分析时不 分析向心力。 v2 (2)公式 Fm2rm 既适用于匀速圆周运动，也适用于变速圆周运动。 r (3)匀速圆周运动中，合力提供向心力；非匀速圆周运动中，合力不一定指向圆心，合力 沿半径方向的分力充当向心力。 即时巩固 1(2016盐城高一检测)有一个惊险的杂技节目叫“飞车走壁”，杂技演员骑摩托车先在 如图所示的大型圆筒底部做速度较小、半径较小的圆周运动，通过逐步加速，圆周运动半径逐 步增大，最后能以较大的速度在竖直的壁上做匀速圆周运动，这时使车子和人整体做匀速圆周 运动的向心力是( ) A圆筒壁对车的静摩擦力 B筒壁对车的弹力
8、 C摩托车本身的动力 D重力和摩擦力的合力 解析：选 B 当车子和人在垂直的筒壁上做匀速圆周运动时，在竖直方向上，摩擦力等于 重力，这两个力是平衡力；在水平方向上，车子和人转动的向心力由筒壁对车的弹力来提供， B 正确。 1.匀速圆周运动的特点 3 2匀速圆周运动的性质 (1)线速度仅大小不变而方向时刻改变，是变速运动。 (2)向心加速度仅大小恒定而方向时刻改变，是非匀变速曲线运动。 (3)匀速圆周运动具有周期性，即每经过一个周期运动物体都要重新回到原来的位置，其 运动状态(如 v、a大小及方向)也要重复原来的情况。 (4)匀速圆周运动的物体所受合力大小恒定，方向总是沿半径指向圆心，方向时刻改
9、变。 3匀速圆周运动的解题步骤 4匀速圆周运动的常见模型及向心力分析 (1) Error! 或 mgtan m2lsin 则 angtan (2) Error! 或 mgtan mr2 则 angtan (3) Error! 或 mgtan mr2 则 angtan (4) 4 Error! 则 an2r 典型例题 例 2.如图所示，有一质量为 m 的小球在光滑的半球形碗内做匀速圆周运动，轨道平面在 水平面内。已知小球与半球形碗的球心 O 的连线跟竖直方向的夹角为 ，半球形碗的半径为 R，求小球做圆周运动的速度及碗壁对小球的弹力。 解析 方法一：正交分解法 根据小球做圆周运动的轨迹找圆心，定半
10、径。由题图可知， 圆心为 O，运动半径为 rRsin 。小球受重力 mg 及碗对小球弹力 FN的作用，向心力为弹 力的水平分力。受力分析如图所示。 v2 由向心力公式 Fnm r v2 得 FNsin m Rsin 竖直方向上小球的加速度为零，所以竖直方向上所受的合力为零，即 FNcos mg mg 解得 FN cos 联立两式，可解得小球做匀速圆周运动的速度为 v Rgsin tan 。 方法二：合成法 mg 如图为小球做匀速圆周运动时的受力情况，FN为碗壁对小球的弹力，则 FN ，设小 cos v2 球做圆周运动的速度 大小为 v，则 F 合mgtan m ，其中 rRsin ， r 联立
11、解得 v Rgsin tan 。 mg 答案 Rgsin tan cos 点评 解决匀速圆周运动问题时，应注意以下几个方面： 5 (1)弄清物体圆形轨道所在的平面，明确圆心和半径。 (2)分析向心力来源，明确提供向心力的是什么力。 (3)对解题结果进行动态分析，明确各量之间的制约关系、变化趋势以及结果涉及物理量 的决定因素。 即时巩固 2几位同学探究用如图所示的装置粗略验证向心力的表达式。他们用细线吊着一小铁球， 使小铁球在水平面内做匀速圆周运动，如图所示。他们用仪器测出下列物理量：小铁球质量m， 悬点 O到球心距离 l，细线与竖直方向的夹角 。已知重力加速度为 g。求： (1)小铁球做匀速圆
12、周运动时向心力的大小； (2)小铁球做匀速圆周运动时的角速度大小； (3)小铁球做匀速圆周运动时的线速度大小。 解析：(1)对小铁球受力分析如图，重力与拉力的合力提供向心力，所以 Fnmgtan (2)小铁球做匀速圆周运动时的半径 rlsin ，由 mgtan m2lsin 解得 g lcos v2 (3)由 mgtan m lsin gl 解得 v sin cos 答案：(1)mgtan (2) gl (3) sin cos g lcos 1.临界条件 在变速圆周运动中的某些特殊位置上，常存在着最小(或最大)的速度，小于(或大于)这个 速度，物体就不能再继续做圆周运动了，此速度即为临界速度。
