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1、数学建模与数学实验,微 分 方 程,http:/ 数学建模实例,http:/ 回,http:/ 回,数学建模实例,http:/ MATLAB（ff1）,结 果：u = tg(t-c),http:/ 输入命令: y=dsolve(D2y+4*Dy+29*y=0,y(0)=0,Dy(0)=15,x),结 果 为 : y =3e-2xsin（5x）,To MATLAB（ff2）,http:/ 输入命令 ： x,y,z=dsolve(Dx=2*x-3*y+3*z, Dy=4*x-5*y+3*z,Dz=4*x-4*y+2*z, t)； x=simple(x) % 将x化简 y=simple(y) z=s
2、imple(z),结 果 为：x = (c1-c2+c3+c2e -3t-c3e-3t)e2t y = -c1e-4t+c2e-4t+c2e-3t-c3e-3t+c1-c2+c3)e2t z = (-c1e-4t+c2e-4t+c1-c2+c3)e2t,To MATLAB（ff3）,返 回,http:/ 回,http:/ 两边由xi到xi+1积分，并利用梯形公式，有：,实际应用时，与欧拉公式结合使用：,此即改进的欧拉法,故有公式：,http:/ 龙格-库塔法有二阶公式和四阶公式 线性多步法有四阶亚当斯外插公式和内插公式,返 回,http:/ 令 y1=x，y2=y1,1建立M文件vdp1000
3、m如下： function dy=vdp1000(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=1000*(1-y(1)2)*y(2)-y(1);,2取t0=0，tf=3000，输入命令： T,Y=ode15s(vdp1000,0 3000,2 0); plot(T,Y(:,1),-),3结果如图,To MATLAB（ff4）,http:/ 1建立M文件rigidm如下： function dy=rigid(t,y) dy=zeros(3,1); dy(1)=y(2)*y(3); dy(2)=-y(1)*y(3); dy(3)=-051*y(1)*y(2);,2取
4、t0=0，tf=12，输入命令： T,Y=ode45(rigid,0 12,0 1 1); plot(T,Y(:,1),-,T,Y(:,2),*,T,Y(:,3),+),3结果如图,To MATLAB（ff5）,图中，y1的图形为实线，y2的图形为“*”线，y3的图形为“+”线,返 回,http:/ 0)处的乙舰发射导弹，导弹头始终对准乙舰如果乙舰以最大的速度v0(常数)沿平行于y轴的直线行驶，导弹的速度是5v0，求导弹运行的曲线方程乙舰行驶多远时，导弹将它击中？,解法一（解析法）,http:/ 整理得模型:,To MATLAB(chase1),轨迹图见程序chase1,http:/ func
5、tion dy=eq1(x,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=1/5*sqrt(1+y(1)2)/(1-x);,2 取x0=0，xf=09999，建立主程序ff6m如下： x0=0，xf=09999 x,y=ode15s(eq1,x0 xf,0 0); plot(x,y(:,1),b) hold on y=0:001:2; plot(1,y,b*),结论: 导弹大致在（1，02）处击中乙舰.,To MATLAB(ff6),令y1=y, y2=y1，将方程（3）化为一阶微分方程组,http:/ 解导弹运动轨迹的参数方程,建立M文件eq2m如下： functi
6、on dy=eq2(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=5*(1-y(1)/sqrt(1-y(1)2+(t-y(2)2); dy(2)=5*(t-y(2)/sqrt(1-y(1)2+(t-y(2)2);,取t0=0，tf=2，建立主程序chase2m如下： t,y=ode45(eq2,0 2,0 0); Y=0:001:2; plot(1,Y,-)， hold on plot(y(:,1),y(:,2),*),To MATLAB(chase2),http:/ 结果见图1,导弹大致在（1，02）处击中乙舰，与前面的结论一致,图1,图2,返 回,在chase2m中，按二分法逐步修改
