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1、层次分析法 建模方法及其应用,2012年7月4日,层次分析法建模方法及其应用,目录,一、数学建模核心思想 二、层次分析法的产生背景 三、层次分析法的基本步骤 四、层次分析法的应用实例 五、层次分析法的优缺点,层次分析法建模方法及其应用,一、数学建模核心思想 1、原型 原型的结构 数学的结构 （原型的专业模型） （数学模型） 例如：飞机模型 房屋模型 沙盘地形模型,抽象,层次分析法建模方法及其应用,一、数学建模核心思想 1、原型 原型的结构 数学的结构 （原型的专业模型） （数学模型） 例如：飞机模型 房屋模型 沙盘地形模型,抽象,2、数学模型（抽象模型） 即对于现实世界的一个特定对象，为了一个
2、特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。,层次分析法建模方法及其应用,一、数学建模核心思想 1、原型 原型的结构 数学的结构 （原型的专业模型） （数学模型） 例如：飞机模型 房屋模型 沙盘地形模型,抽象,2、数学模型（抽象模型） 即对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。,3、数学建模即用数学工具建立数学模型的过程。,层次分析法建模方法及其应用,二、层次分析法的产生背景 1、日常生活中决策问题的困扰 买衬衫：棉的、丝的、麻的、花的、白的、红的,层次分
3、析法建模方法及其应用,二、层次分析法的产生背景 1、日常生活中决策问题的困扰 买衬衫：棉的、丝的、麻的、花的、白的、红的 请吃饭：中餐、西餐、家宴、饭店,层次分析法建模方法及其应用,二、层次分析法的产生背景 1、日常生活中决策问题的困扰 买衬衫：棉的、丝的、麻的、花的、白的、红的 请吃饭：中餐、西餐、家宴、饭店 去旅游：苏杭、海南、云南、西藏、国外,层次分析法建模方法及其应用,二、层次分析法的产生背景 1、日常生活中决策问题的困扰 买衬衫：棉的、丝的、麻的、花的、白的、红的 请吃饭：中餐、西餐、家宴、饭店 去旅游：苏杭、海南、云南、西藏、国外 报考学校：重点、非重点、工科类、综合类,层次分析法
4、建模方法及其应用,二、层次分析法的产生背景 1、日常生活中决策问题的困扰 买衬衫：棉的、丝的、麻的、花的、白的、红的 请吃饭：中餐、西餐、家宴、饭店 去旅游：苏杭、海南、云南、西藏、国外 报考学校：重点、非重点、工科类、综合类 毕业去向：考研、找工作、考公务员、出国,层次分析法建模方法及其应用,二、层次分析法的产生背景 2、层次分析法的提出 人们在作比较、判断、评价、决策时，经济、社会、人文等因素的重要性、影响力或优先程度往往难以量化，人的主观选择会起着相当主要作用，这就给用一般的数学方法解决问题带来本质上的困难。,层次分析法建模方法及其应用,二、层次分析法的产生背景 2、层次分析法的提出 人
5、们在作比较、判断、评价、决策时，经济、社会、人文等因素的重要性、影响力或优先程度往往难以量化，人的主观选择会起着相当主要作用，这就给用一般的数学方法解决问题带来本质上的困难。 T.L. Saaty等人在七十年代提出一种能有效地处理这样一类问题的实用方法，称为层次分析法（Analytic Hierarchy Process.简称AHP），这是一种定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析方法。,层次分析法建模方法及其应用,三、层次分析法的基本步骤 1、建立层次结构模型,层次分析法建模方法及其应用,三、层次分析法的基本步骤 1、建立层次结构模型 最高层 目标层 中间层 准则层 最底层 方案层,目标层
6、,准则1,准则2,准则3,方案1,方案2,方案3,目标层,O(选择旅游地),准则层,方案层,例. 选择旅游地,如何在3个目的地中按照景色、费用、居住条件等因素选择.,层次分析法建模方法及其应用,层次分析法建模方法及其应用,三、层次分析法的基本步骤 2、构造成对比较矩阵（正互反矩阵） 两两相互比较，对比时采用相对尺度，以尽可能地减少性质不同的诸因素相互比较的困难，提高准确度。,层次分析法建模方法及其应用,三、层次分析法的基本步骤 2、构造成对比较矩阵（正互反矩阵） 两两相互比较，对比时采用相对尺度，以尽可能地减少性质不同的诸因素相互比较的困难，提高准确度。 （1）符号说明 表示层次结构中某一层中
7、第 个因素 表示 ， 对上一层某因素的影响之比,层次分析法建模方法及其应用,三、层次分析法的基本步骤 （2）用19比较尺度法确定 的取值 尺度 含义 1 与 的影响相同 3 比 的影响稍强 5 比 的影响强 7 比 的影响明显强 9 比 的影响绝对地强 2、4、6、8 与 的影响之比在上述相邻等级之间 19的倒数 与 的影响之比与上述相反（“强”改为“弱”）,层次分析法建模方法及其应用,三、层次分析法的基本步骤 （3）正互反矩阵 其中,A是正互反阵,要由A确定C1, , Cn对O的权向量,选择旅游地,层次分析法建模方法及其应用,层次分析法建模方法及其应用,补充： 若正互反矩阵 满足 则 称为一
