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1、第二讲 大题考法平行与垂直 题型(一) 平行、垂直关系的证明是高考的必考 线线、线面位置关系的证明 内容，主要考查线面平行、垂直的判定定理 及性质定理的应用，以及平行与垂直关系的 转化等. 典例感悟 例 1 (2017江苏高考)如图，在三棱锥 ABCD 中，ABA DB，C BD，平面 ABD平面 BCD，点 E，F(E 与 A，D 不重合)分别在棱 AD，BD 上，且 EFAD. 求证：(1)EF平面 ABC； (2)ADAC. 证明 (1)在平面 ABD 内，因为 ABAD，EFAD， 所以 EFAB. 又因为 EF 平面 ABC，AB 平面 ABC， 所以 EF平面 ABC. (2)因为
2、平面 ABD平面 BCD， 平面 ABD平面 BCDBD， BC 平面 BCD，BCBD， 所以 BC平面 ABD. 因为 AD 平面 ABD， 所以 BCAD. 又 ABAD，BCABB，AB 平面 ABC，BC 平面 ABC，所以 AD平面 ABC. 又因为 AC 平面 ABC， 所以 ADAC. 方法技巧 立体几何证明问题的 2 个注意点 (1)证明立体几何问题的主要方法是定理法，解题时必须按照定理成立的条件进行推理 如线面平行的判定定理中要求其中一条直线在平面内，另一条直线必须说明它在平面外；线 面垂直的判定定理中要求平面内的两条直线必须是相交直线等，如果定理的条件不完整，则 结论不一
3、定正确 1 (2)证明立体几何问题，要紧密结合图形，有时要利用平面几何的相关知识，因此需要 多画出一些图形辅助使用 演练冲关 1.(2018苏锡常镇调研)如图，在四棱锥 PABCD 中， ADB90， CBCD，点 E 为棱 PB 的中点 (1)若 PBPD，求证：PCBD； (2)求证：CE平面 PAD. 证明：(1)取 BD 的中点 O，连结 CO，PO， 因为 CDCB，所以 BDCO. 因为 PBPD，所以 BDPO. 又 POCOO， 所以 BD平面 PCO. 因为 PC 平面 PCO，所以 PCBD. (2)由 E 为 PB 中点，连结 EO，则 EOPD， 又 EO 平面 PAD
4、，PD 平面 PAD， 所以 EO平面 PAD. 由ADB90，以及 BDCO，所以 COAD， 又 CO 平面 PAD，所以 CO平面 PAD. 又 COEOO，所以平面 CEO平面 PAD， 而 CE 平面 CEO，所以 CE平面 PAD. 2(2018苏州模拟)在如图所示的空间几何体 ABCDPE 中，底面 ABCD 是边长为 4 的正方 形，PA平面 ABCD，PAEB，且 PAAD4，EB2. (1)若点 Q 是 PD 的中点，求证：AQ平面 PCD； (2)证明：BD平面 PEC. 证明：(1)因为 PAAD，Q 是 PD 的中点， 所以 AQPD. 又 PA平面 ABCD， 所以
5、 CDPA. 又 CDDA，PADAA， 所以 CD平面 ADP. 2 又因为 AQ 平面 ADP， 所以 CDAQ， 又 PDCDD， 所以 AQ平面 PCD. (2)如图，取 PC 的中点 M，连结 AC 交 BD 于点 N，连结 MN，ME， 1 在PAC 中，易知 MN PA，MNPA， 2 1 又 PAEB，EB PA， 2 所以 MNEB，MNEB， 所以四边形 BEMN 是平行四边形， 所以 EMBN. 又 EM 平面 PEC，BN 平面 PEC， 所以 BN平面 PEC，即 BD平面 PEC. 题型(二) 两平面之间位置关系的证明 考查面面平行和面面垂直，都需要用判定定 理，其
