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1、第六章 样本及抽样分布,引言,在概率论中，随机变量的概率分布通常被假定为已知的，而一切问题的解决均基于已知的分布进行的 但在实际问题中，情况往往并非如此。我们所研究的随机变量，它的分布形式未知的或完全不知道的,由于大量随机现象必然呈现出它的规律性，因而从理论上讲，只要对随机现象进行足够多次观察，被研究的随机现象的规律性一定能清楚地呈现出来.,但一般只允许我们对随机现象进行次数不多的观察试验，也就是说, 我们获得的只是局部观察数据.,数理统计的任务就是研究怎样有效地收集、整理、分析所获得的有限的数据；对所研究的对象的性质、特点作出推断和预测（统计推断）。,（大数定律）,它们构成了统计推断的两种基
2、本形式.这两种推断渗透到了数理统计的每个分支.,现实世界中存在着形形色色的数据,分析这些数据需要多种多样的方法.,因此,数理统计中的方法和支持这些方法的相应理论是相当丰富的.概括起来可以归纳成两大类:,参数估计根据数据,用一些方法对分布的未知参数进行估计.,假设检验根据数据,用一些方法对分布的未知 参数进行检验.,一、总体与个体,1. 总体,研究对象的全体称为总体.（试验的全部可能观察值）,研究2000名学生的年龄 这些学生的年龄的全体就构成一个总体 每个学生的年龄就是个体.,2. 个体,构成总体的每个成员称为个体.（每一个可能的观察值）,例,6.1 随机样本,某工厂10月份生产的灯泡寿命所组
3、成的总体中, 个体的总数就是10月份生产的灯泡数, 这是一个有限总体; 而该工厂生产的所有灯泡寿命所组成的总体是一个无限总体, 它包括以往生产和今后生产的灯泡寿命.,3. 有限总体和无限总体,例如,当有限总体包含的个体的总数很大时, 可近似地将它看成是无限总体.,容量：总体所包含的个体的个数称为总体的容量,4. 总体分布,总体中的每一个个体是随机试验的一个观察值 因此它是某一个随机变量X的值。,总体就对应于一个随机变量X。X 的分布函数和数字特征称为总体的分布函数和数字特征. 一般不区分总体和对应的随机变量，统称为总体X,例如,以0表示生产线的产品为正品，以1表示次品，设出现次品的概率为p（常
4、数），则总体由一些“1”和一些“0”所组成。 这一总体对应于一个具有参数为p的（0-1）分布 ： 的随机变量，称之为（0-1）分布总体，意指总体中的观察值是（0-1）分布随机变量的值。,二、样本,1. 样本的定义 在实际中，总体的分布（或其中部分参数）一般是未知的。可以通过从总体中抽取一部分个体，根据获得的个体数据对总体分布作出判断。 被抽出的部分个体，称为总体的一个样本,抽取一个个体：对总体X进行一次观察并记录其结果。,相同条件下，对总体X进行n次重复、独立的观察，结果依次记为X1,X2, , Xn，它们都是相互独立、且与X具有相同分布的随机变量。称X1,X2, , Xn为来自总体X的一个简
5、单随机样本，n为这个样本的容量。 通过n次观察，得到一组实数x1,x2, ,xn，它们依次是随机变量X1,X2, , Xn的观察值，称为样本值。,对有限总体，采用放回抽样所得到的样本为简单随机样本。 当样本容量 n 与总体容量N 相比很小时, 可将无放回抽样近似地看作放回抽样.(n/N1/10) 对于无限总体，因抽取一个个体不影响它的分布，所以总是用不放回抽样。,设X是具有分布函数F的随机变量，若 X1,X2, , Xn 是具有同一分布函数F的相互独立的随机变量，则称X1,X2, , Xn 为从总体X中得到的容量为n的简单随机样本，简称为样本，其观察值 x1, x2, , xn 称为样本值。,
6、定义：,综上所述，给出以下定义,可将样本看成是一个随机向量，写成(X1,X2, , Xn),若设X的概率密度为f，则 的联合概率密度为：,2. 样本的分布,解,练习,三、小结,个体 总体,有限总体,无限总体,基本概念:,说明1 一个总体对应一个随机变量X, 我们将不区分总体和相应的随机变量, 统称为总体X.,说明2 在实际中遇到的总体往往是有限总体, 它对应一个离散型随机变量; 当总体中包含的个体的个数很大时, 在理论上可认为它是一个无限总体.,样本 样本值,总体的分布 样本的分布,6.2 抽样分布,样本是进行统计推断的依据 在应用时，往往不是使用样本本身 而是针对不同的问题构造样本的适当函数
