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1、,机动 目录 上页 下页 返回 结束,高阶线性微分方程解的结构,第七节,二、线性齐次方程解的结构,三、线性非齐次方程解的结构,一、二阶线性微分方程举例,第十二章,n 阶线性微分方程的一般形式为,方程的共性,为二阶线性微分方程.,例1,例2, 可归结为同一形式:,时, 称为非齐次方程 ;,时, 称为齐次方程.,复习: 一阶线性方程,通解:,非齐次方程特解,齐次方程通解Y,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证毕,二、线性齐次方程解的结构,是二阶线性齐次方程,的两个解,也是该方程的解.,证:,代入方程左边, 得,(叠加原理),定理1.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,不一定是所给二阶方
2、程的通解.,例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解,并不是通解,但是,则,为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与,线性无关概念.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义:,是定义在区间 I 上的,n 个函数,使得,则称这 n个函数在 I 上线性相关,否则称为线性无关.,例如，,在( , )上都有,故它们在任何区间 I 上都线性相关;,又如，,若在某区间 I 上,则根据二次多项式至多只有两个零点 ,必需全为 0 ,可见,在任何区间 I 上都 线性无关.,若存在不全为 0 的常数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件:,线性相关,存
3、在不全为 0 的,使,线性无关,常数,思考:,中有一个恒为 0, 则,必线性,相关,(证明略),线性无关,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理 2.,是二阶线性齐次方程的两个线,性无关特解, 则,数) 是该方程的通解.,例如, 方程,有特解,且,常数,故方程的通解为,(自证),推论.,是 n 阶齐次方程,的 n 个线性无关解,则方程的通解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、线性非齐次方程解的结构,是二阶非齐次方程,的一个特解,Y (x) 是相应齐次方程的通解,定理 3.,则,是非齐次方程的通解 .,证: 将,代入方程左端, 得,复习 目录 上页 下页 返回 结束,是非齐次方程的解,
4、又Y 中含有,两个独立任意常数,例如, 方程,有特解,对应齐次方程,有通解,因此该方程的通解为,证毕,因而 也是通解 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理 4.,分别是方程,的特解,是方程,的特解. (非齐次方程之解的叠加原理),定理3, 定理4 均可推广到 n 阶线性非齐次方程.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理 5.,是对应齐次方程的 n 个线性,无关特解,给定 n 阶非齐次线性方程,是非齐次方程的特解,则非齐次方程,的通解为,齐次方程通解,非齐次方程特解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,常数, 则该方程的通解是 ( ).,设线性无关函数,都是二阶非齐次线,性方程,的解,是任意,例3.,提示:,都是对应齐次方程的解,二者线性无关 . (反证法可证),(89 考研 ),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.,已知微分方程,个解,求此方程满足初始条件,的特解 .,解:,是对应齐次方程的解,且,常数,因而线性无关,故原方程通解为,代入初始条件,故所求特解为,有三,机动 目录 上页 下页 返回 结束,