6、本质是考查线面垂直和平行. 典例感悟 例 2 (2018南京模拟)如图，直线 PA 垂直于圆 O 所在的平面， ABC 内接于圆 O，且 AB 为圆 O 的直径，M 为线段 PB 的中点，N 为线段 BC 的中点 求证：(1)平面 MON平面 PAC； (2)平面 PBC平面 MON. 证明 (1)因为 M，O，N 分别是 PB，AB，BC 的中点，所以 MOPA，NOAC， 又 MONOO，PAACA， 所以平面 MON平面 PAC. (2)因为 PA平面 ABC，BC 平面 ABC，所以 PABC. 由(1)知，MOPA，所以 MOBC. 连结 OC，则 OCOB，因为 N 为 BC 的中
7、点，所以 ONBC. 又 MOONO，MO 平面 MON，ON 平面 MON， 所以 BC平面 MON. 3 又 BC 平面 PBC，所以平面 PBC平面 MON. 方法技巧 证明两平面位置关系的求解思路 (1)证明面面平行依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即 可，从而将证明面面平行转化为证明线面平行，再转化为证明线线平行 (2)证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将 证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线， 则借助中线、高线或添加辅助线解决. 演练冲关 (2018江苏高考)在平行六面体 ABCD
8、A1B1C1D1中，AA1AB，AB1 B1C1. 求证：(1)AB平面 A1B1C； (2)平面 ABB1A1平面 A1BC. 证明：(1)在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中， ABA1B1. 因为 AB 平面 A1B1C，A1B1 平面 A1B1C， 所以 AB平面 A1B1C. (2)在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中， 四边形 ABB1A1为平行四边形 又因为 AA1AB， 所以四边形 ABB1A1为菱形， 因此 AB1A1B. 因为 AB1B1C1，BCB1C1， 所以 AB1BC. 因为 A1BBCB，A1B 平面 A1BC， BC 平面 A1BC， 所以 AB1平面
9、A1BC. 因为 AB1 平面 ABB1A1， 所以平面 ABB1A1平面 A1BC. 题型(三) 空间位置关系的综合问题 主要考查空间线面、面面平行或垂直的位置 4 或存在性问题相结合关系的证明与翻折 或存在性问题相结合 的综合问题. 典例感悟 例 3 如图 1，在矩形 ABCD 中，AB4，AD2，E 是 CD 的中点，将ADE 沿 AE 折起， 得到如图 2 所示的四棱锥 D1ABCE，其中平面 D1AE平面 ABCE. (1)证明：BE平面 D1AE； (2)设 F 为 CD1的中点，在线段 AB 上是否存在一点 M，使得 MF平面 D1AE，若存在，求 AM 出 的值；若不存在，请说
10、明理由 AB 解 (1)证明：四边形 ABCD 为矩形且 ADDEECBC2，AEBE2 2. 又 AB4，AE2BE2AB2， AEB90，即 BEAE. 又平面 D1AE平面 ABCE，平面 D1AE平面 ABCEAE，BE平面 ABCE，BE平面 D1AE. AM 1 (2) ，理由如下： AB 4 取 D1E 的中点 L，连接 FL，AL， 1 FLEC，FL EC1. 2 1 又 ECAB，FLAB，且 FL AB， 4 M，F，L，A 四点共面 若 MF平面 AD1E，则 MFAL. 四边形 AMFL 为平行四边形， 1 AM 1 AMFL AB，即 . 4 AB 4 方法技巧 与
