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1、应用题 A 组大题保分练 1.在一个矩形体育馆的一角 MAN 内(如图所示)，用长为 a 的围栏设 置一个运动器材储存区域，已知B是墙角线AM上的一点，C是墙角线AN 上的一点 (1)若 BCa10，求储存区域ABC 面积的最大值； (2)若 ABAC10，在折线 MBCN 内选一点 D，使 DBDCa20，求储存区域四边形 DBAC 面积的最大值 解：(1)设 ABx，则 AC 102x2， 1 1 1 x2100x2 1 所以 SABC x x2100x2 5025， 100x2 2 ( 2 )2 2 2 2 当且仅当 x2100x2，即 x5 2时取等号， 所以 SABC 取得最大值为
2、25. (2)由 DBDC20 知点 D 在以 B，C 为焦点的椭圆上 1 因为 SABC 101050，所以要使四边形 DBAC 的面积最大，只需DBC 的面积最 2 大，此时点 D 到 BC 的距离最大，即 D 必为椭圆短轴顶点 1 由 BC10 2得短半轴长为 5 2，所以 SDBC 的最大值为 10 5 50. 2 2 2 因此四边形 DBAC 面积的最大值为 100. 2.某地拟建一座长为 640米的大桥 AB，假设桥墩等距离分布，经 设计部门测算，两端桥墩 A，B 造价总共为 100万元，当相邻两个桥墩 80 3 的距离为 x 米时(其中 640， 640 所以当 x80时，桥的总
3、造价最低，此时桥墩数为 17. 80 3如图所示，有两条道路 OM 与 ON，MON60，现要铺设三条下水 管道 OA，OB，AB(其中 A，B 分别在 OM，ON 上)，若下水管道的总长度为 3 km.设 OAa km，OBb km. (1)求 b 关于 a 的函数表达式，并指出 a 的取值范围； 3 (2)已知点 P 处有一个污水总管的接口，点 P 到 OM 的距离 PH 为 km，到点 O 的距离 PO 4 7 为 km，问下水管道 AB 能否经过污水总管的接口点 P？若能，求出 a 的值，若不能，请说 4 明理由 解：(1)OAOBAB3，AB3ab. MON60，由余弦定理，得 AB
4、2a2b22abcos 60. (3ab)2a2b2ab. 2a3 整理，得 b . a2 3 由 a0，b0,3ab0，及 ab3ab，a3abb，b3aba，得 00. 3 令 t 3tan 10，则 tan (t1)， 3 3 4 所以 MN 2). 3(t t 3 4 由基本不等式得 MN 3(2 t 2 ， 2) 3 t 4 当且仅当 t ，即 t2 时取“” t 此时 tan 3，由于 ，故 . 6 2 3 答：当 时，MN 的长度最小，为 2 3千米 3 法二：(三角函数) MN 3tan21 3tan 1 3 3sin cos cos2 3 3 1 1 sin 2 cos 2
5、2 2 2 3 . 1 sin( 6 ) 2 2 5 因为 ，所以 2 ， 6 2 6 6 6 1 2 故2sin( 6)1， 所以当 sin( 6)1，即 时， 2 3 3 MNmin 2 . 3 1 1 2 答：当 时，MN 的长度最小，为 2 3千米 3 4.如图，某城市有一块半径为1(单位：百米)的圆形景观，圆心为C， 有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路最初规划在拐角处(图中阴影 部分)只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便 于市民快捷地往返两条道路规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建 7 一条与圆 C 相切的小道 AB.问：A，B 两点应选在何处可使得小道
6、AB 最短？ 解：法一：如图，分别由两条道路所在直线建立直角坐标系 xOy， 则 C(1,1) x y 设 A(a,0)，B(0，b)(0a1,0b1)，则直线 AB 方程为 1， a b 即 bxayab0. |baab| 因为 AB 与圆 C 相切，所以 1. b2a2 化简得 ab2(ab)20，即 ab2(ab)2. 因此 AB a2b2 ab22ab ab24ab4 ab22. 因为 0a1,0b1， 所以 0ab2，于是 AB2(ab) ab 又 ab2(ab)2( 2 )2， 解得 0ab42 2，或 ab42 2(舍去) 所以 AB2(ab)2(42 2)2 22，当且仅当 a
7、b2 2 时取等号， 所以 AB 最小值为 2 22，此时 ab2 2. 故当 A，B 两点离道路的交点都为 2 2(百米)时，小道 AB 最短 法二：如图，设圆 C 与道路 1，道路 2，AB 的切点分别为 E，F，D， 连结 CE，CA，CD，CB，CF. 设DCE，( ， 0， 2 ) 则 DCF . 2 在 RtCDA 中，ADtan . 2 在 RtCDB 中，BDtan( 2). 4 所以 ABADBDtan2tan( 2 ) 4 1tan 2 tan . 2 1tan 2 令 ttan ，0t1， 2 8 1t 2 则 ABf(t)t t1 22 22， 1t 1t 当且仅当 t 21 时取等号 所以 AB 最小值为 2 22，此时 A，B 两点离两条道路交点的距离是 1( 21)2 2. 故当 A，B 两点离道路的交点都为 2 2(百米)时，小道 AB 最短 9 10