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1、20172017 届高三年级第二次高考模拟试卷 理数（试题卷） 注意事项： 1.本卷为衡阳八中高三年级实验班第二次高考模拟试卷，分两卷。其中共 22 题，满分 150分， 考试时间为 120分钟。 2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向 监考老师通报。开考 15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。 3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用 2B 铅笔填涂，非选择题部分 请用黑色 0.5mm 签字笔书写。考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。 预祝考生考试顺利 第 I 卷 选择题（每题 5 分，共 60分） 本卷共 12题，每题 5 分，共
2、60 分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。 1.已知集合 A=x|x22x30，集合 B=x|2x+11，则BA=（ ） A3，+） B（3，+） C.（ ，13，+）D.（ ，1）（3，+） 2.已知 i 是虚数单位，则复数 在复平面内对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3.“中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题： 三百七十八里关，初行健步不为难， ”次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还 其大意为：“有一 个人走了 378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6”天后到达目的地 问此人
3、第 4 天和第 5 天共走了（ ） A60里 B48里 C36里 D24里 4.设实数 x，y 满足约束条件 ，则当 z=ax+by（a0，b0）取得最小值 2 时， 则 的最小值是（ ） A B C D2 5.已知非零常数 是函数 y=x+tanx的一个零点，则（2+1）（1+cos2）的值为（ ） 1 A2 B C D 6.己知函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，f（x+1）为奇函数，f（0）=0，当 x（0，1时， f（x）=log2x，则在区间（8，9）内满足方 f（x）程 f（x）+2=f（ ）的实数 x 为 （ ） A B C D 7.已知 A、B、C 是圆 O 上的三个点，C
4、O 的延长线与线段 BA的延长线交于圆外一点若 ，其中 m，nR则 m+n的取值范围是（ ） A.（0，1） B.（1，0）C（1，+）D（ ，1） 8.已知函数 f（x）= ，若存在实数 x1，x2，x3，x4满足 f（x1）=f （x2）=f（x3）=f（x4），其中 x1x2x3x4，则 x1x2x3x4取值范围是（ ） A（60，96）B（45，72）C（30，48） D（15，24） 9.利用如图算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆 x2+y2=25 内的个数为 （ ） A2 B3 C4 D5 10.祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积
5、计算的原 理：“”幂势既同，则积不容异 意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒 等，那么这两个几何体的体积相等此即祖暅原理利用这个原理求球的体积时，需要构造一 个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为 h（0h2）的平面截该几何体，则截面面积为（ ） 2 A4 Bh2 C（2h）2 D（4h2） 11.已知 f（x）是定义域为（0，+）的单调函数，若对任意的 x（0，+），都有 ，且方程|f（x）3|=x36x2+9x4+a 在区间（0，3上有两解，则实数 a 的取值范围是（ ） A0a5 Ba5 C0a5 Da5 12.已知 F1、F2