11、平行、垂直有关的存在性问题的解题步骤 5 演练冲关 (2018全国卷 )如图，在平行四边形 ABCM 中，ABAC3，ACM90.以 AC 为 折痕将ACM 折起，使点 M 到达点 D 的位置，且 ABDA. (1)证明：平面 ACD平面 ABC； 2 (2)Q 为线段 AD 上一点，P 为线段 BC 上一点，且 BPDQ DA，求三棱锥 QABP 的体积 3 解：(1)证明：由已知可得，BAC90，即 BAAC. 又因为 BAAD，ACADA，所以 AB平面 ACD. 因为 AB 平面 ABC ， 所以平面 ACD平面 ABC. (2)由已知可得，DCCMAB3，DA3 2. 2 又 BPD
12、Q DA，所以 BP2 2. 3 1 如 图，过点 Q 作 QEAC，垂足为 E，则 QE 綊 DC. 3 由已知及(1)可得，DC平面 ABC， 所以 QE平面 ABC，QE1. 1 1 1 因此，三棱锥 QABP 的体积为 VQABP SABPQE 32 sin 4511. 2 3 3 2 课时达标训练 6 A组大题保分练 1.如图，在三棱锥 VABC 中，O，M 分别为 AB，VA 的中点，平面 VAB 平面 ABC，VAB 是边长为 2 的等边三角形，ACBC 且 ACBC. (1)求证：VB平面 MOC； (2)求线段 VC 的长 解：(1)证明：因为点 O，M 分别为 AB，VA
13、的中点，所以 MOVB. 又 MO 平面 MOC，VB 平面 MOC， 所以 VB平面 MOC. (2)因为 ACBC，O 为 AB 的中点，ACBC，AB2，所以 OCAB，且 CO1. 连结 VO，因为 VAB 是边长为 2 的等边三角形，所以 VO 3.又平面 VAB平面 ABC，OCAB ，平面 VAB平面 ABCAB，OC 平面 ABC， 所以 OC平面 VAB，所以 OCVO， 所以 VC OC2VO22. 2(2018南通二调)如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ACBC，A1B 与 AB1交于点 D，A1C 与 AC1交于点 E. 求证：(1)DE平面 B1BCC1； (2
14、)平面 A1BC平面 A1ACC1. 证明：(1)在直三棱柱 ABCA1B1C1中，四边形 A1ACC1为平行四边形 又 E 为 A1C 与 AC1的交点， 所以 E 为 A1C 的中点. 同理，D 为 A1B 的中点，所以 DEBC. 又 BC 平面 B1BCC1，DE 平面 B1BCC1， 所以 DE平面 B1BCC1. (2)在直三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1平面 ABC， 又 BC 平面 ABC，所以 AA1BC. 又 ACBC，ACAA1A，AC 平面 A1ACC1，AA1 平面 A1ACC1，所以 BC平面 A1ACC1. 因为 BC 平面 A1BC，所以平面 A1BC平面
15、A1ACC1. 7 3.如图，在三棱锥 ABCD 中，E，F 分别为棱 BC，CD 上的点，且 BD 平面 AEF. (1)求证：EF平面 ABD； (2)若 BDCD，AE平面 BCD，求证：平面 AEF平面 ACD. 证明：(1)因为 BD平面 AEF， BD 平面 BCD，平面 AEF平面 BCDEF， 所以 BDEF. 因为 BD 平面 ABD，EF 平面 ABD， 所以 EF平面 ABD. (2)因为 AE平面 BCD，CD 平面 BCD， 所以 AECD. 因为 BDCD，BDEF，所以 CDEF， 又 AEEFE，AE 平面 AEF，EF 平面 AEF， 所以 CD平面 AEF.
