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1、甘肃省兰州市第一中学 20192019 届高三数学 5 5 月月考试题 文 一、选择题：本题共 1212小题，每小题 5 5 分，共 6060分. .在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1已知集合 A x | x 1 0, B 1, 0, 1 ，则 A B A.1 B.1 C. 0, 1 D. 1, 0 2若复数 ，其中 为虚数单位，则下列结论正确的是 A. 的虚部为 B. C. 的共轭复数为 D. 为纯虚数 3已知 m，n 为两条不重合直线， 为两个不重合平面，下列条件中，一定能推出 / / 的是 A.m / /n, m , n B. m / /n, m , n C. m
2、 n, m / /, n / / D. m n, m , n 4空气质量指数 AQI 是反映空气状况的指数, AQI 指数值越小, 表明空气质量越好, 其对应 关系如下表： AQI指数 0-50 51-100 101-150 151-200 201-300 300 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 下图是某市 10月 1 日 - 20 日 AQI指数变化趋势，下列叙述错误的是 A.这 20 天中 AQI指数值的中位数略高于 100 B.这 20 天中的中度污染及以上的天数占 1/4 C.该市 10 月的前半个月的空气质量越来越好 D.总体来说,该市 10月上旬的空气质量
3、比中旬的空气质量好 - 1 - 5已知向量 a , b 满足| a | 2, | b | 2 ，且 a (a 2b) , 则 b 在 a 方向上的投影为 A1 B 2 C 2 D 1 6若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是 A.48+ B.48- C.48+2 D.48-2 7十九世纪末，法国学者贝特朗在研究几何概型时提出了“贝特朗悖论”，即“在一个圆内 任意选一条弦，这条弦的弦长长于这个圆的内接等边三角形边长的概率是多少？” 贝特 “朗用 随机半径”、 “随机端点”、 “”随机中点 三个合理的求解方法，但结果都不相同. 该悖论的矛头直击概率概念本身，强烈地刺激了概率论基础的严
4、格化. “”已知 随机端点 的方法如下：设 A 为圆 O 上一个定点，在圆周上随机取一点 B，连接 AB，所得弦长 AB 大 于圆 O 的内接等边三角形边长的概率. “”则由 随机端点 求法所求得的概率为 1 1 1 A. B. C. D. 4 3 2 3 2 2 8已知 tan 3，则 cos(2 ) 3 3 4 A B C D 5 5 5 4 5 9函数 的大致图象为 A. B. - 2 - C. D. x y 2 2 10已知双曲线 a b 的左右两个焦点分别为 1, 2 , , 为其左、右两个 2 2 1( 0, 0) F F A B a b 顶点，以线段 为直径的圆与双曲线的渐近线在
5、第一象限的交点为 M，且 ， F F AMB 30 1 2 则该双曲线的离心率为 A. 21 2 B. 13 C. 2 3D. 19 2 11已知 ABC 的边 AB，AC的长分别为 2，3， BAC 120，则 ABC 的角平分线 AD 的长为 3 A. 3 5 B. 3 5 C. 6 5 3D. 6 5 12 设 函 数 f x是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 ， 且 f x 2 f 2 x ， 当 x2,0时 ， f x x 2 1，则在区间2, 6 内关于 x 的方程 f x log x 2 0 解得个数为 8 2 A1 B2 C3 D4 二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题
6、 5 5 分，共 2020分。 2 13计算： . lg 25 2lg 2 8 3 14在曲线 y x3 3x2 6x 10 的所有切线中，斜率最小的切线方程是_. y x, 15若实数 x, y 满足 则 的最小值为 . x y 6, z x 5y y 3x 2, 16已知点 F 是抛物线 C : y2 4x 的焦点，点 M 为抛物线 C 上任意一点，过点 M 向圆 2 2 1 (x 1) y A B AFBM 作 切 线 ， 切 点 分 别 为 ， ， 则 四 边 形 面 积 的 最 小 值 2 为 三、解答题：共 7070分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17211721题
7、为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 2222、2323题为选考题，考生根据要求作答。 （一） 必考题：共 6060分。 - 3 - 17（本小题满分 12 分） 已知正项等比数列 a 的前 n 项和为 S , a 2, S 14. n n 1 3 （1）求数列 a 的通项公式； n b （2）设 n1 n ，求数列 的前 2019项和. b 2 log a 1, c ( 1) c n 2 n n n log a log a 2 n 2 n1 18（本小题满分 12 分） 如 图 ， 在 四 边 形 ABED 中 ， ABDE ， AB BE ， 点 C 在 AB 上 ， 且 AB CD ，
