《江苏省2019高考数学二轮复习专题七随机变量空间向量理7.2运用空间向量求角讲义含解析2019052.wps》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏省2019高考数学二轮复习专题七随机变量空间向量理7.2运用空间向量求角讲义含解析2019052.wps（34页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第二讲 运用空间向量求角 题型(一) 运用空间向量求两直线所成的角 主要考查用直线的方向向量求异面直线所成 的角. 典例感悟 例 1 已知正三棱柱 ABCA1B1C1的各条棱长都相等P 为， A1B 上的 点且 ， A1P A1B P，CAB. (1)求 的值； (2)求异面直线 PC 与 AC1所成角 的余弦值 解 (1)设正三棱柱的棱长为 2，取 AC 中点 O，连 结 OB，则 OB AC.以 O 为原点，OB，OC 所在直线为 x 轴，y 轴，过点 O 且平行 AA1的 直线为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 A(0，1,0)，B( 3，0,0)，C(0,1,0)，A1(0
2、，1,2)，B1( 3 ，0,2)，C1(0,1,2)， 所以 AB ( 3，1,0)， CA1 (0，2,2)， A1B ( 3，1，2) 因为 PCAB，所以 CP AB 0， 得( CA1 A1P ) AB 0， 即( CA1 A1B ) AB 0， 1 即( 3，2，22)( 3，1,0)0，解得 . 2 3 3 (2)由(1)知 CP ( ，1)， AC 1 (0,2,2)， ， 2 2 | 2 cos ， | 8 2 所以异面直线 PC 与 AC1所成角 的余弦值是 . 8 方法技巧 1两条异面直线所成角的求法 设两条异面直线 a，b 的方向向量分别为 a，b，其夹角为 ，则 co
3、s |cos | 1 |abab| (其中 为异面直线 a，b 所成的角) |a a|b b| 2用向量法求异面直线所成角的四步骤 (1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系； (2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量； (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； (4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值 演练冲关 (2018无锡期末)如图四 ，棱 锥 PABCD 中PA，平 面 ABC四D，边形 ABCD 为直角 梯形AD，BC，BADCBA90，PAABBC1，AD2，E，F，G 分别 为 BC，PD，PC 的中点 (1)求 EF 与 DG 所
4、成角的余弦值； (2)若 M 为 EF 上一点，N 为 DG 上一点，是否存在 MN，使得 MN平面 PBC？若存在，求 出点 M，N 的坐标；若不存在，请说明理由 解：(1)以 A 为坐标原点，AB，AD，AP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空 间直角坐标系， 则 A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)， E，F，G 分别为 BC，PD，PC 的中点， 1 1 1 1 1 E( ，F ，G ， 1， ，0) (0，1， 2) ( ， ， 2) 2 2 2 1 1 1 3 1 EF (1， 2)， ， ， DG ， (
5、， 2) 2 2 2 设 EF 与 DG 所成的角为 ， | 2 66 则 cos . | 33 2 66 EF 与 DG 所成角的余弦值为 . 33 (2)存在 MN，使得 MN平面 PBC，理由如下： 设平面 PBC 的法向量为 n(x，y，z)， BC (0,1,0)， PB (1,0，1)， Error!即Error!取 x1，得 n(1,0,1)， 若存在 MN，使得 MN平面 PBC，则 MN n， 2 设 M(x1，y1，z1)，N(x2，y2，z2)， 则Error! 点 M，N 分别是线段 EF 与 DG 上的点， EM EF ， DN t DG ， 1 EM x11，y1
