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1、高阶微分方程与方程组,教学要求（基本理论与方法） 一阶线性方程组的基本理论与解的性质 线性方程组的向量表示和存在唯一性 齐次与非齐次 线性方程组解的性质和结构 基解矩阵及常数变易公式 常系数线性方程组微分方程的求解 exp(At) 的定义与性质 exp(At)的三种计算方法和两种特例 常系数非齐次线性方程组的求解,齐次/非齐次 线性方程组解的性质和通解结构 解的性质（叠加原理）； 解的线性相关/无关性及判别 （Wronsky行列式） 齐次与非齐次 通解结构（基本解组） 基解矩阵及其性质、常数变易公式,基本概念：线性、齐次与非齐次、解（特解与通解）、初值问题、二者关系、存在唯一性 向量表示： 向
2、量（矩阵）函数及微积分、范数、向量序列与级数,高阶线性方程与方程组的基本概念与理论（与对比）,矩阵指数与基解矩阵 矩阵指数exp A 的定义与性质 基解矩阵表示 基解矩阵的计算方法 基解矩阵与特征值（向量）关系 特征值（向量）方法 若当块方法 递推公式方法,高阶(线性)微分方程的求解 常系数齐次线性方程（欧拉方程）的特征根法 常系数非齐次线性方程的比较系数法 一般非齐次线性方程的常数变易法 一般高阶（线性）方程的降解法 *(了解) 二阶方程的幂级数法 （Bessel方程）,常系数齐次线性微分方程的通解-特征根法,基本解组,复解实值转化,欧拉方程的基本解组-变换,特征方程,基本解组,非齐次常系数
3、线性方程的特解-比较系数法,类型,类型II,特解,特解,待定特解中的系数，将特解代入方程，比较方程两端 求出系数，从而得到特解（待定系数法！）,n-k阶方程,n-1阶方程,n-1阶方程 并反复k次， 得n-k阶方程,一般高阶方程-降阶法,二阶线性方程（已知非零解求另一非线性无关解）,为齐次方程的基本解组，则通解：,求一般非齐次线性方程的特解-常数变易法,假设非齐次的某特解：,幂级数解法 Bssel 方程的通解公式和Bessel函数,二阶线性方程-幂级数解法*,齐次： 基本解组 非齐次： 特解 常系数齐次：特征根法 常系数非齐次：比较系数法、常数变易法、降阶法 幂级数法*、分解法 变系数方程（非
4、齐次）：降阶法、幂级数法*,1 计算特征值，n个无关的特征向量；,（I） n个线性无关特征向量情形,2 求解基解矩阵，求标准基解矩阵（实）；,（2）求解子空间Uj并分解：,（1）求A的特征值、特征向量,（3）,仅一个特征值利用 公式(5.53);,（4）,（II）基解矩阵的计算方法-递推法,利用递推法计算基解矩阵,结论,其中,是下列初值问题的解,(III) 基解矩阵的计算方法-递推法,练习,3.7 稳定性问题,在研究许多实际问题时，人们最为关心的也许并非系统与时间有关的变化状态，而是系统最终的发展趋势。例如，在研究某频危种群时，虽然我们也想了解它当前或今后的数量，但我们更为关心的却是它最终是否
5、会绝灭，用什么办法可以拯救这一种群，使之免于绝种等等问题。要解决这类问题，需要用到微分方程或微分方程组的稳定性理论。在下两节，我们将研究几个与稳定性有关的问题。,一般的微分方程或微分方程组可以写成：,若方程或方程组f(x)=0有解Xo，X=Xo显然满足（3.28）。称点Xo为微分方程或微分方程组（3.28)的平衡点或奇点。,例7 本章第2节中的Logistic模型,共有两个平衡点：N=0和N=K，分别对应微分方程的两两个特殊解。前者为No=0时的解而后者为No=K时的解。,当NoK时，则位于N=K的上方。从图3-17中不难看出，若No0，积分曲线在N轴上的投影曲线（称为轨线）将趋于K。这说明，
6、平衡点N=0和N=K有着极大的区别。,图3-17,定义1 自治系统 的相空间是指以（x1,xn）为坐标 的空间Rn。,特别，当n=2时，称相空间为相平面。,空间Rn的点集(x1,xn)|xi=xi(t)满足(3.28)，i=1,n称为系统的轨线，所有轨线在相空间的分布图称为相图。,定义2 设x0是（3.28）的平衡点，称：,（1）x0是稳定的，如果对于任意的0，存在一个0，只要|x(0)- x0|，就有|x(t)- x0|对所有的t都成立。,（2）x0是渐近稳定的，如果它是稳定的且 。,微分方程平衡点的稳定性除了几何方法，还可以通过解析方法来讨论，所用工具为以下一些定理。,（3）x0是不稳定的
7、，如果（1）不成立。,根据这一定义，Logistic方程的平衡点N=K是稳定的且为渐近稳定的，而平衡点N=0则是不稳定的。,解析方法,证 由泰勒公式，当x与xo充分接近时，有：,由于xo是平衡点，故f(xo)=0。若 ，则当x0，从而x单增；当xxo时，又有f(x)0，从而x单减。无论在哪种情况下都有xxo，故xo是渐进稳定的。,的情况可类似加以讨论。,高阶微分方程与高阶微分方程组平衡点的稳定性讨论较为复杂，大家有兴趣可参阅微分方程定性理论。为了下两节的需要，我们简单介绍一下两阶微分方程组平衡点的稳定性判别方法。,考察两阶微分方程组：,（3.29）,令 ，作一坐标平移，不妨仍用x记x，则平衡点
8、xo的稳定性讨论转化为原点的稳定性讨论了。将f(x1,x2)、g(x1,x2)在原点展开，（3.29）又可写成:,其中：,令p=a+d, q=ad-bc=|A|，则 ，记 。,讨论特征值与零点稳定的关系, 如果只有一个特征向量 当p0时，零点不 稳定 当p0时，零点稳定,综上所述：仅当p0时， （3.30）零点才是渐近稳定的；当p=0且q0时（3.30）有周期解，零点是稳定的中心（非渐近稳定）；在其他情况下，零点均为不稳定的。,非线性方程组（3.29）平衡点稳定性讨论可以证明有下面定理成立:,定理2 若（3.30）的零点是渐近稳定的，则（3.29）的平衡点 也是渐近稳定的；若（3.30）的零点是不稳定的，则（3.29） 的平衡点也是不稳定的。,