8、 AC BC CD ，现将 ACD 沿 CD 折起，使点 A 到达点 P 的位置，且 PE 2 2 2 （1）求证：平面 PBC 平面 DEBC ； （2）求三棱锥 P EBC 的体积 19（本小题满分 12 分） 据人民网报道，“美国国家航空航天局( NASA )发文称，相比 20年前世界变得更绿 色了，卫星资料显示中国和印度的行动主导了地球变绿”据统计，中国新增绿化面积的 42% 来自于植树造林，下表是中国十个地区在 2017 年植树造林的相关数据（造林总面积为人工 造林、飞播造林、新封山育林、退化林修复、人工更新的面积之和） 单位：公顷 造林方式 地区 造林总面积 人工造林 飞播造林 新
9、封山育林 退化林修复 人工更新 内蒙 618484 311052 74094 136006 90382 6950 河北 583361 345625 33333 135107 65653 3643 河南 149002 97647 13429 22417 15376 133 - 4 - 重庆 226333 100600 62400 63333 陕西 297642 184108 33602 63865 16067 甘肃 325580 260144 57438 7998 新疆 263903 118105 6264 126647 10796 2091 青海 178414 16051 159734 262
10、9 宁夏 91531 58960 22938 8298 1335 北京 19064 10012 4000 3999 1053 （1）请根据上述数据，分别写出在这十个地区中人工造林面积与造林总面积的比值最大 和最小的地区（只要求写出结果即可）. （2）在这十个地区中，任选一个地区，求该地区人工造林面积与造林总面积的比值不足 50% 的概率是多少？ （3）从上表新封山育林面积超过十万公顷的地区中，任选两个地区，求至少有一个地区 退化林修复面积超过五万公顷的概率 20（本小题满分 12 分） x y 2 2 5 椭圆 的离心率是 ，过点 P（0, 1）作斜率为 的直线 ， E : 1 (a b 0)
11、 k l a b 3 2 2 椭圆 E 与直线l 交于 A, B 两点，当直线l 垂直于 y 轴时| AB | 3 3 （1）求椭圆 E 的方程； 5 （2）若点 M 的坐标为 ( , 0) ， AMB 是以 AB 为底边的等腰三角形，求 k 值 12 - 5 - 21（本小题满分 12 分） 已知函数 f (x) (x 2)ex , x(0, ) . （1）求函数 f (x) 的单调区间； （2）若关于 x 的方程 f (x) 2ex ax2 x 在区间 (0, ) 内无零点，求实数 a 的取值范 围. （二）选考题：共 1010分。请考生在第 2222、2323题中任选一题作答，并用 2B
12、2B铅笔在答题卡上将 所选题目对应的题号方框涂黑。按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多 答按所答的第一题评分。 22选修 4-4：坐标系与参数方程（10分） x 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为 1 y 2cos 2sin （ 为参数），已知点Q4,0 ， 点 P 是曲线 C 上任意一点，点 M 为 PQ 的中点，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立 1 极坐标系 （1）求点 M 的轨迹C 的极坐标方程； 2 （2）已知直线l : y kx 与曲线C 交于 A ， B 两点，若OA 3AB ，求 k 的值 2 23选修 4-5：不等式选讲（10分） 已知
13、函数 f x x m x 2m 的最大值为 3，其中 m 0. （1）求 m 的值； - 6 - a b 3 3 （2）若 a,bR ， ab 0 ， a2 b2 m2 ，求证： . 1 b a - 7 - 兰州一中 20192019 届高三五月月考试卷 数学（文） 参考答案及评分标准 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D B C D A B A A B D C 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13. 6 14. 3x y 11 0 15. 12 16. 1 2 三、解
14、答题：共 70 分 17. 解：（1）设数列 a 的公比为 q . n 若 q 1，则 S3 3a1 6 14 ，与题意不符. 2(1 q ) 3 若 q 1，则 S 14 ，化简得 q2 q 6 0, 解得 q 2 或 q 3 (舍) 3 1 q a 2 2n 2n 1 n . 6 分 （2）由(1)及已知得b 2 log 2n 1 2n 1， n 2 1 2 1 1 1 1 n c (1) (1) ( ) n n ， n n(n 1) n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 T ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n 1 2 2 3 3 4 4 5 2018
15、 2019 2019 2020 1 2021 1 2020 2020 . 12 分 18.（1）证明： AB BE ， AB CD ， BECD ， AC CD ， PC CD ， PC BE ， 又 BC BE ， PC BC C ， EB 平面 PBC ， 又 EB 平 面 DEBC ， 平 面 PBC 平 面 DEBC . 6 分 （2）解法 1： ABDE ，结合CDEB 得 BE CD 2 ， 由（1）知 EB 平面 PBC ， EB PB ，由 PE 2 2 得 PB PE2 EB2 2 ， - 8 - 3 PBC 为等边三角形， S 22 3 ， PBC 4 1 1 2 3 V
