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1、1,8.6 离散系统的时域分析,对于离散系统的z变换理论，如前所述，它仅限于采样值的分析。对于离散系统的性能分析的讨论也只限于在采样点的值。然而，当采样周期T 选择较大时，采样间隔中隐藏着振荡，可能反映不出来，这造成实际连续信号和采样值变化规律不一致，会得出一些不准确的分析结果。因此，必须注意采样周期T是否小于系统的最大时间常数这一问题。只有满足这一点，才会使离散理论分析结果贴近连续信号的变化规律。,2,6.1. s平面与z平面的映射关系 在z变换定义中已经确定了z和s变量之间关系如下 z = eTs 其中s是复变量，可写成s = +j，所以z也是复变量 z = eTs = eT e jT 写
2、成极坐标形式为 z = z e j = eT e jT s的实部只影响z的模，s的虚部只影响z的相角。 s平面与z平面的映射关系为 s平面 映射 z平面 右半平面 z 单位园外 = 虚轴 z = 单位园周 左半平面 z 单位园内,3,s /2,1,4,8.6.2 离散系统的动态性能分析 离散系统的瞬态响应，可以直接由时间响应结果获得，因为采样时刻的值在时间响应中均为已知的，这一点比连续系统直观而且方便。另外，也可以不求时间解，直接在z区域中，通过分析零极点的位置关系而获得,这对系统的设计是方便的。 1、离散系统的时间响应及性能指标求法 由时域解求性能指标的步骤： （1）由离散系统闭环脉冲传递函
3、数(z)，求出输出量的z变换函数,（2）用长除法将上式展成幂级数，通过z反变换求得c*(t) 。,5,例8-25 单位反馈采样系统如图所示，当T=1s，试求单位阶跃响应c*(t)及动态性能指标。,解：根据已知的G(s)求开环脉冲传递函数,（3）由c*(t)给出的各采样时刻的值，直接得出p%、tr、tp 、ts等性能指标。,6,再求闭环脉冲传递函数,C(z) = 0.632z 1 + 1.097z 2 + 1.207z 3 +1.014 z 4 + 0.96z 5 + 0.968 z 6 + 0.99 z 7 + ,c*(t) = 0.632( t T) + 1.097( t 2T) + 1.2
4、07( t 3T) + 1.014( t 4T) + 0.96( t 5T) + 0.968( t 6T) + 0.99( t 7T) + ,7,t,1,c*(t) = 0.632( t T) + 1.097( t 2T) + 1.207( t 3T) + 1.014( t 4T) + 0.96( t 5T) + 0.968( t 6T) + 0.99( t 7T) + ,p% =20.7% tr = 2(s) tp = 3(s) ts = 5(s),连续二阶系统: p% =16.3%，tr = 2.42(s)，tp = 3.6(s)， ts = 5.3(s),8,解：求开环脉冲传递函数,例8
5、-26 在例8-45中，增加零阶保持器，采样系统如图示，T1(s)，r(t)=1(t)，试分析系统的性能指标。,9,再求闭环脉冲传递函数,C(z) = 0.368z 1 + z 2 + 1.4z 3 +1.4z 4 + 1.147z 5 + 0.895z 6 + 0.802z 7 + 0.868z 8 + ,c*(t) = 0.368( t T) + ( t 2T) + 1.4( t 3T) + 1.4( t4T) + 1.147( t 5T) + 0.895( t 6T) + 0.802( t 7T) + 0.868( t 8T) + 0.993( t 9T) + ,10,1,c*(t) =
6、 0.368( t T) + ( t 2T) + 1.4( t 3T) + 1.4( t4T) + 1.147( t 5T) + 0.895( t 6T) + 0.802( t 7T) + 0.868( t 8T) + 0.993( t 9T) + ,p% =40% tr = 2(s) tp = 4(s) ts = 12(s),11,系统极点为单极点,2.闭环极点与动态响应的关系 与连续系统类似，离散系统的结构参数，决定了闭环零极点的分布，而闭环脉冲传递函数的极点在z平面上单位园内的分布，对系统的动态响应具有重要的影响，下面讨论闭环极点与瞬态响应之间的关系。 设系统的闭环脉冲传递函数为,12,
7、（1）正实轴上闭环极点 当0 pr 1时，极点位于单位园内的正实轴上，响应 cr prk为单调收敛，且pr 越靠近原点，其值越小，收敛越快。,13,当 pr 1时，极点位于单位园外正实轴上，响应cr prk为单调发散，且pr 值越大，发散越快。,当pr =1时，极点位于单位园上的正实轴上，响应cr prk = cr 为一常数，是一串等幅脉冲序列；,（2）负实轴上闭环极点 当1 pr 0 时，极点位于单位园上的负实轴上，响应cr prk 为正、负交替的收敛脉冲序列； 当pr 1 时，极点位于单位园外的负实轴上，响应cr prk 为正、负交替的振荡发散脉冲序列； 当pr = 1时，极点位于单位园上