6、， DN (x2，y22，z2)， ( ，z 1) 2 Error!且Error! 把代入，得Error!解得Error! 1 5 1 7 5 7 M( ，N . ， ，3) ( 18) ， ， 3 6 18 6 1 5 1 7 5 7 故存在两点 M( ，N ，使得 MN平面 PBC. ， 18) ， 3) ( ， ， 3 6 18 6 题型(二) 运用空间向量求直线和平面所成的角 考查用直线的方向向量与平面的法向量计算 直线与平面所成的角. 典例感悟 例 2 (2018苏州暑假测试)如图，在四棱锥 PABCD 中，底 面 ABCD 为直角梯形，ABC 1 BAD90，且 PAABBC AD
7、1，PA平面 ABCD. 2 (1)求 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值； (2)棱 PD 上是否存在一点 E 满足AEC90？若存在，求 AE 的长；若不存在，请说明 理由 解 (1)如图，以点 A 为坐标原点，分别以 AB，AD，AP 所在直线 为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系 Axyz， 则 P(0,0,1)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)， 从而 PB (1,0，1)， PC (1,1，1)， PD (0,2，1) 设平面 PCD 的法向量为 n n(x，y，z)， 3 则Error!即Error! 不妨取 z2，则 y1，x1， 所以平面 PCD
8、 的一个法向量 n n(1,1,2)， 12 3 此时 cos PB ，n n ， 2 6 6 3 所以 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值为 . 6 (2)设 PE PD (01)，则 E(0,2，1) 则 CE (1,21,1)， AE (0,2，1)， 由AEC90得 AE CE 2(21)(1)20， 化简得，52410，该方程无解， 所以棱 PD 上不存在一点 E 满足AEC90. 方法技巧 直线和平面所成角的求法 如图所示，设直线 l 的方向向量为 e，平面 的法向量为 n，直线 l 与平面 所成的 |n ne e| 角为 ，两向量 e 与 n 的夹角为 ，则有 sin |cos
9、 | . |n n|e e| 演练冲关 (2018南通、泰州一调)如图所示，在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中 ，P 为棱 C1D1 的中点，Q 为棱 BB1上的点，且 BQBB1(0) 1 (1)若 ，求 AP 与 AQ 所成角的余弦值； 2 (2)若直线 AA1与平面 APQ 所成的角为 45，求实数 的值 解：以 AB ， AD ， AA1 为正交基底，建立如图所示的空间 直角坐标系 Axyz. 则 A(0,0,0)，A1(0,0,2)，P(1,2,2)，Q(2,0,2) 1 (1)当 时， AP (1,2,2)， AQ (2,0,1)， 2 所以 cos AP ， AQ
10、 | | | |1 22 02 1| 4 5 . 3 5 15 4 5 所以 AP 与 AQ 所成角的余弦值为 . 15 (2) AA1 (0,0,2)， AQ (2,0,2) 设平面 APQ 的法向量为 n(x，y，z)， 则Error!即Error! 令 z2，则 x2，y2. 所以 n(2，2，2) 又因为直线 AA1与平面 APQ 所成角为 45， |n n| 所以|cosn， AA1 | |n n| 4 2 ， 2 2222 22 2 4 可得 5240，又因为 0，所以 . 5 题型(三) 运用空间向量求二面角 考查用平面的法向量计算平面与平面所成的角. 典例感悟 例 3 如图，正
11、四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AD1，D1D2，点 P 为棱 CC1的中点 (1)设二面角 AA1BP 的大小为 ，求 sin 的值； 5 AM (2)设 M 为线段 A1B 上的一点，求 的取值范围 MP 解 (1)如图，以点 D 为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建 立空间直角坐标系 Dxyz，则 A(1,0,0)，A1(1,0,2)，P(0,1,1)，B(1,1,0) 由题意可知 n(1,0,0)为平面 AA1B 的一个法向量 又 PA1 (1，1,1)， PB (1,0，1) 设平面 PA1B 的法向量为 m(x2，y2，z2)， 则Error
