《福建省宁德市部分一级达标中学2018_2019学年高二数学下学期期中试题文201905130328.wps》由会员分享，可在线阅读，更多相关《福建省宁德市部分一级达标中学2018_2019学年高二数学下学期期中试题文201905130328.wps（18页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2018201820192019 学年宁德市部分一级达标中学第二学期期中联合考试 高二数学试题( (文科) ) ( (满分:150:150 分; ; 时间:120:120分钟) ) 注意事项：1.1.答卷前，考生务必将班级、姓名、座号填写清楚. . 2.2.每小题选出答案后，填入答案卷中. . 3.3.考试结束，考生只将答案卷交回，试卷自己保留. . 第 I I 卷（选择题共 6060分） 一、选择题：本小题共 1212小题，每小题 5 5 分，共 6060分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1在极坐标系中，点 2, 与 2, 的位置关系是 6 6 A关于极轴所在直线对称
2、B关于极点对称 C重合 D关于直线 ( R)对称 2 2欧拉公式 ei cosisin （ e 为自然对数的底数，i 为虚数单位）是瑞士著名数学家 欧拉发明的， ei 1 0 是英国科学期刊物理世界评选出的十大最伟大的公式之 一根 i 据欧拉公式可知，复数 e3 的虚部为 3 3 3 3 i A B C D 2 2 2 2 i 3.用反证法证明命题“设 a ，b ，c 为实数，满足 a +b +c =3，则 a ，b ，c 至少有一个数 不小于1”时，要做的假设是 A a ，b ，c 都小于 2 B a ，b ，c 都小于1 C a ，b ，c 至少有一个小于 2 D a ，b ，c 至少有一
3、个小于1 4函数 的导数是 f (x) 2ex sin x 2 A f (x) 4ex cos x B f (x) 4ex cos x C f (x) 8e2 x cos x D f (x) 8e2 x cos x 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 5. 已知 2 2 ， ， ，依此规律，若 3 3 8 8 15 15 1 b b 9 9 a 2b ，则 的值分别是 a a A79 B81 C100 D 98 6曲线 ( ) 1 3 2 在点 处的切线与坐标轴围成的三角面积为 f x x x (2, f (2) 3 3 3 A 6 B C3 D12 2 7函数 f (x) 3 xln x
4、 的单调递减区间是 1 1 1 (1 , ) A B C D ( ,e) (0, ) ( , ) e e e e 8. 2018 年 4 月,中国诗词大会第三季总决赛如期举行,依据规则,本场比赛共有甲、乙、丙、 丁、戊五位选手有机会问鼎冠军,某家庭中三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现, 结合自己的判断,对本场比赛的冠军进行了如下猜测: 爸爸:冠军是甲或丙；妈妈:冠军一定不是乙和丙；孩子:冠军是丁或戊. 比赛结束后发现:三人中只有一个人的猜测是对的,那么冠军是 A甲 B丁或戊 C乙 D丙 x x 2 f (x) 9函数 的大致图象是 e x A B C D 10. 用长为 30 cm的钢条
5、围成一个长方体形状的框架（即 12条棱长总和为 30cm），要求长 方体的长与宽之比为 3：2，则该长方体最大体积是 A24 B15 C12 D6 x1x2 1 11若 ，则 x e x e x e x e x x x x x x x x 2 ln 1 1 ln 2 A. 1 2 B. C. D. 1 2 2 1 2 1 x x x x 2 ln 1 1 ln 2 12对x 0，不等式 ln x a ex 2 恒成立，则实数 的取值范围为 a x 2 (,2 e) ( , 2 A.( , ) B. C. D. (,2 e e e 第 IIII卷（非选择题共 9090分） 2 二、填空题：本大题
6、共 4 4 小题，每小题 5 5 分，共 2020分把答案填在答题卡相应位置 13若复数 z (m 1) (m 2)i 对应的点在直线 x y 1 0 上，则实数 m 的值是_ 14在极坐标系中，已知两点 A(3, ) ， B(4, ) ，则 A，B 两点间的距离为_ 3 6 15设等边A ABC 的边长为 a ， P 是A ABC 内的任意一点，且 P 到三边 AB 、 BC 、CA 的 d d d a d d d 3 距离分别为 、 、 ，则有 为定值 ；由以上平面图形的特性类比 1 2 3 1 2 3 2 空间图形：设正四面体 ABCD 的棱长为 3， P 是正四面体 ABCD 内的任意