6、分别是双曲线 =1（a0，b0）的左、右焦点，过点 F2与双曲线的一 条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点 M，若点 M 在以线段 F1F2为直径的圆外，则双 曲线离心率的取值范围是（ ） A（1， ）B（ ，+） C（ ，2）D（2，+） 第 II 卷 非选择题（共 90 分） 二.填空题（每题 5 分，共 20 分） 13.已知数列an是无穷等比数列，它的前 n 项的和为 Sn，该数列的首项是二项式 展 开式中的 x 的系数，公比是复数 的模，其中 i 是虚数单位，则 = 14.已知三棱锥 ABCD 中，AB面 BCD，BCD为边长为 2 的正三角形，AB=2，则三棱锥的外 接球体积
7、为 15.ABC的三个内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，则： 若 cosBcosCsinBsinC，则ABC一定是钝角三角形； 若 acosA=bcosB，则ABC 为等腰三角形； ， ，若 ，则ABC 为锐角三角形； 若 O 为ABC 的外心， ； 3 若 sin2A+sin2B=sin2C， ， 以上叙述正确的序号是 16.“”我国古代数学家祖暅提出原理： 幂势既同，则积不容异 .“”“”其中 幂 是截面积， 势 是几何体的高.原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行 平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等.如图所示，
8、1 x , x 1,0 2 f x cos x, x 0, 在空间直角坐标系 xOy 平面内，若函数 的图象与 轴围成一个封 x 2 闭的区域 A，将区域 A 沿 z 轴的正方向平移 4 个单位，得到几何体如图一，现有一个与之等高 的圆柱如图二，其底面积与区域 A 的面积相等，则此圆柱的体积为 三.解答题（共 8 题，共 70 分） 17.（本题满分 12 分） 已知数列an满足 a1=1，Sn=2an+1，其中 Sn为an的前 n 项和（nN*） （ ）求 S1，S2及数列Sn的通项公式； （ ）若数列bn满足 ，且bn的前 n 项和为 Tn，求 证： 当 n2 时， 4 18.（本题满分
9、12 分） 根据国家环保部新修订的环境空气质量标准规定：居民区 PM2.5 的年平均浓度不 得超过 35 微克/立方米，PM2.5 的 24 小时平均浓度不得超过 75微克/立方米我市环保局随机抽取了一 居民区 2016年 20 天 PM2.5的 24小时平均浓度（单位：微克/立方米）的监测数据，数据统计 如表： 组别 PM2.5浓度（微克/ 频数 频率 立方米） （天） 第一组 （0，25 3 0.15 第二组 （25，50 12 0.6 第三组 （50，75 3 0.15 第四组 （75，100 2 0.1 （1）将这 20 天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图 求频
10、率分布直方图中 a 的值； 求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从 PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的 环境质量是否需要改善？并说明理由 （2）将频率视为概率，对于 2016 年的某 3 天，记这 3 天中该居民区 PM2.5 的 24 小时平均浓 度符合环境空气质量标准的天数为 X，求 X 的分布列 5 19.（本题满分 12 分） 如图，四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，ABCD，BCCD，平面 SCD平面 ABCD， SC=SD=CD=AD=2AB，M，N 分别为 SA，SB 的中点，E 为 CD 中点，过 M，N 作平面 MNPQ 分别与 BC，AD 交于
11、点 P，Q，若 =t （1）当 t= 时，求证：平面 SAE平面 MNPQ； （2）是否存在实数 t，使得二面角 MPQA 的平面角的余弦值为 ？若存在，求出实数 t 的值；若不存在，说明理由 20.（本题满分 12 分） 已知 A，B 分别为椭圆 C： + =1（ab0）在 x 轴正半轴，y 轴正半轴上的顶点，原点 O 6 到直线 AB的距离为 ，且|AB|= （1）求椭圆 C 的离心率； （2）直线 l：y=kx+m（1k2）与圆 x2+y2=2 相切，并与椭圆 C 交于 M，N 两点，求|MN|的 取值范围 21.（本题满分 12 分） 已知函数 f（x）=lnx，g（x）= （x 为实
12、常数） （1）当 a=1 时，求函数 （x）=f（x）g（x）在 x4，+）上的最小值； （2）若方程 e2f（x）=g（x）（其中 e=2.71828）在区间 上有解，求实数 a 的取值范 围 选做题（本题满分 10分） 22. 选修 4-44-4 坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已 知直线 l 的参数方程为 ，（t 为参数，0），曲线 C 的极坐标方程为 sin22cos=0 （1）求曲线 C 的直角坐标方程； （2）设直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，当 变化时，求|AB|的最小值 7 23. 选修 4-5