12、!即Error! 取 m(1,2,1)为平面 PA1B 的一个法向量 n nm m 6 所以 cosn，m ， |n n|m m| 6 30 则 sin . 6 (2)设 M(x，y，z)， BM BA1 (01)， 即(x1，y1，z)(0，1,2)， 所以 M(1,1，2) 所以 MA (0，1，2)， MP (1，12)， AM 1242 MP 12122 5221 5242 21 1 . 5242 令 21t1,1， 21 4t 4 则 ， 5242 5t22t5 5 5t 2 t 4 1 当 t1,0)时， 2 ，0)； 5t 5 2 t 6 4 1 当 t(0,1时， 0， ； 2
13、 ( 3 5 5t t 4t 当 t0 时， 0. 5t22t5 4t 1 1 所 以 ， ， 5t22t5 3 2 AM 2 2 3 则 3 . MP ， 2 AM 2 2 3 故MP的取值范围为 3 . ， 2 方法技巧 二面角的求法 n n1n n2 建立恰当坐标系，求出两个平面的法向量 n1，n2，利用 cosn1，n2 求出( |n n1|n n2| “结合图形取 ”号)二面角，也可根据线面垂直，直接求出法向量来求解 演练冲关 1.直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABAC，AB2，AC4，AA12， BD DC . (1)若 1，求直线 DB1与平面 A1C1D 所成角的正弦值； (
14、2)若二面角 B1A1C1D 的大小为 60，求实数 的值 解：如图，分别以 AB，AC，AA1所在的直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立 空间直角坐标系 Axyz. 则 A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,4,0)，A1(0,0,2)，B1(2,0,2)，C1(0,4,2) (1)当 1 时，D 为 BC 的中点，所以 D(1,2,0)， DB1 (1，2,2)， A1C1 (0,4,0)， A1D (1,2，2) 设平面 A1C1D 的法向量为 n(x，y，z)， 则Error!即Error! 令 z1，得 y0，x2， 则 n(2,0,1)为平面 A1C1D 的一个法向量， 设直线
15、 DB1与平面 A1C1D 所成的角为 . |n n| 4 4 5 则 sin |cos，n n| ， |n n| 15 3 5 7 4 5 所以直线 DB1与平面 A1C1D 所成角的正弦值为 . 15 2 4 (2)因为 BD DC ，所以 D ， ， 1 1 ( ，0) 2 4 A1D ， ，2. 1 1 设平面 A1C1D 的法向量为 n1(x1，y1，z1)， 则Error!即Error! 令 z11，得 y10，x11， 则 n1(1,0,1)为平面 A1C1D 的一个法向量 又平面 A1B1C1的一个法向量为 n2(0,0,1)， 1 1 1 由题意得|cosn1，n2| ，所以
16、 ， 2 121 2 解得 31 或 31(不合题意，舍去)， 所以实数 的值为 31. 2(2018苏锡常镇一模)如图，已知正四棱锥 PABCD 中，PAAB2， PM BN 1 点 M，N 分别在 PA，BD 上，且 . PA BD 3 (1)求异面直线 MN 与 PC 所成角的大小； (2)求二面角 NPCB 的余弦值 (1：)解连结 AC，BD，设 AC，BD 交于点 O，在正四棱锥 PABCD 中，OP平 面 ABCD.又 PAAB2，所 以 OP 2.以 O 为坐标原点， DA ， AB 方 向分别是 x 轴，y 轴正方向，建立空间直角坐标系 O xyz，如图 则 A(1，1,0)
17、，B(1,1,0)，C(1,1,0)，D(1，1,0)，P(0,0， 2) 2 1 1 2 2 故 OM AM ( 3 )， OA OA AP ， ， 3 3 3 1 1 1 ON OB ( ， ，0)， 3 3 3 2 2 2 所以 MN (0， ， ， (1,1， )， 3 ) PC 2 3 2 3 cos MN ， PC ， | 2 2 3 2 3 所以 MN 与 PC 所成角的大小为 30. 4 2 (2) PC (1,1， )， (2,0,0)， ，0). 2 CB NC ( ， 3 3 设 m(x，y，z)是平面 PCB 的一个法向量， 8 则Error!即Error! 令 y 2
18、，得 z1，所以 m(0， 2，1)， 设 n(x1，y1，z1)是平面 PCN 的一个法向量， 则Error!即Error! 令 x12，得 y14，z1 2，所以 n(2,4， 2), mnmn 5 2 5 33 故 cosm，n ， |m m|n n| 33 3 22 5 33 所以二面角 NPCB 的余弦值为 . 33 课时达标训练 A 组大题保分练 1(2018南京学情调研)如图 在， 四棱 锥 PABCD 中P，A平面 ABCDA，BAD，ADBCA，PABAD 1. (1)若直线 PB 与 CD 所成角的大小为 ，求 BC 的长； 3 (2)求二面角 BPDA 的余弦值 解：(1
