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1、1,第六章 有限长单位冲激响应（FIR）数字滤波器的设计方法(2),http:/ 窗函数设计法,顾名思义，窗函数设计法就是利用加窗技术来设计线性相位FIR滤波器的。 加窗处理是在时域进行的，是一种时域设计方法。 其基本思想是，在给定理想线性相位FIR滤波器的频率响应函数Hd(ej)的前提下，用有限长的一个h(n)去逼近理想的hd(n)。这种逼近可以看成是对hd(n)进行加窗截断处理而得到的。,http:/ Hd(ej)（一般为具有矩阵形状的频率响应特性）。要求设计一个FIR滤波器响应,逼近Hd(ej),是一个无限长序列，若用有限长的h(n)去逼近它就要对hd(n)作加窗截断处理。设所用的窗函数
2、为w(n) 则有,由于,http:/ w(n)=RN(n) 则 h(n)=hd(n)RN(n),思考： hd(n)为线性相位，而要求设计的h(n)也应满足线性相位的要求。回顾上节中关于线性相位FIR Filter的单位样值响应h(n)的约束条件，可知h(n)必须是偶对称的，对称中心应为长度的一半，即(N-1)/2，因而必须要求=(N-1)/2，这样的h(n)才是具有线性相位频率特性的,http:/ h(n) 对应的频率响应函数 H(ej)，并比较 H(ej) 和 Hd(ej) 的异同,由（6-25）式可得,由式（6-30）式可知，H(ej) 逼近 Hd(ej) 的程度关键取决于 W(ej) 即
3、取决于窗函数的频谱特性,http:/ (6-31)、(6-32) 式代入 (6-30) 式可得,(6-33)式说明：实际FIR滤波器的幅度函数 H() 是理想FIR滤波器幅度函数Hd()与窗函数WR()的卷积,下面用图示的方法，说明矩形窗函数设计低通滤波器的H(),http:/ 2、图8(b)表示矩形窗的幅度函数 3、图8(c)表示Hd()和WR()在=c处的卷积情况，可以看到WR(-)的左半部分与Hd()重合而右半部分不重合（对应图8(f)的c点） 4、图8(d)表示Hd()*WR()在=c-2/N处的情况，可以看到WR()的主瓣和左半部分旁瓣与Hd()重合而右半部分旁瓣不与之重合（对应图8
4、(f)的1点） 5、图8(e)表示Hd()*WR()在=c+2/N处的情况，可以看到WR()的左半部分旁瓣与Hd()重合而主瓣和右半部分旁瓣不与之重合（对应图8(f)的2点） 6、图8(f)表示Hd()*WR()对H(0)归一化的结果。其中H(0)为图8(a)和图8(b)相重合部分相加的结果,http:/ 在c两边1=c-2/N和2=c+2/N出现了峰值点和谷底点 在c附近形成了一个过渡带，其中峰值点1到谷值点2的宽度为=4/N 在通带和阻带都产生了波动，形成了波纹。波动的幅度取决于WR()的旁瓣大小，波动快慢取决于旁瓣数量。,由图可见，通过加窗处理，将理想的低通特性图8(a)变成了图8(f)
5、的形式，具体为,http:/ N 来改变上述所提到的波动呢？,答案是：随着 N 值得增大，可以改变窗谱函数的主瓣和旁瓣宽度，即可改变波动的快慢，但 N 增加并不改变主瓣和旁瓣的相对比例，这是因为在主瓣附近，较小时,而主瓣和旁瓣的相对比例是由sinx/x来决定的。故随着N的增加这一比例并不变化，即N的增加并不会改变肩峰的相对值，矩形窗其肩峰的相对值总是8.95% 这种现象通常被称为Gibbs效应或Gibbs振荡 另：随N的增加，过渡带的宽度也会逐渐减小，这是因为=4/N,http:/ 尽量减小窗谱第一旁瓣（最大旁瓣）的相对幅度，也就是将能量尽量集中于主瓣内，这样不仅能使肩峰和波纹减小，也可增大阻
6、带的衰减,http:/ 减小主瓣宽度会减小阻带衰减，增大波纹，但会使过渡带变窄,下面介绍几种工程常用的加窗函数,http:/ 三角形(Bartlett)窗,三角形(Bartlett)窗,对应的窗谱为,http:/ 三角形(Bartlett)窗,当 N 1时,该窗函数的主瓣宽度为8/N，比相应时域长度的矩形窗的主瓣宽度宽一倍,http:/ 汉宁(Hanning)窗(又称升余弦窗),2、汉宁(Hanning)窗(又称升余弦窗),对应的窗谱函数为：,当N1时,http:/ 汉宁(Hanning)窗(又称升余弦窗),W()利用WR()，WR(-2/N)，WR(+2/N)这三个矩形窗谱的旁瓣相互抵消作用