16、V S EB 3 2 . P EBC E PBC PBC 3 3 3 12 分 解法 2： ABDE ，结合CDEB 得 BE CD 2 ， 由（1）知 EB 平面 PBC ， EB PB ， 由 PE 2 2 ，得 PB PE2 EB2 2 ， PBC 为等边三角形， 取 BC 的中点O ，连结OP ，则 PO 3 ， PO BC ， PO 平面 EBCD ， 1 1 1 22 3 2 3 V S PO P EBC EBC 3 3 2 3 12 分 19解：（1）人工造林面积与造林总面积比最大的地区为甘肃省，人工造林面积占造林总面 积 比 最 小 的 地 区 为 青 海 省 2 分 （2）设
17、在这十个地区中，任选一个地区，该地区人工造林面积占总面积的比值不足50% 为事件 A ，在十个地区中，有 3 个地区（重庆、新疆、青海）人工造林面积占总面积比不足 3 ，则 P A 10 50% 6分 （3）设至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷为事件 B ，新封山育林面积超过十 万公顷有 4 个地区：内蒙、河北、新疆、青海，分别设为 a ， a ， a ， a ， 1 2 3 4 其中退化林修复面积超过五万公顷有 2 个地区：内蒙、河北，即 ， ， a a 1 2 从 4 个地区中任取2 个地区共有6 种情况，a a ，a a ，a a ，a a ， ， 1, 2 1, 3 1, 4 2
18、 , 3 a2 ,a4 a a 3 , 4 ，其中至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷共有 5 种情况， 1, 2 ， a a a a a a a a 1, 4 a2 ,a4 1, 3 ， ， 2 , 3 ， ， 则 - 9 - P B 5 6 12 分 3 3 20解：（1）由已知椭圆过点 ，可得 ,1 2 27 1 1, 2 2 4a b 2 2 2 a b c , c 5 . a 3 解 得 a2 9,b2 4 , 所 以 椭 圆 的 E 方 程 为 x y 2 2 1 . 5 分 9 4 （2）设 ， 的中点 A(x , y ), B(x , y ) AB C(x , y ) 1
19、1 2 2 0 0 y kx 1 由 2 2 消去 得 ，显然 . y (4 9k2 )x2 18kx 27 0 0 x y 1 9 4 所 以 x x 9k 4 x y kx 1 2 , 1 0 2 0 0 2 2 4 9k 4 9k . 7 分 1 9k 4 y (x ) 当 k 0时，设过点C 且与l 垂直的直线方程 , k 4 9k 2 4 9k 2 5 ( , 0) 将 代 入 得 12 1 5 9k 4 0 ( ) , 9 分 k 12 4 9k 4 9k 2 2 化 简 得 9k 2 12k 4 0， 解 得 k 2 3 . 11 分 当 k 0 时，与题意不符. 综 上 所 述
20、 ， 所 求 k 的 值 为 2 3 . 12 分 21解：（1）依题意， f (x) ex (x 2)ex (x 1)ex . 令 f (x) 0 ， 解 得 x 1， 故 函 数 f (x) 的 单 调 增 区 间 是 (1, ) ， 单 调 减 区 间 是 (0, 1) . 4分 - 10 - （2）原方程可化为 x(ex ax 1) 0 ，即 ex ax 1 0 . 令 g(x) ex ax 1, x 0 ，则 g(x) ex a . 由 g(x) 0 得 ex a 6 分 （i）当 a 1 时， x 0, ex 1, 不等式恒成立. g(x) 在 (0, ) 上 是 增 函 数 ，
21、g(x) g(0) 0 ， 故 原 方 程 在 (0, ) 内 无 零 点. 8 分 （ii）当 a 1 时，不等式为 ex eln a x ln a . 故 f (x) 在区间 (0, ln a) 上单调递减，在区间 (ln a, ) 上单调递增. 又 g(0) 0 ， g(x) 在 区 间 (0, ln a) 上 恒 小 于 0. 9 分 下面讨论 g(a) ea a2 1 的正负： 令(a) ea a2 1, a 1. 则(a) ea 2a ， 令(a) 是(a) 的导函数， 则(a) ea 2 0, (a) 在 (1, ) 上增函数. (a) (1) e 11 0 . (0, ) 由零
22、点存在性定理知，原方程在 上没有零点. 综上所述，所求实数 a 的取值范围是 (, 1 . 12 分 22. 解：（1）设 P2cos, 2sin ， M x, y且点Q4,0 ，由点 M 为 PQ 的中点， - 11 - 所以 2 cos 4 x 2 cos 2 2sin y sin 2 ，整理得 2 2 x 2 y 1即 x2 y2 4x 3 0 ， 化为极坐标方程为 2 4cos 3 0 5 分 （2）设直线l : y kx 的极坐标方程为 设 A ， 1, B 2 , ， 因为OA 3AB ，所以 4OA 3OB ，即 4 3 1 2 联立 2 4 cos 3 0 ，整理得 2 4co
23、s 3 0 则 4 cos 1 2 3 1 2 4 3 1 2 ，解得 7 cos 8 1 15 所 以 k2 tan2 1 ， 则 cos 49 2 15 k 10分 7 3m, x m 23. 解：（1） m 0， . f x x m x 2m 2x m, 2m x m 3m, x 2m 当 x 2m时 ， f x取 得 最 大 值 3m . m 1. 5 分 2 3 3 4 4 2 1 a b a b 2 2 2 2 a b a b （2）由（），得 a2 b2 1， 2ab . b a ab ab ab a2 b2 1 2ab ，当且仅当 a b 时等号成立， 0 1 . ab 2 1 h t 2t t 令 ， . 0 1 t 2 则 ht在 0, 1 上单调递减. h t h . 1 1 2 2 1 2ab 1 1 当 时 ， . 0 ab 2 ab a b 3 3 . 10 分 1 b a - 12 - - 13 -