19、) 以 AB ， AD ， AP 为单位正交基底，建立如图所 示的空间直角坐标系 Axyz. 因为 APABAD1， 所以 A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1) 设 C(1，y,0)，则 PB (1,0，1)， CD (1,1y,0) 因 为直线 PB 与 CD 所成角大小为 ， 3 | 1 所以|cos PB ， CD | ， 2 1 1 即 ，解得 y2 或 y0(舍)， 2 11y2 2 所以 C(1,2,0)，所以 BC 的长为 2. (2)设平面 PBD 的法向量为 n1(x，y，z) 因为 PB (1,0，1)， PD (0,1，1)， 则Erro
20、r!即Error! 9 令 x1，则 y1，z1，所以 n1(1,1,1) 因为平面 PAD 的一个法向量为 n2(1,0,0)， n n1n n2 3 所以 cosn1，n2 ， |n n1|n n2| 3 3 所以由图可知二面角 BPDA 的余弦值为 . 3 2(2018苏北四市期末)在正三棱柱 ABCA1B1C1中，已知 AB1，AA12， E，F，G 分别是棱 AA1，AC 和 A1C1的中点，以 FA ， FB ， FG 为正 交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 Fxyz. (1)求异面直线 AC 与 BE 所成角的余弦值； (2)求二面角 FBC1C 的余弦值 1 1 3 解：(
21、1)因为 AB1，AA12，则 F(0,0,0)，A( ，C ，B ，0)，E ，0，0) ( ，0，0) (0， 2 2 2 1 1 1 ( ，0，1) ( ，A1 ，C1 ，0，2)， ，0，2) ( 2 2 2 1 3 所以 AC (1,0,0)， BE ( ， ，1). 2 2 记异面直线 AC 和 BE 所成角为 ， 1 |1 2| 2 则 cos |cos AC ， BE | ， 4 1 3 (2 )2( 2 ) 21 2 所以异面直线 AC 和 BE 所成角的余弦值为 . 4 (2)设平面 BFC1的法向量为 m(x1，y1，z1) 3 1 因为 FB 0， ， FC1 ， (
22、，0) ( ，0，2) 2 2 则Error!即Error! 取 x14，得平面 BFC1的一个法向量为 m(4,0,1) 设平面 BCC1的法向量为 n(x2，y2，z2) 1 3 因为 CB ( ， ，0)， (0,0,2)， CC1 2 2 则Error!即Error! 取 x2 3，得平面 BCC1的一个法向量为 n( 3，1,0)， 4 3 1 01 0 2 51 所以 cosm，n . 32 1202 420212 17 根据图形可知二面角 FBC1C 为锐二面角， 10 2 51 所以二面角 FBC1C 的余弦值为 . 17 3(2018南京、盐城二模)如图，在直四棱柱 ABCD
23、A1B1C1D1中， 底面四边形 ABCD 为菱形，A1AAB2，ABC60，E，F 分别是 BC，A1C 的中点 (1)求异面直线 EF，AD 所成角的余弦值； A1M (2)点 M 在线段 A1D 上， .若 CM平面 AEF，求实数 的值 A1D 解：因为四棱柱 ABCDA1B1C1D1为直四棱柱， 所以 A1A平面 ABCD. 又 AE 平面 ABCD，AD 平面 ABCD， 所以 A1AAE，A1AAD. 在菱形 ABCD 中，ABC60，则ABC 是等边三角形 因为 E 是 BC 的中点，所以 BCAE. 因为 BCAD，所以 AEAD. 故以 A 为原点，AE，AD，AA1所在直
24、线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立 如图所示的空间直角坐标系则 A(0,0,0)，E( 3，0,0)，C( 3，1,0)，D(0， 3 1 2,0)，A1(0,0,2)，F( ，1). ， 2 2 3 1 (1)因为 AD (0,2,0)， ，1)， EF ( ， 2 2 所以 cos AD ， EF ， | 4 2 2 所以异面直线 EF，AD 所成角的余弦值为 . 4 A1M (2)设 M(x，y，z)，由于点 M 在线段 A1D 上，且 ，即 A1M A1D ， A1D 则(x，y，z2)(0,2，2) 解得 M(0,2，22)， CM ( 3，21,22) 设平面 AEF 的法向量为
