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1、应用题 A 组大题保分练 1.在一个矩形体育馆的一角 MAN 内(如图所示),用长为 a 的围栏设 置一个运动器材储存区域,已知B是墙角线AM上的一点,C是墙角线AN 上的一点 (1)若 BCa10,求储存区域ABC 面积的最大值; (2)若 ABAC10,在折线 MBCN 内选一点 D,使 DBDCa20,求储存区域四边形 DBAC 面积的最大值 解:(1)设 ABx,则 AC 102x2, 1 1 1 x2100x2 1 所以 SABC x x2100x2 5025, 100x2 2 ( 2 )2 2 2 2 当且仅当 x2100x2,即 x5 2时取等号, 所以 SABC 取得最大值为
2、25. (2)由 DBDC20 知点 D 在以 B,C 为焦点的椭圆上 1 因为 SABC 101050,所以要使四边形 DBAC 的面积最大,只需DBC 的面积最 2 大,此时点 D 到 BC 的距离最大,即 D 必为椭圆短轴顶点 1 由 BC10 2得短半轴长为 5 2,所以 SDBC 的最大值为 10 5 50. 2 2 2 因此四边形 DBAC 面积的最大值为 100. 2.某地拟建一座长为 640米的大桥 AB,假设桥墩等距离分布,经 设计部门测算,两端桥墩 A,B 造价总共为 100万元,当相邻两个桥墩 80 3 的距离为 x 米时(其中 640, 640 所以当 x80时,桥的总
3、造价最低,此时桥墩数为 17. 80 3如图所示,有两条道路 OM 与 ON,MON60,现要铺设三条下水 管道 OA,OB,AB(其中 A,B 分别在 OM,ON 上),若下水管道的总长度为 3 km.设 OAa km,OBb km. (1)求 b 关于 a 的函数表达式,并指出 a 的取值范围; 3 (2)已知点 P 处有一个污水总管的接口,点 P 到 OM 的距离 PH 为 km,到点 O 的距离 PO 4 7 为 km,问下水管道 AB 能否经过污水总管的接口点 P?若能,求出 a 的值,若不能,请说 4 明理由 解:(1)OAOBAB3,AB3ab. MON60,由余弦定理,得 AB
4、2a2b22abcos 60. (3ab)2a2b2ab. 2a3 整理,得 b . a2 3 由 a0,b0,3ab0,及 ab3ab,a3abb,b3aba,得 00. 3 令 t 3tan 10,则 tan (t1), 3 3 4 所以 MN 2). 3(t t 3 4 由基本不等式得 MN 3(2 t 2 , 2) 3 t 4 当且仅当 t ,即 t2 时取“” t 此时 tan 3,由于 ,故 . 6 2 3 答:当 时,MN 的长度最小,为 2 3千米 3 法二:(三角函数) MN 3tan21 3tan 1 3 3sin cos cos2 3 3 1 1 sin 2 cos 2
5、2 2 2 3 . 1 sin( 6 ) 2 2 5 因为 ,所以 2 , 6 2 6 6 6 1 2 故2sin( 6)1, 所以当 sin( 6)1,即 时, 2 3 3 MNmin 2 . 3 1 1 2 答:当 时,MN 的长度最小,为 2 3千米 3 4.如图,某城市有一块半径为1(单位:百米)的圆形景观,圆心为C, 有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路最初规划在拐角处(图中阴影 部分)只有一块绿化地,后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路,便 于市民快捷地往返两条道路规划部门采纳了此建议,决定在绿化地中增建 7 一条与圆 C 相切的小道 AB.问:A,B 两点应选在何处可使得小道
6、AB 最短? 解:法一:如图,分别由两条道路所在直线建立直角坐标系 xOy, 则 C(1,1) x y 设 A(a,0),B(0,b)(0a1,0b1),则直线 AB 方程为 1, a b 即 bxayab0. |baab| 因为 AB 与圆 C 相切,所以 1. b2a2 化简得 ab2(ab)20,即 ab2(ab)2. 因此 AB a2b2 ab22ab ab24ab4 ab22. 因为 0a1,0b1, 所以 0ab2,于是 AB2(ab) ab 又 ab2(ab)2( 2 )2, 解得 0ab42 2,或 ab42 2(舍去) 所以 AB2(ab)2(42 2)2 22,当且仅当 a
7、b2 2 时取等号, 所以 AB 最小值为 2 22,此时 ab2 2. 故当 A,B 两点离道路的交点都为 2 2(百米)时,小道 AB 最短 法二:如图,设圆 C 与道路 1,道路 2,AB 的切点分别为 E,F,D, 连结 CE,CA,CD,CB,CF. 设DCE,( , 0, 2 ) 则 DCF . 2 在 RtCDA 中,ADtan . 2 在 RtCDB 中,BDtan( 2). 4 所以 ABADBDtan2tan( 2 ) 4 1tan 2 tan . 2 1tan 2 令 ttan ,0t1, 2 8 1t 2 则 ABf(t)t t1 22 22, 1t 1t 当且仅当 t 21 时取等号 所以 AB 最小值为 2 22,此时 A,B 两点离两条道路交点的距离是 1( 21)2 2. 故当 A,B 两点离道路的交点都为 2 2(百米)时,小道 AB 最短 9 10