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1、 3.3 高阶导数、高阶偏导数,一、高阶导数 二、高阶偏导数,一、高阶导数的定义,问题:变速直线运动的加速度.,定义,瞬时速度为路程 对时间的变化率,记作,三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.,二阶导数的导数称为三阶导数,二、 高阶导数求导法则,例,解,直接法:,由高阶导数的定义逐步求高阶导数.,例,设,求,例,设,例,设,求,求,例,解,求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法),注意:,三、几个初等函数的n阶导数公式,例,解,同理可得,例,解,二、高阶偏导数的概念与计算,设 z = f (x , y)在域 D
2、内存在连续的偏导数,若这两个偏导数仍存在偏导数，,则称它们是z = f ( x , y ),的二阶偏导数 .,按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导,数:,类似可以定义更高阶的偏导数.,例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为,则,定理.,本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.,(证明略),例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) ,当三阶混合偏导数,在点 (x , y , z) 连续时, 有,例. 求函数,解 :,的二阶偏导数及,说明:,函数在其定义区域内是连续的 ,故求初等函数的高阶导,数可以选择方便的求导顺序.,因为初等函数的偏导数仍为初等函数 ,而初等
3、,注意:,但这一情形并不总成立.,例. 证明函数,满足拉普拉斯,证：,利用对称性 , 有,方程,思考: 设,二阶偏导数连续,证明下列表达式在极坐标系下的形式:, 3.4 参数方程与隐函数方程微分法,一、参数方程确定的函数求导 二、隐函数确定的函数求导,一、由参数方程确定的函数的导数,若参数方程,可确定一个 y 与 x 之间的函数,可导, 且,则,时, 有,时, 有,(此时看成 x 是 y 的函数 ),关系,若上述参数方程中,二阶可导,且,则由它确定的函数,可求二阶导数 .,利用新的参数方程,可得,例1 :,解:,求,例. 设, 且,求,解:,为两可导函数,之间有联系,之间也有联系,称为相关变化
4、率,二、隐函数方程确定的函数求导,若由方程,可确定 y 是 x 的函数 ,由,表示的函数 , 称为显函数 .,例如,可确定显函数,可确定 y 是 x 的函数 ,但此隐函数不能显化 .,函数为隐函数 .,则称此,隐函数求导方法:,两边对 x 求导,(含导数 的方程),例. 求由方程,在 x = 0 处的导数,解: 方程两边对 x 求导,得,因 x = 0 时 y = 0 , 故,确定的隐函数,例. 求椭圆,在点,处的切线方程.,解: 椭圆方程两边对 x 求导,故切线方程为,即,例,对 x 求导,两边取对数,解:,求导函数?,下面利用偏导数来考虑隐函数方程确定的函数求导问题.,定理1. 设函数,则
5、方程,单值连续函数 y = f (x) ,并有连续,(隐函数求导公式),定理证明从略., 具有连续的偏导数;,的某邻域内可唯一确定一个,在点,的某一邻域内满足,满足条件,导数,例. 验证方程,在点(0,0)某邻域,可确定一个单值可导隐函数,解: 令,连续 ,由 定理1 可知,导的隐函数,则,在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可,且,求,两边对 x 求导,两边再对 x 求导,令 x = 0 , 注意此时,导数的另一求法, 利用隐函数求导,定理2 .,若函数,的某邻域内具有连续偏导数 ,则方程,在点,并有连续偏导数,定一个单值连续函数 z = f (x , y) ,定理证明从略.,满足, 在点,满足:,某一邻域内可唯一确,例. 设,解法1 利用隐函数求导,再对 x 求导,解法2 利用公式,设,则,两边对 x 求偏导,作业,P95-96 18(2)(4),19(1),20, 21(2) ,22; 23(1)(2),24(2)(4)(5),25,27;,