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1、难点题型拔高练( (三) ) ex 1已知函数 f(x) 2klnxkx，若 x2 是函数 f(x)的唯一极值点，则实数 k 的取值 x2 范围是( ) e2 A.( ， B 4 ( ， C(0,2 D2， ) exx2 k2x x2exkx2 解析：选 A 由题意可得 f(x) ，x0， x3 x x3 令 f(x)0，得 x2 或 exkx2(x0)， 由 x2 是函数 f(x)的唯一极值点知 exkx2(x0)恒成立或 exkx2(x0)恒成立，由 y ex(x0)和 ykx2(x0)的图象可知，只能是 exkx2(x0)恒成立 ex 法 一：由 x0 知，exkx2，则 k ， x2
2、ex 设 g(x) ，则 kg(x)min. x2 exx2 由 g(x) ，得当 x2 时，g(x)0，g(x)单调递增；当 00)恒成立，则 yex(x0)的图象在 ykx2(x0)的图象的上方(含相切)， 若 k0，易知满足题意； 若 k0，设 yex(x0)与 ykx2(x0)的图象在点(x0，y0)处有相同的切线， e2 e2 则Error!解得Error!数形结合可知，0as1.已知“有增有 减”数列an共 4 项，若 aix，y，z(i1,2,3,4)，且 x0)的焦点为 F，准线为 l.已知以 F 为圆心，半径为 4 的圆与 l 交于 A，B 两点，E 是该圆与抛物线 C 的一
3、个交点，EAB90. (1)求 p 的值； (2)已知点 P 的纵坐标为1 且在抛物线 C 上，Q，R 是抛物线 C 上异于点 P 的两点，且满 足直线 PQ 和直线 PR 的斜率之和为1，试问直线 QR 是否经过一定点？若是，求出定点的坐标； 否则，请说明理由 解：(1)连接 AF，EF，由题意及抛物线的定义，得|AF|EF|AE|4，即AEF 是边长 为 4 的正三角形，所以FAE60，设准线 l 与 x 轴交于点 D，在 RtADF 中，FAD 1 1 30，所以 p|DF| |AF| 42. 2 2 (2)由题意知直线 QR 的斜率不为 0，设直线 QR 的方程为 xmyt，点 Q(x
4、1，y1)，R(x2，y2) 由Error!得 y24my4t0， 则 16m216t0，y1y24m，y1y24t. 又点 P，Q 在抛物线 C 上， yPy1 yPy1 4 4 所以 kPQ ， xPx1 y2P y21 yPy1 y11 4 4 4 同理可得 kPR .因为 kPQkPR1， y21 4 4 4y1y28 所 以 y11 y21 y1y2y1y21 16m8 1， 4t4m1 7 则 t3m . 4 由Error! 3 7 1 解得 m( 2)( ，1 )(1 ， )， ， 2 7 所以直线 QR 的方程为 xm(y3) ， 4 7 则直线 QR 过定点( ，3). 4
5、5已知函数 f(x)e2x(x3ax4xcos x1)，g(x)exm(x1) (1)当 m1 时，求函数 g(x)的极值； 7 (2)若 a ，证明：当 x(0,1)时，f(x)x1. 2 解：(1)由题意可知 g(x)exm， 当 m1 时，由 g(x)0 得 xln m， 由 xln m 得 g(x)0，g(x)单调递增；由 xx1， x1 即证 x3ax4xcos x1 . e2x 由(1)得，当 m1 时，g(x)ex(x1)0， 即 exx1， x1 1 所以 e2x(x1)2，所以 x3ax4xcos x1 x3ax4xcos x x， e2x x1 x1 (x24cos xa) 1 令 h(x)x24cos xa ， x1 1 则 h(x)2x4sin x ， x12 令 I(x)2x4sin x， 则 I(x)24cos x2(12cos x)， 1 当 x(0,1)时，cos xcos 1cos ， 3 2 所以 12cos xh(1)a 4cos 1， 2 7 因为 4cos 14cos 2，而 a ， 3 2 3 所以 a 4cos 10，所以当 x(0,1)时，h(x)0， 2 x1 所以 x3ax4xcos x1 成立， e2x 所以当 x(0,1)时，f(x)x1 成立 5 6