25、 n(x0，y0，z0) 3 1 因为 AE ( 3，0,0)， AF ，1)， ( ， 2 2 所以Error!即Error! 令 y02，得 z01， 所以平面 AEF 的一个法向量为 n(0,2，1) 11 由于 CM平面 AEF，则 n CM 0， 2 即 2(21)(22)0，解得 . 3 4.如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，底面ABC 是直角三角形，AB AC1，AA12，点 P 是棱 BB1上一点，满足 BP BB1 (01) 1 (1)若 ，求直线 PC 与平面 A1BC 所成角的正弦值； 3 2 (2)若二面角 PA1CB 的正弦值为 ，求 的值 3 解：以 A 为坐
26、标原点，分别以 AB，AC，AA1所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的 空间直角坐标系Axyz.因为ABAC1，AA12，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，A1(0,0,2)， B1(1,0,2)，P(1，0,2) 1 2 1，1， (1)由 得， CP ( ， (1,0，2)， (0,1，2) 3) A1B A1C 3 设平面 A1BC 的法向量为 n1(x1，y1，z1)， 由Error!得Error! 不妨取 z11，则 x1y12， 从而平面 A1BC 的一个法向量为 n1(2,2,1) 设直线 PC 与平面 A1BC 所成的角为 ， |n n1| 2
27、2 则 sin |cos，n n1| ， |n n1| 33 22 所以直线 PC 与平面 A1BC 所成角的正弦值为 . 33 (2)设平面 PA1C 的法向量为 n2(x2，y2，z2)， 又 A1P (1,0,22)， 故由Error!得Error! 不妨取 z21，则 x222，y22， 所以平面 PA1C 的一个法向量为 n2(22，2,1) 94 则 cosn1，n2 ， 3 4289 12 2 又二面角 PA1CB 的正弦值为 ， 3 94 5 所以 ， 3 4289 3 化简得 2890，解得 1 或 9(舍去)， 故 的值为 1. B组大题增分练 1(2018镇江期末)如图，
28、ACBC，O 为 AB 中点，且 DC平面 ABC，DCBE.已知 ACBC DCBE2. (1)求直线 AD 与 CE 所成的角； (2)求二面角 OCEB 的余弦值 解：(1)因为 ACCB 且 DC平面 ABC，则 以 C 为原点，CB 为 x 轴正方向，CA 为 y 轴正方 向，CD 为 z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 因为 ACBCBE2，则 C(0,0,0)，B(2,0,0)，A(0,2,0)，O(1,1,0)， E(2,0,2)，D(0,0,2)，且 AD (0，2,2)， CE (2,0,2) 4 1 所以 cos AD ， CE . | 2 2 2 2 2 所以直
29、线 AD 和 CE 的夹角为 60. (2)平面 BCE 的一个法向量为 m(0,1,0)， 设平面 OCE 的法向量 n(x0，y0，z0) 由 CO (1,1,0)， CE (2,0,2)， 得Error!则Error!解得Error! 取 x01，则 n(1,1,1) 因为二面角 OCEB 为锐二面角，记为 ， |mnmn| 3 则 cos |cosm，n| . |m m|n n| 3 3 即二面角 OCEB 的余弦值为 . 3 13 2(2018江苏高考)如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，ABAA12，点 P，Q 分别为 A1B1，BC 的中点 (1)求异面直线 BP 与 AC1
30、所成角的余弦值； (2)求直线 CC1与平面 AQC1所成角的正弦值 如：图解 ，在 正三 棱柱 ABCA1B1C1中，设 AC，A1C1的中点分别为 O，O1，则 OBOC，OO1OC，OO1OB，以 OB ， OC ， OO1 为基底，建立空 间直角坐标系 O xyz. 因为 ABAA12，所以 A(0，1,0)，B( 3，0,0)，C(0,1,0)，A1(0，1,2)，B1( 3，0,2)， C1(0，1,2) 3 1 (1)因为 P 为 A1B1的中点，所以 P( ， ， ，2) 2 2 3 1 从而 BP ( ，2)， AC 1 (0,2,2)， ， 2 2 | |14| 3 10