8、的负实轴上，响应cr prk = (1)kcr 为正、负交替的等幅脉冲序列；,14,15,（3）z平面上的闭环共轭复数极点 复数极点总是共轭出现，一般表达式为,16,当 pr 1时，闭环复数极点位于单位园外；对应的瞬态分量振荡发散； 当 pr 1时，闭环复数极点位于单位园内，振荡衰减，且 pr 越小，即复极点越靠近原点，振荡收敛得越快。 当 pr = 1时，闭环复极点位于单位园周上，对应的瞬态分量是等幅振荡的脉冲序列。 以余弦规律振荡的瞬态分量，其振荡角频率与共轭复极点的幅角r有关， r越大，振荡频率越高。所以位于左半单位园内的复极点，瞬态分量的振荡频率要高于右半单位园内的情况，振荡周期包含采
9、样周期T的个数k为,17,例8-27 设离散系统闭环脉冲传递函数的共轭复极点以及负实轴上的极点分布如图所示，其中p1 , p2所具有的相角1 ,2= /4， p3 , p4所具有的相角3 ,4= /2， p5 , p6所具有的相角5 ,6= 2/3， p7所具有的相角7=，试确定相应的各瞬态分量的振荡周期和振荡角频率。并画出瞬态分量变化图形。,解：对 p1 , p2所对应分量的振荡周期为,过渡过程每经过个采样周期形成一个循环。,18,对 p3 , p4所对应分量的振荡周期为,对 p5, p6所对应分量的振荡周期为,19,20,综上分析，闭环脉冲传递函数极点在单位园内，对应的瞬态分量均为收敛的，
10、故系统是稳定的。当闭环极点位于单位园上或单位园外，对应的瞬态分量均不收敛，产生持续等幅脉冲或发散脉冲，故系统不稳定。 为了使离散系统具有较满意的动态过程，极点应尽量避免在左半园内，尤其不要靠近负实轴，以免产生较强烈的振荡。闭环极点最好分布在单位园的右半部，尤为理想的是分布在靠近原点的地方。这样系统反应迅速，过程进行较快。,21,8.6.3 离散系统稳定性分析,离散系统的稳定性，与系统参数及采样参数T等均有关。根据第三章所述，线性系统稳定的主要条件是系统的极点均在s平面左半部，s平面的虚轴就是稳定区域的边界。对于线性离散系统，其拉氏变换式中含有ekTs项，因此分析采样系统在s平面上的极点分布，就
11、不像连续系统那么简单。,1、z域稳定的充分必要条件 根据s平面与z平面的映射关系及闭环极点与动态响应的关系，容易算出离散系统稳定的充分必要条件 系统的闭环特征方程的全部根的模都小于。或者说，全部特征根都位于z平面以原点为园心的单位园内。,22,例8-28 设离散系统如图所示，其中T0.07(秒)，试分析该系统的稳定性。,解：由已知的G(s)可求出开环脉冲传递函数,闭环特征方程为 z2 + 3.5z + 0.5 = 0 z1 = 0.15 z2 = 3.73 因为 z2 1，所以该系统是不稳定的。,23,、代数判据 连续系统中的代数判据(劳斯判据)，是根据特征方程的系数关系判断其根是否在s左半平
12、面，从而确定系统的稳定性。 劳斯判据：特征方程是代数方程 稳定的边界是虚轴，稳定的区域是复平面的左半平面 在离散系统中，在z平面或在s半平面都不能直接引用劳斯判据。 根据复变函数双线性变换公式，引用下列变换：,或,24,或,或,令 z = x + jy w = u + jv,25,当u时，对应w平面虚轴，则有 x2 + y2 = 1 即z平面单位圆。 当u时，w平面右半平面，对应z平面单位圆外。,w,+1,w+1,w1,1,26,例8-29 若已求得采样系统的特征方程式为 3z3 +3z2 + 2z + 1 = 0 试用w平面的劳斯判据判别稳定性。,解：应用w变换，令,由于第一列元素全为正，所
13、以系统稳定。,w3 +7w2 + 7w + 9 = 0 劳斯表为,27,例8-30 利用代数判据分析如图所示二阶离散系统放大系数k和采样周期T对系统稳定性的影响。,解：根据已知的G(s)求开环脉冲传递函数,闭环特征方程为,28,得系统稳定的条件是：,劳斯表为,令,29,4.32,8.17,稳定区,不稳定区,随着采样周期的增大，系统稳定的临界k值减小。由此可见，k和T对系统稳定性都有影响。,30,8.6.4 离散系统的稳态误差 稳态误差也是离散系统分析和设计的一个重要指标。用离散系统理论分析的稳态误差，仍然是指采样时刻的值。与连续系统相类似，离散系统的稳态误差可以由z 域终值定理得到，也可以通过
14、系统的类型划分和典型输入信号两个方面进行分析。 、用终值定理计算稳态误差 采用终值定理计算稳态误差，只要E(z)的极点全部严格位于z平面单位园内。,例8-31 设离散系统如图所示，其中T = 0.1(s)，输入连续信号r(t)分别为1(t)和t，试求离散系统相应的稳态误差,31,解：开环脉冲传递函数,误差脉冲传递函数,32,、用静态误差系数求稳态误差,N = 0,1,2时,分别称为0型、型、型系统。,33,(1)单位阶跃输入时的稳态误差,位置误差系数,34,(2)单位斜坡输入时的稳态误差,速度误差系数,35,(3)单位加速度输入时的稳态误差,加速度误差系数,36,8.7 离散系统的数字校正,为使系统性能达到满意的要求，在离散系统中也可以用串联、并联、局部反馈和复合校正的方式来实现对系统校正。由于离散系统中连续部分和离散部分并存，有连续信号也有断续信号，所以校正方式有两种类型。,、增加连续校正装置,37,、增加断续校正装置,应用断续校正装置改变采样信号的变化规律，以达到系统的要求，通常断续校正装置可以是脉冲网络或数字控制器。,直接数字设计法: 根据离散系统的特点，利用离散控制理论直接设计数字控制器。由于直接数字法比较简单，设计出数字控制器可以实现比较复杂的控制规律，因此更具一般性。,38,8.7.1 数字控制器的脉冲传递函数,脉冲传递函数D(z)的求法,