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1、小题押题练( (四) ) 一、选择题 1(2018湖州模拟)已知复数 z 满足(34i)z25，则 z( ) A34i B34i C34i D34i 25 2534i 解析：选 D 由已知可得 z 34i，故选 D. 34i 34i34i 2(2018贵阳模拟)设集合 Ax|(x1)(x2)0， 5，解得 m2，所以双曲线 C： 1，设 m 2 8 x20 y20 4 10 M(x0，y0)，则 1，因为 MF1 MF2 0，所以 x y 10，故 y0 ，x0 2 2 8 5 3 10 8 10 6 10 96 ，所以满足条件的点 M 共有四个，构成一个矩形，长为 ，宽为 ，故面积为 . 5
2、 5 5 5 x2 y2 8已知双曲线 C： 1(a0，b0)的左、右焦点与虚轴的一个端点构成一个角为 120 a2 b2 的三角形，则双曲线 C 的离心率为( ) 5 A. B 2 6 2 C. 3 D. 5 解析：选 B 设双曲线 C 的左、右焦点分别为 F1，F2，虚轴的一个端点为 A，则F1AF2 c 6 120，得 tan 60，即 c 3b，a 2b，所以双曲线 C 的离心率 e . b 2 9我国南北朝时期数学家、天文学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“幂势既同， 2 则积不容异”“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高立方体，若在每一等高 处的截面积都相等，则两立方体体积
3、相等已知某不规则几何体与如图所对应的几何体满足“幂 势同”，则该不规则几何体的体积为( ) 4 A4 B8 2 3 C8 D82 解 析：选 C 由祖暅原理可知，该不规则几何体的体积与已知三视图的几何体体积相等根 据题设所给的三视图，可知图中的几何体是从一个正方体中挖去一个半圆柱，正方体的体积为 1 238，半圆柱的体积为 (12)2，因此该不规则几何体的体积为 8，故选 C. 2 10(2018西安三模)已知 O 是平面上的一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个点，动 点 P 满足 OP OA ( AB AC )，0， )，则动点 P 的轨迹一定经过ABC 的( ) A外心 B内心 C重心
4、 D垂心 解析：选 C 设 BC 的中点为 D，则由 OP OA ( AB AC )，可得 AP ( AB AC )2 AD ，所以点 P 在ABC 的中线 AD 所在的射线上，所以动点 P 的轨迹 一定经过ABC 的重心故选 C. 11已知三棱锥 SABC 的每个顶点都在球 O 的表面上，SA底面 ABC，ABAC4，BC2 15，且二面角 SBCA 的正切值为 4，则球 O 的表面积为( ) A240 B248 C252 D272 3 解 析：选 D 取 BC 的中点 D，连接 SD，AD，易 知 ADBC，SDBC，所以 SDA 是二面角 SBCA 的平 AD 1 面角，于是有 tanS
5、DA4，即 SA4AD4 42 1524.在ABC 中，sinABC ， AB 4 AC 由正弦定理得ABC 的外接圆半径 r 8. 可将三棱锥 SABC 补形成一个直三棱柱 2sinABC ABCSBC，其中该直三棱柱的底面为ABC，高为 SA4，因此三棱锥 SABC 的外接球的半 径 R 2282 68 ，因此三棱锥SABC 的外接球的表面积为 4R2272 ，选D. 1 ln x 12(2018武昌模拟)已知函数 f(x) kx 在区间e4 x ，e上有两个不同的零点， 则实数 k 的取值范围为( ) 1 1 1 1 A. B 2e) ， 2e) ( ， 4 e 4 e 1 1 1 1
6、C. ， D. 4 e ， e e2 e2 ln x ln x ln x ln x 解 析：选 A 令 f(x) kx0，则 k ，令 g(x) x2 ，则 g(x)( x2 ) x x2 1 12ln x ，令 g(x)0，解得 xe 2 x3 1 e 4 1 1 ，e因为当 x(e 4 ，e 2 )时，g(x)0，所 1 1 1 1 以 g(x)在(e4 ，e2 )上单调递增；当 x(e 2 ，e)时，g(x)0的解集为_ 4 2x2x2 2x2x2 解析：f(x)2x2 (x0)，由 f(x)0 得 0，解得 x x x 12，又 x0，f(x)0的解集为x|x2 答案：(2， ) 4
7、14已知圆 O：x2y24，若不过原点 O 的直线 l 与圆 O 交于 P，Q 两点，且满足直线 OP， PQ，OQ 的斜率依次成等比数列，则直线 l 的斜率为_ 解析：设直线 l：ykxb(b0)，代入圆的方程，化简得(1k2)x22kbxb240， 2kb b24 y1 y2 b b 1k2 1k2 x1 设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 x1x2 ，x1x2 ，kOPkOQ k k x 2 ( x 1)( x 2) x1x2 b2 2kb b21k2 b24k2 b24k2 k2kb( x1x2k2kb( ，由 kOPkOQk2，得 k2， x1x2 ) b24) b24 b2
8、4 b24 解得 k1. 答案：1 15(2019 届高三南宁、柳州联考)若 x，y 满足约束条件Error!等差数列an满足 a1x， a5y，其前 n 项和为 Sn，则 S5S2的最大值为_ 解析：作出约束条件Error!表示的可行域如图中阴影部分所示 yx 3 9 因 为 a1x，a5y，所以公差 d ，S5S2a3a4a53a43(a5d) x y.设 4 4 4 3 9 3 9 33 z x y，作出直线 x y0，平移该直线，当该直线经过点 B(2,3)时，z 取得最大值 ， 4 4 4 4 4 33 即 S5S2的最大值为 . 4 33 答案： 4 1 16(2019 届高三湘东
9、五校联考)已知 f(x)( 3sin xcos x)cos x ，其中 2 0，f(x)的最小正周期为 4. (1)则函数 f(x)的单调递增区间是_； (2)锐角三角形 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若(2ac)cos Bbcos C，则 f(A)的取值范围是_ 1 3 1 解析：f(x)( 3sin xcos x)cos x sin 2x cos 2x 2 2 2 sin( . 2x 6 ) f(x)的最小正周期为 4， 2 1 1 2 2，可得 f(x)sin( x 6). 4 2 5 1 4 2 (1)令 2k x 2k ，kZ Z，可得 4k x4k ，kZ Z， 2 2 6 2 3 3 4 2 f(x)的单调递增区间为 3 ，kZ Z. 4k ，4k 3 (2)(2ac)cos Bbcos C， (2sin Asin C)cos Bsin Bcos C， 2sin Acos Bsin A， 1 又 sin A0，cos B ，B ， 2 3 三角形 ABC 为锐角三角形， Error! A ， 6 2 1 5 2 6 2 A ， f(A) . 4 2 6 12 2 4 4 2 答案：(1)4k ，kZ Z ，4k 3 3 (2)( 2 ， 2 6 2 4 ) 6 7