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1、应用题 江苏卷 5 年考情分析 “在考查基础知识的同时，侧重考查能力”是高考的重要意向，而应用能力的考查又是 近几年能力考查的重点江苏卷一直在坚持以建模为主所以如何由实际问题转化为数学问 题的建模过程的探索应是复习的关键 应用题的载体很多，前几年主要考函数建模，以三角、导数、不等式知识解决问题.2014 年应用考题(2)可以理解为一次函数模型，也可以理解为条件不等式模型，这样在建模上增 添新意，还是有趣的；2015、2016 年应用考题(2)都先构造函数，再利用导数求解；2016、 2017 年应用考题是立体几何模型，2017 年应用考题需利用空间中的垂直关系和解三角形的 知识求解；2018
2、年应用考题是三角模型，需利用三角函数和导数知识求解 题型(一) 主要考查以构建函数模型为背景的应用题， 函数模型的构建及求解 一般常见于经济问题或立体几何表面积和 体积最值问题中. 典例感悟 例 1 (2016江苏高考)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成， 上部的形状是正四棱锥 PA1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱 ABCDA1B1C1D1(如 图所示)，并要求正四棱柱的高 O1O 是正四棱锥的高 PO1的 4 倍 (1)若 AB6 m，PO12 m，则仓库的容积是多少？ (2)若正四棱锥的侧棱长为 6 m，则当 PO1为多少时，仓库的容积最大？ 解 (1)由 PO12 知 O1O4P
3、O18. 因为 A1B1AB6， 所以正四棱锥 PA1B1C1D1的体积 1 1 V 锥 A1B21PO1 62224(m3)； 3 3 正四棱柱 ABCDA1B1C1D1的体积 V 柱AB2O1O628288(m3) 所以仓库的容积 VV 锥V 柱24288312(m3) 1 (2)设 A1B1a m，PO1h m， 则 0h6，O1O4h.连结 O1B1. 因为在 RtPO1B1中， O1B21PO21PB21， 2a 所以 ( 2 ) 2h236， 即 a22(36h2) 1 13 26 于是仓库的容积 VV 柱V 锥a24h a2h a2h (36hh3)，0h6， 3 3 3 26
4、从而 V (363h2)26(12h2) 3 令 V0，得 h2 3 或 h2 3(舍去) 当 0h2 3 时，V0，V 是单调增函数； 当 2 3h6 时，V0，V 是单调减函数 故当 h2 3时，V 取得极大值，也是最大值 因此，当 PO12 3 m 时，仓库的容积最大 方法技巧 解函数应用题的四步骤 演练冲关 1(2018苏锡常镇二模)某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量 w(单位：百千克) 3 与肥料费用 x(单位：百元)满足如下关系：w4 ，且投入的肥料费用不超过 5 百元此 x1 外，还需要投入其他成本(如施肥的人工费等)2x 百元已知这种水蜜桃的市场售价为 16 元 /千克(即
5、 16 百元/百千克)，且市场需求始终供不应求记该棵水蜜桃树获得的利润为 L(x)(单位：百元) (1)求利润函数 L(x)的函数关系式，并写出定义域； 2 (2)当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？ 3 48 解：(1)由题意可得，L(x)16(4x1)x2x64 3x(0x5) x1 48 48 48 (2)法一：L(x)64 3x67 672 x1 x1 x1 3x1 3x1 43. 48 当且仅当 3(x1)，即 x3 时取等号 x1 故 L(x)max43. 答：当投入的肥料费用为 300元时，种植水蜜桃树获得的利润最大，最大利润是 4300 元. 4
6、8 法二：由(1)可得 L(x) 3(0x5)， x12 由 L(x)0，得 x3. 故当 x(0,3)时，L(x)0，L(x)在(0,3)上单调递增； 当 x(3,5)时，L(x)0)，乙的单位面积的年产值为 3k(k0)， 则年总产值为4k800(4sin cos cos )3k1 600(cos sin cos ) 8 000k(sin cos cos )， 2). 0， 设 f()sin cos cos ， 2)， 0， 则 f()cos2sin2sin (2sin2sin 1) (2sin 1)(sin 1) 令 f()0，得 ， 6 当 ( 6)时，f()0，所以 f()为增函数；
