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二、高阶导数的运算法则,一、高阶导数的概念,2.3 高阶导数,一、高阶导数的概念,速度,即,加速度,即,引例：变速直线运动,定义.,若函数,的导数,可导,或,即,或,类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 ,阶导数的导数称为 n 阶导数 ,或,的二阶导数 ,记作,的导数为,依次类推 ,分别记作,则称,所以y 3y10,证明,例1,设,存在，求下列函数的二阶导数,解:（1）,例2.,（1）,（2）,（2）,设,求,解:,依次类推 ,例3.,思考: 设,问,可得,例4. 设,求,解:,特别有:,解:,规定 0 ! = 1,例5. 设,求,例6. 设,求,解:,一般地 ,类似可证:,例7. 设,求使,存在的最高,分析:,但是,不存在 .,2,又,阶数,二、高阶导数的运算法则,都有 n 阶导数 , 则,(C为常数),莱布尼兹(Leibniz) 公式,用数学归纳法可证莱布尼兹公式成立 .,例8.,求,解: 设,则,代入莱布尼兹公式 , 得,(1) 逐阶求导法,(2) 利用归纳法,(3) 间接法, 利用已知的高阶导数公式,(4) 利用莱布尼兹公式,高阶导数的求法,如,例9. 如何求下列函数的 n 阶导数?,解:,解:,(3),解:,作业：p-103 习题2-3,1 (9) , (12) ; 3 ; 4 (1) ; 5, 10 (2) , (3) ; 11 (2) , (3),