13、在这个位置，物体的受力必满 足特定的条件，这就是临界条件。当物体的受力发生变化时，其运动状态随之变化。 2临界状态 当某力突然变为零时，对应物体出现相应的临界状态。常见的如绳子突然断裂、支持物的 作用力突然变化、静摩擦力充当向心力时突然消失或达最大值等。通过受力分析来确定临界状 6 态和临界条件，是较常用的解题方法。 典型例题 例 3.如图所示，细绳一端系着质量 M0.6 kg的物体 A 静止在水平转台上，另一端通过轻 质小滑轮 O 吊着质量 m0.3 kg 的物体 B。A 与滑轮 O 的距离为 0.2 m，且与水平面的最大静 摩擦力为 2 N，为使 B 保持静止状态，水平转台做圆周运动的角速
14、度 应在什么范围内？(g 取 10 m/s2) 解析 当 最小时，A 受的最大静摩擦力 Ff的方向与拉力方向相反，则有 mgFfMr21 mgFf 0.3 102 1 rad/s2.89 rad/s Mr 0.6 0.2 当 最大时，A 受的最大静摩擦力 Ff的方向与拉力方向相同，则有 mgFfMr2 mgFf 0.3 102 2 rad/s6.45 rad/s Mr 0.6 0.2 故 的取值范围为 289 rad/s6.45 rad/s 答案 2.89 rad/s6.45 rad/s 点评 临界条件和临界速度 即时巩固 3(2016浙江高一检测)如图所示，水平转盘上放有质量为 m 的物体(
15、可视为质点)，连 接物体和转轴的绳子长为 r，物块与转盘间的最大静摩擦力是其压力的 倍，转盘的角速度 由零逐渐增大，试通过计算求： (1)绳子对物体拉力为零时的最大角速度； 3g (2)当角速度为 时，绳子对物体拉力的大小。 2r 解析：(1)当恰由最大静摩擦力提供向心力时，绳子拉力为零且转速达最大，设转盘转动 的角速度为 0， 由 Fnmr2得 mgm20r 解得 0 g r 3g (2)当 时，0，所以绳子拉力 F 和最大静摩擦力共同提供向心力 2r 7 由 Fmgm2r 1 解 得 F mg 2 g 1 答案：(1) (2) mg r 2 1多选下列关于向心力的说法中正确的是( ) A做
16、圆周运动的物体其向心力可以是恒力，也可以是变力 B做圆周运动的物体其向心力的方向一定指向圆心 C做匀速圆周运动的物体其向心力的方向时刻与其线速度的方向垂直 D做圆周运动的物体其向心力的方向和向心加速度的方向相同 解 析：选 BCD 做圆周运动的物体其向心力时刻变化，A 错误；向心力方向始终指向圆心，B 正确；向心力只改变线速度方向，不改变大小，C 正确；由 Fma 知，D 正确。 2如图所示，玻璃球沿碗的内壁做匀速圆周运动(忽略摩擦)，这时球受到的力是( ) A重力和向心力 B重力和支持力 C重力、支持力和向心力 D重力 解析：选 B 玻璃球沿碗内壁做匀速圆周运动的向心力由重力和支持力的合力提
17、供，向心 力不是物体受的力，故 B 正确。 3(2016烟台高一检测)在水平冰面上，狗拉着雪橇做匀速圆周运动，O 点为圆心。能 正确表示雪橇受到的牵引力 F 及摩擦力 Ff的图是( ) 解析：选 C 由于雪橇在冰面上滑动，其滑动摩擦力方向必与运动方向相反，即沿圆的切 线方向；因雪橇做匀速圆周运动，其所受合力一定指向圆心，C 正确。 4甲、乙两个物体都做匀速圆周运动，其质量之比为 12，转动半径之比为 12，在相 同的时间里甲转过 60，乙转过 45，则它们的向心力之比为( ) 8 A14 B23 C49 D916 Fn甲 4 解析：选 C 由匀速圆周运动的向心力公式 FnmR2mR(t )2，所以 ，C 正确。 Fn乙 9 5(2016嘉兴高一检测)如图所示，长 0.40 m的细绳，一端拴一质量为 0.2 kg的小球，在 光滑水平面上绕绳的另一端做匀速圆周运动。若运动的角速度为 5.0 rad/s，求绳对小球需施 加多大的拉力。 解析：小球沿半径等于绳长的圆周做匀速圆周运动，根据向心力公式，所需向心力的大小 Fnm2r0.25.020.40 N2.0 N 因此，绳对小球需施加拉力的大小 FTFn2.0 N 答案：2.0 N 9 10