7、tf，即分别取tf=1，05,025,直到tf=021时，得图2,结论：时刻t=021时，导弹在（1，021）处击中乙舰,To MATLAB(chase2),http:/ x=10+20cos t, y=20+5sin t 突然有一只狗攻击他 这只狗从原点出发,以恒定速率w跑向慢跑者,狗的运动方向始终指向慢跑者分别求出w=20,w=5时狗的运动轨迹,1 模型建立,设t 时刻慢跑者的坐标为(X(t)，Y(t)，狗的坐标为(x(t)，y(t),则 X=10+20cos t, Y=20+15sin t. 狗从(0,0)出发, 与导弹追踪问题类似，狗的运动轨迹的参数方程为:,http:/ 模型求解,(
8、1) w=20时,建立文件eq3m如下: function dy=eq3(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=20*(10+20*cos(t)-y(1)/sqrt (10+20*cos(t)-y(1)2+(20+15*sin(t)-y(2)2); dy(2)=20*(20+15*sin(t)-y(2)/sqrt (10+20*cos(t)-y(1)2+(20+15*sin(t)-y(2)2);,取t0=0，tf=10，建立主程序chase3m如下： t0=0;tf=10; t,y=ode45(eq3,t0 tf,0 0); T=0:01:2*pi; X=10+20*cos(T)
9、; Y=20+15*sin(T); plot(X,Y,-) hold on plot(y(:,1),y(:,2),*),在chase3m中，不断修改tf的值,分别取tf=5, 25, 35,至315时, 狗刚好追上慢跑者,To MATLAB(chase3),http:/ function dy=eq4(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=5*(10+20*cos(t)-y(1)/sqrt (10+20*cos(t)-y(1)2+(20+15*sin(t)-y(2)2); dy(2)=5*(20+15*sin(t)-y(2)/sqrt (10+20*cos(t)- y(1)2+(
10、20+15*sin(t)-y(2)2);,取t0=0，tf=10，建立主程序chase4m如下： t0=0;tf=10; t,y=ode45(eq4,t0 tf,0 0); T=0:01:2*pi; X=10+20*cos(T); Y=20+15*sin(T); plot(X,Y,-) hold on plot(y(:,1),y(:,2),*),在chase3m中，不断修改tf的值,分别取tf=20, 40, 80, 可以看出,狗永远追不上慢跑者,To MATLAB(chase4),(2) w=5时,返 回,http:/ 模型反映了在没有人工捕获的自然环境中食饵与捕食者之间的制约关系，没有考虑
11、食饵和捕食者自身的阻滞作用，是Volterra提出的最简单的模型,http:/ function dx=shier(t,x) dx=zeros(2,1); dx(1)=x(1)*(1-01*x(2); dx(2)=x(2)*(-05+002*x(1);,其次，建立主程序sharkm如下： t,x=ode45(shier,0 15,25 2); plot(t,x(:,1),-,t,x(:,2),*) plot(x(:,1),x(:,2),To MATLAB(shark),http:/ 可以猜测： x1（t）与x2（t）都是周期函数,http:/ 考虑人工捕获,设表示捕获能力的系数为e，相当于食饵
12、的自然增长率由r1 降为r1-e，捕食者的死亡率由r2 增为 r2+e,设战前捕获能力系数e=03, 战争中降为e=01, 则战前与战争中的模型分别为:,http:/ 定义上述两个方程.,2建立主程序shark1m求解两方程，并画出两种情况下鲨鱼数在鱼类总数中所占比例 x2(t)/x1(t)+x2(t)的图形.,To MATLAB(shark1),实线为战前的鲨鱼比例，“*”线为战争中的鲨鱼比例,结论：战争中鲨鱼的比例比战前高！,返 回,http:/ 验 作 业,1 一个小孩借助长度为a的硬棒拉(或推)某玩具此小孩沿某曲线行走，计算并画出玩具的轨迹,2 讨论资金积累、国民收入与人口增长的关系 （1）若国民平均收入x与人口平均资金积累y成正比，说明仅当总资金积累的相对增长率k大于人口的相对增长率r时，国民平均收入才是增长的 （2）作出k(x)和r(x)的示意图，分析人口激增会导致什么后果,返 回,http:/