7、 0， 当 ( 2)时，f()0，所以 f()为减函数 ， 6 所以当 时，f()取到最大值 6 答：当 时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大 6 方法技巧 三角应用题的解题策略 (1)解三角应用题是数学知识在生活中的应用，要想解决好，就要把实际问题抽象概括， 5 建立相应的数学模型，然后求解 (2)解三角应用题常见的两种情况： 实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或 余弦定理求解 实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出 这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个 三角形中列出方程(组
8、)，解方程(组)得出所要求的解 (3)三角函数的值域或最值的求解方法一般有化归法、换元法、导数法 演练冲关 如图，经过村庄 A 有两条夹角为 60的公路 AB，AC，根据规划拟在两 条公路之间的区域内建一工厂 P，分别在两条公路边上建两个仓库 M，N(异 于村庄 A)，要求 PMPNMN2(单位：千米)记AMN. (1)将 AN，AM 用含 的关系式表示出来； (2)如何设计(即 AN，AM 为多长)，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村 庄的距离 AP 最大)? 解：(1)由已知得MAN60，AMN，MN2， 在AMN 中， MN AN AM 由正弦定理得 ， sin 60 sin
9、 sin120 4 3 所以 AN sin ， 3 4 3 4 3 AM sin(120) sin(60) 3 3 (2)在AMP 中，由余弦定理可得 AP2AM2MP22AMMPcosAMP 16 16 3 sin2(60)4 sin(60)cos(60) 3 3 8 8 3 1cos(2120) sin(2120)4 3 3 8 20 3sin(2120)cos(2120) 3 3 20 16 sin(2150)，0120， 3 3 当且仅当 2150270，即 60时，工厂产生的噪声对居民的影响最小，此 时 ANAM2. 6 题型(三) 主要考查与直线和圆有关的实际应用 与圆有关的实际应
10、用题 问题，在航海与建筑规划中的实际 问 题中常见. 典例感悟 例 3 一缉私艇巡航至距领海边界线 l(一条南北方向的直线)3.8海里的 A 处，发现 在其北偏东 30方向相距 4 海里的 B 处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击已知缉私 艇的最大航速是走私船最大航速的3 倍假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行 (1)若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使其用最短时间在领海内拦 3 截成功；(参考数据：sin 17 ， 335.744 6) 6 (2)问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由 解 (1)设缉私艇在 C 处与走私船相遇(如图)，
11、依题意，AC3BC. 在ABC 中，由正弦定理得， BC sinBAC sinABC AC sin 120 3 . 3 6 3 因为 sin 17 ，所以BAC17. 6 从而缉私艇应向北偏东 47方向追击. 在ABC 中，由余弦定理得， 42BC2AC2 cos 120 ， 8BC 1 33 解得 BC 1.686 15. 4 又 B 到边界线 l 的距离为 3.84sin 301.8. 因为 1.686 150， 3 10 1 所以当 t( ，1 )时，y0， 1 所以 y 在( ，1 )上单调递减；在(1,2)上单调递增 3 所以当 t1 时，y 取最小值为 24.5. 由知，y 取最小
12、值为 24.5. 答：修建该参观线路的最低费用为 24.5万元. 课时达标训练 A 组大题保分练 1.在一个矩形体育馆的一角 MAN 内(如图所示)，用长为 a 的围栏设 置一个运动器材储存区域，已知B是墙角线AM上的一点，C是墙角线AN 上的一点 (1)若 BCa10，求储存区域ABC 面积的最大值； (2)若 ABAC10，在折线 MBCN 内选一点 D，使 DBDCa20，求储存区域四边形 DBAC 面积的最大值 解：(1)设 ABx，则 AC 102x2， 1 1 1 x2100x2 1 所以 SABC x 5025， 100x2 x2100x2 2 ( 2 )2 2 2 2 当且仅当