13、4-5 不等式选讲 设函数 f(x)|xa|3x，其中 a0. ()当 a2 时，求不等式 f(x)3x2 的解集； ()若不等式 f(x)0 的解集为x|x1，求 a 的值 8 衡阳八中 2017届高三年级第二次高考模拟参考答案理科数学 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C C D A D B B C D A D 13.70 14. 15. 16.+4 17. （ ）数列an满足 Sn=2an+1，则 Sn=2an+1=2（Sn+1Sn），即 3Sn=2Sn+1， ， 即数列Sn为以 1 为首项，以 为公比的等比数列， （nN*） S1= ，S2= ； （
14、 ）在数列bn中， ， Tn 为bn的前 n 项和， 则|Tn|= |= 而当 n2 时， ， 9 即 18. （1）由第四组的频率为 1（0.006+0.024+0.006）25=0.1， 得 25a=0.1， 解得 a=0.004； 去年该居民区 PM2.5年平均浓度为： 12.50.15+37.50.6+62.50.15+87.50.1=42.5（微克/立方米）； 因为 42.535， 所以去年该居民区 PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准， 故该居民区的环境需要改进； （2）由题意可得： PM2.5 的 24 小时平均浓度符合环境空气质量标准的概率为 0.9， X 的可能取值为
15、0，1，2，3； P（X=k）= （10.9）3k0.9k， 可得 P（X=0）=0 .001，P（X=1）=0.027， P（X=2）=0.243，P（X=3）=0.729； X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 0.001 0.027 0.243 0.729 19. （1）E 为 CD中点，四边形 ABCE 为矩形， AECD， 当 t= 时，Q 为 AD 中点，PQCD，所以 PQAE， 平面 SCD平面 ABCD，SECD，SE面 ABCD， PQ 面 ABCD，PQSE，PQ 面 SAE， 所以面 MNPQ面 SAE （2）如图，以 E 为原点，ED，EA，ES直线分别为 x 轴
16、，y 轴，z 轴建立如图所示坐标系； 10 设 ED=a，则 M（1t）a，（ ）a， a），E（0，0，0），A（0， ，0）， Q（1t）a， ，0）， =（0， ， ）， 面 ABCD一个方向向量为 =（1，0，0）， 设平面 MPQ的法向量 =（x，y，z）， 则 ，取 z=2，得 =（0， ，2）， 平面 ABCD的法向量为 =（0，0，1） 二面角 MPQA 的平面角的余弦值为 ， 由题意：cos= = = ， 解得 t= 或 t= ， 由图形知，当 t= 时，二面角 MPQA 为钝二面角，不合题意，舍去 综上：t= 20. （1）由丨 AB 丨= = ， = ， 解得：a=2，b
17、= ，c=1 则椭圆离心率 e= = ； 11 （2）由（1）可知：椭圆的标准方程： ，设 A（x1，y1），B（x2，y2）， 则 ，整理得：（3k2+4）x2+6kmx+3m212=0， x1+x2= ，x1x2= ， 由直线 l 与圆 x2+y2=2 相切，则 = ，则 m2=2（k2+1）， 则丨 MN丨= = ， = ， 令 3k2+4=t，t4，16，则丨 MN丨= = ， 由 ， f（ ）= ，在 ， 单调递增， 则 丨 MN丨 ， |MN|的取值范围 ， 21. （1）当 a=1 时，函数 （x）=f（x）g（x）=lnx + ， （x）= = ； x4，+），（x）0 函数
18、（x）=f（x）g（x）在 x4，+）上单调递增 x=4 时，（x）min=2ln2 ； （2）方程 e2f（x）=g（x）可化为 x2= ，a= x3， 设 y= x3，则 y= 3x2， 12 x 函数在 上单调递增，在 ，1上单调递减 x= 时，y= ；x= 时，y= ；x=1 时，y= ， y a 22.（1）由 sin22cos=0，得 2sin2=2cos 曲线 C 的直角坐标方程为 y2=2x； （2）将直线 l 的参数方程代入 y2=2x，得 t2sin22tcos1=0 设 A，B 两点对应的参数分别为 t1，t2， 则 ， ， = = 当 时，|AB|的最小值为 2 23.()当 a2 时，f(x)3x2 可化为|x2|2， 由此可得 x4 或 x0. ()由 f(x)0 得|xa|3x0， 13