7、一点，且 P 到 四 个 面 ABC 、 ABD 、 ACD 、 BCD的 距 离 分 别 为 d 、 d 、 d 、 d ， 则 有 1 2 3 4 d d d d 1 2 3 4 为定值_ 16已知函数 ( ) 3 3 2 1 ，其中 是自然对数的底数若 ， f x x x e e f (a) f (a2 2) 0 x e x 则实数 a 的取值范围是_ 三、解答题：本大题共 6 6 小题，共 7070分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17(本小题满分 10 分) 在极坐标系下，已知圆C ： cos sin 和直线l : x y 2 0 ， （ ）求圆C 的直角坐标方程和直线l 的
8、极坐标方程； （ ）求圆C 上的点到直线l 的最短距离 18(本小题满分 12 分) （ ）已知 m R ，复数 z (m2 4m 5) (m2 2m 15)i 是纯虚数，求 m 的值； （ ）已知复数 z 满足方程 z (z 2)i=0 ，求 z 及 z 2i 的值 3 19(本小题满分 12 分) 设函数 f (x) x3 6x 5, x R， （ ）求 f (x) 的单调区间； （ ）若关于 x 的方程 f (x) a 有 3 个不同实根，求实数 a 的取值范围. 20(本小题满分 12 分) 1 已知函数 ， f (x) 4x 2 （ ）分别求 f (0) f (1) ， f (1)
9、f (2) ， f (2) f (3) 的值； （ ）由上题归纳出一个一般性结论，并给出证明 21(本小题满分 12 分) 已知函数 f (x) ln x ， g(x) a(x2 x)(a 0,a R)， h(x) f (x) g(x) （ ）若 a 1，求函数 h(x) 的极值； （ ）若函数 y h(x)在1,) 上单调递减，求实数 a 的取值范围 22(本小题满分 12 分) 设函数 f (x) ex ax 2 （ ）求 f (x) 的单调区间； （ ）若 a 1， k 为整数，且当 x 0 时， (x k) f (x) x 1 0 ，求 k 的最大值 4 2018-20192018-2
10、019学年宁德市部分一级达标中学第二学期期中联合考试 高二数学（文科）试题答案 一、选择题：本小题共 1212小题，每小题 5 5 分，共 6060分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B B C D A B D C B A C 12解析：分离参数得 a xln x ex2 2x ，令 h(x) xln x ex2 2x ， h x (0,) (1) 0 ) ln 2 1 h (x x ex 在 单调递增，且 ， e x (1 ,) , h( 1 2 2 所以 h(x) 在 (0 )单调递减， x 单调递增， x)min ， a ，选 C e e e e 二
11、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题 5 5 分，共 2020分 13 1 145 15 6 16 (2,1) 三解答题：本大题共 6 6 小题，共 7070分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤 17(本小题满分 10 分) 解：（ ）圆C ： = cos sin ，即 2 = cos sin ， 圆C 的直角坐标方程为： x2 y2 x y ，即 x2 y2 x y 0 ；3 分 直线l : x y 2 0 ，则直线l 的极坐标方程为 cos sin 2 0 6 分 1 1 （ ）由圆C 的直角坐标方程为 x2 y2 x y 0 可知圆心C 坐标为 ， , 2 2 1 1 2 2 2 2
12、 圆心C 到直线的距离为 ， 8 分 1 (1) 2 2 2 因此圆C 上的点到直线l 的最短距离为 10 分 2 18(本小题满分 12 分) 2 或 m 4m 5 0 m 5 m 1 解：（ ）当 ， m 2m 15 0 2 m 5 且m 3 4 分 5 解得 m 1时， z 为纯虚 数. 6 分 （ ） z 2i 2i(1 i) 1 i 1 i (1 i)(1 i) ， 8 分 从 而 z 1 i ， 10 分 所 以 z 2i (1 i) 2i 1 i 2 12 分 19(本小题满分 12 分) 解 ： （ ） 令 得 f x x2 f (x) 0, ( ) 3( 2), x x 1
13、2, 2 2 ， 2 分 当 x 2 或 x 2 时， f (x) 0；当 2 x 2 时， f (x) 0 ； 4 分 f (x) 的 单 调 递 增 区 间 是 (, 2) ， ( 2,) ； 单 调 递 减 区 间 是 ( 2,2) . 6 分 （ ） 当 x 2, f (x) 有 极 大 值 5 4 2 ； 当 x 2, f (x) 有 极 小 值 5 4 2 ； 9 分 由 y f (x)的图像性质可知：当5 4 2 a 5 4 2 时，直线 y a 与 y f (x) 的图象 有 3 个 不 同 交 点 ， 即 方 程 f (x) 有 三 解. 12分 20(本小题满分 12 分)