8、致性矩阵，简称一致阵。,层次分析法建模方法及其应用,补充： 若正互反矩阵 满足 则 称为一致性矩阵，简称一致阵。 设 阶正互反矩阵 的特征根为 ， （1）当 时， 为一致阵。因素 对上层因素的权重即权向量用 的对应于特征根 的、归一化的特征向量表示。,层次分析法建模方法及其应用,补充： 若正互反矩阵 满足 则 称为一致性矩阵，简称一致阵。 设 阶正互反矩阵 的特征根为 ， （1）当 时， 为一致阵。因素 对上层因素的权重即权向量用 的对应于特征根 的、归一化的特征向量表示。 （2）当 时， 不一致。（可在一定范围内允许使用），权向量用 的最大特征根的归一化的特征向量表示。,层次分析法建模方法及
9、其应用,补充： 若正互反矩阵 满足 则 称为一致性矩阵，简称一致阵。 设 阶正互反矩阵 的特征根为 ， （1）当 时， 为一致阵。因素 对上层因素的权重即权向量用 的对应于特征根 的、归一化的特征向量表示。 （2）当 时， 不一致。（可在一定范围内允许使用），权向量用 的最大特征根的归一化的特征向量表示。 注意：必须对不一致的正互反矩阵进行一致性检验，以保证其在一定范围内可以使用。,层次分析法建模方法及其应用,三、层次分析法的基本步骤 3、计算权向量并做一致性检验（相邻层次间） （1）计算权向量 可以通过“幂法、和法、根法、特征根法、对数最小二乘法、最小二乘法” 求矩阵的特征根和特征向量。,层
10、次分析法建模方法及其应用,三、层次分析法的基本步骤 3、计算权向量并做一致性检验（相邻层次间） （1）计算权向量 可以通过“幂法、和法、根法、特征根法、对数最小二乘法、最小二乘法” 求矩阵的特征根和特征向量。 现介绍最简便的“和法”，即取列向量的算术平均： 将 的每一列向量归一化得 对 按行求和得 将 归一化 即为近似特征向量 计算 ，作为最大特征根的近似值。,层次分析法建模方法及其应用,举例说明：,层次分析法建模方法及其应用,举例说明：,列向量 归一化,层次分析法建模方法及其应用,举例说明：,列向量 归一化,按行 求和,层次分析法建模方法及其应用,举例说明：,列向量 归一化,按行 求和,归一
11、化,层次分析法建模方法及其应用,举例说明：,列向量 归一化,按行 求和,归一化,层次分析法建模方法及其应用,举例说明：,列向量 归一化,按行 求和,归一化,注：精确计算可得,层次分析法建模方法及其应用,三、层次分析法的基本步骤 （2）一致性检验 一致性指标,层次分析法建模方法及其应用,三、层次分析法的基本步骤 （2）一致性检验 一致性指标 随机一致性指标 ，即 的平均值。,层次分析法建模方法及其应用,三、层次分析法的基本步骤 （2）一致性检验 一致性指标 随机一致性指标 ，即 的平均值。 构造一致性比率,层次分析法建模方法及其应用,三、层次分析法的基本步骤 （2）一致性检验 一致性指标 随机一
12、致性指标 ，即 的平均值。 构造一致性比率 若 ，则 的不一致程度在容许范围内。 若 ，则误差较大，需要调整 。,“选择旅游地”中准则层对目标的权向量及一致性检验,准则层对目标的成对比较阵,最大特征根=5.073,权向量(特征向量)w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T,一致性指标,随机一致性指标 RI=1.12 (查表),一致性比率CR=0.018/1.12=0.0160.1,通过一致性检验,层次分析法建模方法及其应用,层次分析法建模方法及其应用,三、层次分析法的基本步骤 4、计算组合权向量并做组合一致性检验 最底层各方案对目标层的权向量称为组合权向量。需要自
13、上而下地将各层次间的权重进行合成，并逐层进行组合一致性检验。,层次分析法建模方法及其应用,三、层次分析法的基本步骤 4、计算组合权向量并做组合一致性检验 最底层各方案对目标层的权向量称为组合权向量。需要自上而下地将各层次间的权重进行合成，并逐层进行组合一致性检验。 不妨设层次结构有三层，第一层目标层有一个因素，第二层准则层有n个元素，第三层方案层有m个元素。,层次分析法建模方法及其应用,三、层次分析法的基本步骤 4、计算组合权向量并做组合一致性检验 最底层各方案对目标层的权向量称为组合权向量。需要自上而下地将各层次间的权重进行合成，并逐层进行组合一致性检验。 不妨设层次结构有三层，第一层目标层
14、有一个因素，第二层准则层有n个元素，第三层方案层有m个元素。 第二层对第一层的权重为,层次分析法建模方法及其应用,三、层次分析法的基本步骤 4、计算组合权向量并做组合一致性检验 最底层各方案对目标层的权向量称为组合权向量。需要自上而下地将各层次间的权重进行合成，并逐层进行组合一致性检验。 不妨设层次结构有三层，第一层目标层有一个因素，第二层准则层有n个元素，第三层方案层有m个元素。 第二层对第一层的权重为 第三层对第二层各准则的权重为 可构成矩阵,层次分析法建模方法及其应用,三、层次分析法的基本步骤 （1）计算组合权向量 由上述权向量可计算第三层对第一层的组合权向量为 即 矩阵与 矩阵的乘积可