13、 x2100x2，即 x5 2时取等号， 所以 SABC 取得最大值为 25. (2)由 DBDC20 知点 D 在以 B，C 为焦点的椭圆上 1 因为 SABC 101050，所以要使四边形 DBAC 的面积最大，只需DBC 的面积最 2 大，此时点 D 到 BC 的距离最大，即 D 必为椭圆短轴顶点 1 由 BC10 2得短半轴长为 5 2，所以 SDBC 的最大值为 10 5 50. 2 2 2 因此四边形 DBAC 面积的最大值为 100. 2.某地拟建一座长为 640米的大桥 AB，假设桥墩等距离分布，经 设计部门测算，两端桥墩 A，B 造价总共为 100万元，当相邻两个桥墩 80
14、3 的距离为 x 米时(其中 640， 640 所以当 x80时，桥的总造价最低，此时桥墩数为 17. 80 3如图所示，有两条道路 OM 与 ON，MON60，现要铺设三条下水 管道 OA，OB，AB(其中 A，B 分别在 OM，ON 上)，若下水管道的总长度为 3 km.设 OAa km，OBb km. (1)求 b 关于 a 的函数表达式，并指出 a 的取值范围； 3 (2)已知点 P 处有一个污水总管的接口，点 P 到 OM 的距离 PH 为 km，到点 O 的距离 PO 4 7 为 km，问下水管道 AB 能否经过污水总管的接口点 P？若能，求出 a 的值，若不能，请说 4 明理由
15、解：(1)OAOBAB3，AB3ab. MON60，由余弦定理，得 AB2a2b22abcos 60. (3ab)2a2b2ab. 2a3 整理，得 b . a2 12 3 由 a0，b0,3ab0，及 ab3ab，a3abb，b3aba，得 00. 3 令 t 3tan 10，则 tan (t1)， 3 3 4 所以 MN t . 3( 2) t 3 4 由基本不等式得 MN 2 t 2 3， 3 ( 2) t 4 当且仅当 t ，即 t2 时取“” t 此时 tan 3，由于 ，故 . 6 2 3 答：当 时，MN 的长度最小，为 2 3千米 3 法二：(三角函数) MN 3tan21 3
16、tan 1 3 3sin cos cos2 3 3 1 1 sin 2 cos 2 2 2 2 3 . 1 sin(2 6 ) 2 5 因为 ，所以 2 ， 6 2 6 6 6 1 故2sin(2 6)1， 17 所以当 sin(2 6)1，即 时， 3 3 MNmin 2 3. 1 1 2 答：当 时，MN 的长度最小，为 2 3千米 3 4. 如图，某城市有一块半径为 1(单位：百米)的圆形景观，圆心为 C，有两条与圆形景观相 切且互相垂直的道路最初规划在拐角处(图中阴影部分)只有一块绿化地，后来有众多市民 建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路规划部门采纳了此建议，决定 在
17、绿化地中增建一条与圆 C 相切的小道 AB.问：A，B 两点应选在何处可使得小道 AB 最短？ 解：法一：如图，分别由两条道路所在直线建立直角坐标系 xOy， 则 C(1,1) x y 设 A(a,0)，B(0，b)(0a1,0b1)，则直线 AB 方程为 1， a b 即 bxayab0. |baab| 因为 AB 与圆 C 相切，所以 1. b2a2 化简得 ab2(ab)20，即 ab2(ab)2. 因此 AB a2b2 ab22ab ab24ab4 ab22. 因为 0a1,0b1， 所以 0ab2，于是 AB2(ab) ab 又 ab2(ab)2( 2 )2， 解得 0ab42 2，
18、或 ab42 2(舍去) 所以 AB2(ab)2(42 2)2 22，当且仅当 ab2 2时取等号， 所以 AB 最小值为 2 22，此时 ab2 2. 故当 A，B 两点离道路的交点都为 2 2(百米)时，小道 AB 最短 18 法二：如图，设圆 C 与道路 1，道路 2，AB 的切点分别为 E，F，D，连结 CE，CA，CD， CB，CF. 设DCE，( 2)， 0， 则 DCF . 2 在 RtCDA 中，ADtan . 2 在 RtCDB 中，BDtan( 2). 4 所以 ABADBDtan2tan( 2 ) 4 1tan 2 tan . 2 1tan 2 令 ttan ，0t1， 2 1t 2 则 ABf(t)t t1 22 22， 1t 1t 当且仅当 t 21 时取等号 所以 AB 最小值为 2 22，此时 A，B 两点离两条道路交点的距离是 1( 21)2 2. 故当 A，B 两点离道路的交点都为 2 2(百米)时，小道 AB 最短 19 20