14、 解 ： （ ） 1 1 1 1 1 f (0) f (1) = + = + = 4 2 4 2 3 6 2 ； 2 分 0 1 同 理 6 1 1 4 1 1 f (1) f (2)= + = + = 4 2 4 2 9 18 2 -1 2 ； 4 分 1 1 16 1 1 f (2) f (3)= + = + = 4 2 4 2 33 66 2 -2 3 6 分 （ ） 由 此 猜 想 ： 当 x1+x2 =1时 ， f (x ) f (x )= 1 2 1 2 8 分 证明：设 x1+x2 =1，则 1 1 1 1 1 4 2 4 1 x x 1 1 f (x ) f (x )= + =
15、 + = + = + 1 2 x x x 1-x x x x x 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2(4 2） 2(4 2） 2 1 2 1 1 1 1 1 1 ， 故猜想成立 12 分 21(本小题满分 12 分) 解：（ ）根据题意可知 y h(x)的定义域为(0,) ， 1 分 1 (2x 1)(x 1) h (x) 2x 1 x x ， 2 分 故当 x(0,1) 时， h(x) 0, 故 h(x) 单调递增； 3 分 当 x(1,)时， h(x) 0, 故 h(x) 单调递减， 4 分 所以当 x 1时， h(x) 取得极大值 h(1) 0 ，无极小值 （极小值未
16、写扣 1 分） 6 分 ( ) 1 (2 1) （ ）由 h(x) ln x a(x2 x) 得 h x a x ， 7 分 x 若函数 y h(x)在1,) 上单调递减， ( ) 1 (2 1) 0 x 1 此问题可转化为 h x a x 对 恒成立；8 分 x 1 1 1 1 x a ( ) ，只需 9 分 a 2x 1 x(2x 1) 2x2 x 2x x max 2 1 1 1 当 x 1 时， 2x2 x 1 ，则 0 1， ， 11 分 2x x 2x x 2 2 max 7 故 a 1，即 a 的取值范围为1, 12分 22(本小题满分 12 分) 解：（ ）由于 ， 1 分 f
17、 (x) ex a 当 a 0 时， f (x) 0恒成立，故 f (x) 在 R 上单调递增； 2 分 当 a 0 时，令 f (x) 0，得 x lna；令 f (x) 0 ，得 x lna ， 所以 f (x) 在 (,ln a) 上单调递减，在 (ln a,) 上单调递增 4 分 （ ）解法一：由于 a 1，所以 (x k) f (x) x 1 (x k)(ex 1) x 1 故当 x 0 时， (x k)(ex 1) x 1 0 等价于 (x k)ex k 1 5 分 设 g(x) (x k)ex ，则 g (x) ex (x k)ex (x k 1)ex ， 6 分 令 ，得 ；令
18、 ，得 ， g (x) 0 x k 1 g (x) 0 x k 1 所以， g(x) 在 (0,k 1) 上单调递减，在 (k 1,) 上单调递增 7 分 又 x 0 ，当 k 1时， g(x) 在 (0,)上单调递增， 故 x (0,) 时， g(x) g(0) k ，这时显然有 g(x) k 1成立； 8 分 当 k 1时， g(x) 在 (0,k 1) 上单调递减，在 (k 1,) 上单调递增， 故 x (0,) 时， g(x) 在 x k 1处取得最小值 g(k 1) ek1 要使得 (x k)ex k 1（ x 0 ）成立，需 ek 1 k 1 ，即 ek1 k 1 9 分 由（ ）
19、知，函数 h(x) ex x 2在 (0,)单调递增， 而 h(1) 0 ， h(2) 0 ，所以 h(x) 在 (0,)存在唯一的零点， 10分 g (x) (0,) x x 0 (1, 2) 故 在 存在唯一的零点设此零点为 ，则 11分 0 因为 k 为整数，且 k 1，故 k 2 ，即整数 k 的最大值为 2 12分 (x k) f (x) x 1 (x k)(ex 1) x 1 解 法二：由于 a 1，所以 故当 x 0 时， (x k)(ex 1) x 1 0 等价于 x 1 （ ） 6 分 k x 0 e 1 x 8 x 1 xex 1 ex (ex x 2) 令 ，则 7 分
20、g(x) x g x ( ) 1 e 1 x x 2 x 2 (e 1) (e 1) 由（ ）知，函数 h(x) ex x 2在 (0,)单调递增，而 h(1) 0 ， h(2) 0 ， 所以 h(x) 在 (0,)存在唯一的零点，故 g (x)在 (0,)存在唯一的零点 8 分 设此零点为 ，则 x 0 (1, 2) x 0 当 时， ， 单调递减； x x g (x) 0 g(x) (0, ) 0 当 时， ， 单调递增 9 分 x x g (x) 0 g(x) ( , ) 0 x 1 所以 g(x) 在 (0,)上的最小值为 10 分 g(x ) 0 x 0 x 0 e 1 0 又由 g (x ) 0 ，可得 0 2， ex x 0 0 x 1 所以 g(x ) 0 x x 1(2, 3) 11分 0 0 0 (x 2) 1 0 x 1 又由 k （ ）等价于 ，故整数 的最大值为 2 12 分 x 0 k g(x ) k x 0 e 1 9 10