16、 又 CD 平面 ACD，所以平面 AEF平面 ACD. 4(2018无锡期末)如图，ABCD 是菱形，DE平面 ABCD，AFDE， DE2AF. 求证：(1)AC平面 BDE； (2)AC平面 BEF. 证明：(1)因为 DE平面 ABCD，AC 平面 ABCD，所以 DEAC. 因为四边形 ABCD 是菱形，所以 ACBD， 因为 DE 平面 BDE，BD 平面 BDE，且 DEBDD， 所以 AC平面 BDE. (2)设 ACBDO，取 BE 中点 G，连结 FG，OG， 1 易 知 OGDE 且 OG DE. 2 因为 AFDE，DE2AF， 所以 AFOG 且 AFOG， 从而四边
17、形 AFGO 是平行四边形，所以 FGAO. 因为 FG 平面 BEF，AO 平面 BEF， 所以 AO平面 BEF，即 AC平面 BEF. B组大题增分练 8 1(2018盐城三模)在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，已知底面 ABCD 是菱形，M，N 分别 是棱 A1D1，D1C1的中点 求证：(1)AC平面 DMN； (2)平面 DMN平面 BB1D1D. 证 明：(1)连结 A1C1，在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，因为 AA1綊 BB1，BB1綊 CC1，所以 AA1 綊 CC1，所以 A1ACC1为平行四边形，所以 A1C1AC.又 M，N 分别是棱 A1D1，D1C1的
18、中点，所 以 MNA1C1，所以 ACMN.又 AC 平面 DMN，MN 平面 DMN，所以 AC 平面 DMN. (2)因为四棱柱 ABCDA1B1C1D1是直四棱柱， 所以 DD1平面 A1B1C1D1，而 MN 平面 A1B1C1D1， 所以 MNDD1. 又因为棱柱的底面 ABCD 是菱形，所以底面 A1B1C1D1也是菱形， 所以 A1C1B1D1，而 MNA1C1，所以 MNB1D1. 又 MNDD1，DD1 平面 BB1D1D，B1D1 平面 BB1D1D，且 DD1B1D1D1， 所以 MN平面 BB1D1D. 而 MN 平面 DMN，所以平面 DMN平面 BB1D1D. 2.
19、如图，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，ABCD，ABBC，AB BC1，DC2，点 E 在 PB 上 (1)求证：平面 AEC平面 PAD； (2)当 PD平面 AEC 时，求 PEEB 的值 解：(1)证明：在平面ABCD中，过A作AFDC于F则，CFDFAF1， DACDAFFAC454590，即 ACDA. 又 PA平面 ABCD，AC 平面 ABCD，ACPA. PA 平面 PAD，AD 平面 PAD，且 PAADA， AC平面 PAD. 又 AC 平面 AEC，平面 AEC平面 PAD. 9 (2)连结 BD 交 AC 于 O，连结 EO. PD平面 AEC，PD 平面
20、 PBD，平面 PBD平面 AECEO，PDEO， 则 PEEBDOOB. 又DOCBOA，DOOBDCAB21， PEEB 的值为 2. 3.(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)如图 ，在 三棱柱 ABCA1B1C1中已， 知 ABAC点，EF，分别在棱 BB1C，C1上(均异于端点)， 且ABEACF，AEBB1，AFCC1. 求证：(1)平面 AEF平面 BB1C1C； (2)BC平面 AEF. 证明：(1)在三棱柱 ABCA1B1C1中，BB1CC1. 因为 AFCC1，所以 AFBB1. 又 AEBB1，AEAFA，AE 平面 AEF，AF 平面 AEF， 所以 B
21、B1平面 AEF. 又因为 BB1 平面 BB1C1C， 所以平面 AEF平面 BB1C1C. (2)因为 AEBB1，AFCC1，ABEACF，ABAC， 所以 RtAEBRtAFC. 所以 BECF. 又 BECF，所以四边形 BEFC 是平行四边形 从而 BCEF. 又 BC 平面 AEF，EF 平面 AEF， 所以 BC平面 AEF. 4(2018常州期末)如图，四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是平行四 边形，PC平面 ABCD，PBPD，点 Q 是棱 PC 上异于 P，C 的一点 (1)求证：BDAC； (2)过点 Q 和 AD 的平面截四棱锥得到截面 ADQF(点 F 在棱
22、PB 上)，求 证：QFBC. 证明：(1)因为 PC平面 ABCD，BD 平面 ABCD，所以 BDPC. 记 AC，BD 交于点 O，连结 OP. 因为平行四边形对角线互相平分，则 O 为 BD 的中点 在PBD 中，PBPD，所以 BDOP. 又 PCOPP，PC 平面 PAC，OP 平面 PAC. 所以 BD平面 PAC， 10 又 AC 平面 PAC，所以 BDAC. (2)因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 ADBC. 又 AD 平面 PBC，BC 平面 PBC， 所以 AD平面 PBC. 又 AD 平面 ADQF，平面 ADQF平面 PBCQF， 所以 ADQF，所以 QFBC. 11 12