7、 利用这些样本的函数进行统计推断,一、基本概念,1. 统计量的定义,是一统计量。,设X1, X2, Xn为来自总体X 的一个样本,g(X1,X2, Xn)是X1,X2, Xn的函数，,不含任何未知参数，,则称g(X1,X2, Xn),若g中,注：统计量是样本的函数，它是一个随机变量，统计量的分布称为抽样分布。,若x1,x2, xn是相应于样本X1,X2, Xn的样本值,则称g(x1,x2, xn)是g(X1,X2, Xn)的观察值。,思考？,2. 常用统计量,样本均值,样本方差,反映总体均值的信息,反映总体方差的信息,样本k阶(原点)矩,样本k阶中心矩,k=1,2,反映总体k 阶矩的信息,反映
8、总体k 阶中心矩的信息,样本标准差,它们的观察值分别为：,样本均值,样本方差,样本k阶矩,样本k阶中心矩,样本标准差,依概率收敛的序列性质知道,证,由辛钦定理,说明1,说明2,（下一章“矩估计”的理论根据）,例 从一批机器零件毛坯中随机地抽取10件, 测得其重量为(单位: 公斤): 210, 243, 185, 240, 215, 228, 196, 235, 200, 199, 求这组样本值的均值、方差、二阶原点矩与二阶中心矩.,解,令,则,3. 经验分布函数,(与总体分布函数F(x)相对应的统计量),对于经验分布函数,格里汶科证明了如下定理,于,的观察值,的观察值,例：,其经验分布函数观察
9、值为,例如： 样本值为351 344 351 355 347,若X1,X2,Xn 是来自总体N(0,1)的样本,则称统计量,二.正态总体的抽样分布（三大抽样分布）,服从自由度为n的2分布.,1. 2分布,记为2 2(n).,分布是由正态分布派生出来的一种分布.,统计量的分布称为抽样分布. 总体的分布函数已知时，抽样分布是确定的.,分布的密度函数：,其中伽玛函数 通过如下积分来定义：,本页内容不做要求，了解即可,性质1,( 此性质可以推广到多个随机变量的情形. ),性质2,(n40),(P386),几个常用的z值,标准正态分布的分位点,例：,t 分布又称学生氏(Student)分布.,以下t分布
10、和F分布掌握其定义就够了，其他一般了解即可,. 分布,图形关于对称; 当 n 充分大（大于30）时, 其图形类似于标准正态变量概率密度的图形.,t分布的一些重要事实: (1) n1时, t分布的数学期望存在且为0; (2) n2时, t分布的方差存在且为n/(n-2) (3) 当自由度较大(如n30)时, t分布可以用N(0,1)分布近似.,由分布的对称性知,(P385),3. F分布,设 U 2(n1), V 2(n2), 且U,V相互独立,服从自由度为(n1,n2)的F分布.记为 F F (n1,n2).,1.定义,称统计量,特别地,若 X N(,2),有,4. 正态总体的样本均值与样本方
11、差的分布,设总体X的均值为,方差为2,X1,X2,Xn是X的一个样本.,定理一,设X1,X2,Xn是总体 N(,2) 的一个样本，则样本 均值：,n取不同值时正太总体的样本均值 的分布,对于正态总体的样本方差S2,有以下定理:,定理二,X1,X2,Xn是总体 N(,2) 的一个样本.,(1),(2),n取不同值时 的分布,定理三,定理四(1) (两总体样本方差比的分布),定理四(2) (两总体样本均值差的分布),练习：设总体 为来自的样本，求概率,解：,因为 与 相互独立，故所求概率为：,由定理一、二可知：,故有：,练习2,解(1):,(2):,本章重要知识点,（）掌握个常用统计量的定义及其计算 （）了解3大抽样分布的定义以及正态总体的样本均值和方差的分布的个定理 （）掌握（）中 的定义，以及定理一和定理二及其应用 重点掌握P21,P44-46的例题及其解题过程和思路。,分布,2,c,