31、所以|cos BP ， AC1 | . | 5 2 2 20 3 10 所以异面直线 BP 与 AC1所成角的余弦值为 . 20 3 1 (2)因为 Q 为 BC 的中点，所以 Q( ， ， ，0) 2 2 3 3 因此 AQ ( ， ， (0,2,2)， (0,0,2) ，0) AC1 CC1 2 2 设 n(x，y，z)为平面 AQC1的一个法向量， 则Error!即Error! 不妨取 n( 3，1,1) 设直线 CC1与平面 AQC1所成角为 ， 14 |n n| 2 5 则 sin |cos CC1 ，n| . |n n| 5 2 5 5 所以直线 CC1与平面 AQC1所成角的正弦
32、值为 . 5 3. (2018苏锡常镇调研(一)如图，在四棱锥 PABCD 中，已知底面 ABCD 是矩形，PD 垂直于底面 ABCD，PDAD2AB，点 Q 为线段 PA(不含端 点)上一点 (1)当 Q 是线段 PA 的中点时，求 CQ 与平面 PBD 所成角的正弦值； 2 PQ (2)已知二面角 QBDP 的正弦值为 ，求 的值 3 PA 解：以 DA ， DC ， DP 为正交基底建立如图所示的空间直 角坐标系 Dxyz. 不妨设 AB1，则 D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,1,0)，B(2，1,0)，P(0,0,2) DB (2,1,0)， DP (0,0,2) (1)当
33、 Q 是线段 PA 的中点时，Q(1，0,1)， CQ (1，1，1) 设平面 PBD 的法向量为 m(x，y，z) 则Error!即Error! 不妨取 x1，解得 y2. 则平面 PBD 的一个法向量为 m(1，2,0) m m 3 15 故 cosm， CQ . |m m| 3 5 5 15 综上，CQ 与平面 PBD 所成角的正弦值为 . 5 (2) AP (2,0,2)，设 AQ AP (0,1)， 即 AQ (2，0,2) 故 Q(22，0,2)， DB (2,1,0)， DQ (22，0,2) 设平面 QBD 的法向量为 n(x，y，z) 15 则Error!即Error! 1
34、不妨取 x1，则 y2，z1 ， 1 故平面 QBD 的一个法向量为 n( . 1，2，1) 由(1)得平面 PBD 的一个法向量 m(1，2,0)， m mn n2 由题意得 cos2m，n |m m|2|n n|2 25 52 2 5 62211(3 )2 ， 1 2 9 5 ( 6 ) 2 1 解得 或 1. 3 1 又 (0,1)，所以 ， 3 1 2 PQ 2 所以 AQ AP ，即 PQ PA ，即 . 3 3 PA 3 4.如图，在四棱锥 SABCD 中，SD平面 ABCD，四边 形 ABCD 是直角梯形，ADCDAB90 ，SDADAB2，DC1. (1)求二面角 SBCA 的
35、余弦值； 2 26 (2)设 P 是棱 BC 上一点，E 是 SA 的中点，若 PE 与平面 SAD 所成角的正弦值为 ，求 13 线段 CP 的长 解：(1)由题意，以 D 为坐标原点，DA，DC，DS 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所 示的空间直角坐标系 Dxyz， 则 D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0，1,0)，S(0,0,2)， 所以 SB (2,2，2)， SC (0,1，2)， DS (0,0,2) 设平面 SBC 的法向量为 n1(x，y，z)， 16 则Error!即Error! 令 z1，得 x1，y2， 所以 n1(1,2,1)是平面
36、 SBC 的一个法向量. 因为 SD平面 ABC，取平面 ABC 的一个法向量 n2(0,0,1) 设二面角 SBCA 的大小为 ， 由图可知二面角 SBCA 为锐二面角， |n n1n n2| 1 6 所以|cos | ， |n n1|n n2| 6 6 6 所以二面角 SBCA 的余弦值为 . 6 (2)由(1)知 E(1,0,1)， CB (2,1,0)， CE (1，1，1) 设 CP CB (01)， 则 CP (2,1,0)(2，0)， 所以 PE CE CP (12，1，1) 易知 CD平面 SAD， 所以 CD (0，1,0)是平面 SAD 的一个法向量 设 PE 与平面 SAD 所成的角为 ， | 1 所以 sin |cos PE ， CD | ， | 5223 1 2 26 1 11 即 ，得 或 (舍去) 5223 13 3 9 2 1 5 所以 CP ，| | ， ( ， ，0) CP 3 3 3 5 所以线段 CP 的长为 . 3 17 18