15、得 矩阵（ 维列向量）,组合权向量,记第2层（准则）对第1层（目标）的权向量为,同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量,方案层对C1(景色),方案层对C2(费用),层次分析法建模方法及其应用,方案层对C3(居住),方案层对C4(饮食),方案层对C5(旅途),组合权向量,RI=0.58 (n=3), CIk 均可通过一致性检验,w(2) 0.2630.4750.0550.0900.110,方案P1对目标的组合权重为0.5950.263+ =0.300,方案层对目标的组合权向量为 (0.300, 0.246, 0.456)T,层次分析法建模方法及其应用,层次分析法建模方法及其应用,三
16、、层次分析法的基本步骤 （2）进行组合一致性检验（逐层进行） 若第三层对于第二层的一致性指标为 随机一致性指标为 第二层对第一层的一致性比率为 则第三层对第一层的组合一致性比率为 若 ，则认为整个层次的比较判断通过一致性检验。,层次分析法的基本步骤小结,1）建立层次分析结构模型,深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标准则或指标方案或对象），上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。,2）构造成对比较阵,用成对比较法和19尺度，构造各层对上一层每一因素的成对比较阵。,3）计算权向量并作一致性检验,对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性检验，若通过，则特征向量为权向量。,4）
17、计算组合权向量（作组合一致性检验*）,组合权向量可作为决策的定量依据。,层次分析法建模方法及其应用,四、层次分析法的应用实例 应用领域：经济计划和管理、能源政策和分配、人才选拔和评价、生产决策、交通运输、科研选题、产业结构、教育、医疗、环境、军事等。 处理问题类型：决策、评价、分析、预测等。 建立层次分析模型是关键一步，要有主要决策层参与。 构造成对比较矩阵是数量依据，应有经验丰富、判断力强的专家给出。,例1 国家实力分析,例2 工作选择,例3 横渡江河、海峡方案的抉择,例3 横渡江河、海峡方案的抉择,例4 科技成果的综合评价,层次分析法建模方法及其应用,五、层次分析法的优缺点 1、优点 （1
18、）系统性：层次分析把研究对象作为一个系统，按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策，成为继机理分析（用经典的数学工具分析现象的因果关系）、统计分析（以随机数学为工具，通过大量观测数据寻求统计规律）之后发展起来的系统分析的重要工具。,层次分析法建模方法及其应用,五、层次分析法的优缺点 1、优点 （1）系统性：层次分析把研究对象作为一个系统，按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策，成为继机理分析（用经典的数学工具分析现象的因果关系）、统计分析（以随机数学为工具，通过大量观测数据寻求统计规律）之后发展起来的系统分析的重要工具。 （2）实用性：层次分析把定性和定量方法结合起来，能处理许多用传统的
19、最优化技术无法着手的实际问题，且使决策者与决策分析者相互沟通，增加了决策的有效性。,层次分析法建模方法及其应用,五、层次分析法的优缺点 1、优点 （1）系统性：层次分析把研究对象作为一个系统，按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策，成为继机理分析（用经典的数学工具分析现象的因果关系）、统计分析（以随机数学为工具，通过大量观测数据寻求统计规律）之后发展起来的系统分析的重要工具。 （2）实用性：层次分析把定性和定量方法结合起来，能处理许多用传统的最优化技术无法着手的实际问题，且使决策者与决策分析者相互沟通，增加了决策的有效性。 （3）简洁性：层次分析的基本原理和基本步骤比较容易掌握，计算简便，
20、结果明确，容易为决策者了解和使用。,层次分析法建模方法及其应用,五、层次分析法的优缺点 2、缺点 层次分析法具有一定的局限性： （1）只能从原有方案中选优，不能生成新方案。,层次分析法建模方法及其应用,五、层次分析法的优缺点 2、缺点 层次分析法具有一定的局限性： （1）只能从原有方案中选优，不能生成新方案。 （2）比较、判断直到结果都比较粗糙，不适于精度要求很高的问题。,层次分析法建模方法及其应用,五、层次分析法的优缺点 2、缺点 层次分析法具有一定的局限性： （1）只能从原有方案中选优，不能生成新方案。 （2）比较、判断直到结果都比较粗糙，不适于精度要求很高的问题。 （3）从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵，人的主观因素的作用很大，有时候得到的决策结果可能难以为众人接受。不过可以通过专家群体判断的方法来克服。,