7、，使能量更集中在主瓣，其主瓣宽度也为8/N。,这种旁瓣相互抵消作用见书中P349图79,http:/ 海明(Hamming)窗(改进升余弦窗),对 (6-36) 的升余弦窗加以改进，可以得到旁瓣更小的效果,此时的窗函数为,对应的窗谱函数的幅度函数为,http:/ 海明(Hamming)窗(改进升余弦窗),N1时,这种窗函数可使99.963%的能量集中在窗谱主瓣内，与汉宁窗相比，主瓣宽度同为8/N，但旁瓣幅度更小，旁瓣峰值小于主瓣峰值的1%,http:/ 布拉克曼(blackman)窗,又称二阶升余弦窗,对应的窗谱函数的幅度函数为,此时主瓣宽度为12/N，为矩形窗谱主瓣宽度的三倍，书中P351给
8、出了各种加窗函数的设计效果,http:/ N 来改善最小阻带衰减，最小阻带衰减只由所采用的窗函数形式来决定,http:/ 求解hd(n)=IDTFTHd(ej) 按照设计指标，选择符合要求的窗函数形式及参数N的大小 求所设计的FIR滤波器的单位样值相应h(n)=hd(n)w(n), n=0,1,2,.,N-1 求H(ej)=DTFTh(n)，检验是否符合要求。若不符合，则改变参数N或选择其它窗函数重新设计,窗函数法的优点是简单，有闭式解，比较实用；缺点是通带、阻带的截止频率不易控制,http:/ ，阻带起始频率为st=23103(rad/s) ，阻带衰减不小于-50dB。该低通滤波器对应的模拟
9、低通滤波的幅频特性如图9所示,http:/ (N-1) /2,http:/ Filter的h(n),求H(ej)=DTFTh(n)，看是否满足指标，若不满足，则可改变参数N或窗函数形式重新进行设计和验证,http:/ 频率抽样设计法,与窗函数设计法在时域使h(n)近似逼近hd(n)不同的是，频率抽样法是以频率出发，把给定的理想频率响应Hd(ej)加以等间隔抽样,将Hd(k)作为实际FIR 数字滤波器的频率特性抽样值H(k),由H(k)作IDFT求出有限长序列h(n),http:/ 频率抽样设计法,根据第三章介绍的频率抽样定理可知，由N个频率抽样值H(k)同样可求出FIR Filter的系统函数
10、H(z)和频响函数H(ej)，这个H(z)和H(ej)将逼近Hd(z)和Hd(ej),H(z)的内插公式为,http:/ 频率抽样设计法,由内插公式可以看到，在各抽样点处有H(ej2/N)=H(k)=Hd(k)=Hd(ej2k/N)， 即在各抽样点上，滤波器的实际频率响应是和理想滤波响应数值严格相等的，各抽样点之间的频响会有一定的误差。 误差的大小是和理想滤波器频响的变化有关的。 若Hd(ej)变化缓慢，则误差较小。若Hd(ej)变化剧烈，则误差较大。 如书上P360图7-16的例子所示。 图7-16(a)在c处 Hd(ej)变化剧烈故引入了较大误差，图7-16(b)在c处由于Hd(ej)变化
11、缓慢，故误差较小,http:/ IIR与FIR数字滤波器的比较,IIR滤波器 系统函数的极点可位于单位圆内任意位置，故可用较低的阶数获得高的选择性，所用的存贮单元少，经济高效 但它的相位无法保证是线性相位 而且一般选择性越好，相位的非线性越严重,性能：,FIR滤波器 可以获得严格的线性相位 但由于极点固定在原点，故只能用较高的阶数才能达到好的选择性 对于同样的滤波器指标，FIR滤波器所需的阶数一般是IIR的5-10倍，因此成本较高，且信号的时延较大，故FIR滤波器经常用在要求具有线性相位的场合,http:/ IIR与FIR数字滤波器的比较,结构：,IIR滤波器必须采用递归结构，极点必须位于单位
12、圆内，否则系统将不稳定，这时有限字长的处理会引起寄生振荡 FIR滤波器主要采用非递归结构，不存在稳定性的问题，运算误差也较小。另外FIR滤波器便于采用FFT技术进行相关运算，故运算速度可以快很多,http:/ IIR与FIR数字滤波器的比较,设计：,IIR滤波器可借助模拟滤波器的设计方法，因此一般都有有效的封闭形式的设计公式，计算工作量小，对计算工具要求不高 FIR滤波器一般无封闭形式的设计公式，一般只有计算程序可循，因此对计算工具要求较高,http:/ IIR与FIR数字滤波器的比较,灵活性：,IIR往往由于具有分段常数特性的Filter，如低通、高通、带通、带阻等 FIR就灵活的多，可应用于某些特殊的场合，如构成微分器、积分器、移相器等,总之，FIR与IIR比较起来，各有所长，各有特点，采用何种Filter结构应主要根据应用场合和经济因素上考虑,http:/