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1、试题为高清版 下载可打印 试题为高清版 下载可打印 第一章第一章 数与式数与式 1.1 数与式的运算数与式的运算 1.1绝对值绝对值 绝对值的代数意义 ： 正数的绝对值是它的本身， 负数的绝对值是它的相反数， 零的绝对值仍是零即 ,0, |0,0, ,0. aa aa a a 绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离 两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数之间的ba ab 距离 例 1 解不等式：413xx 解法一：由，得；由，得；01x1x30x3x 若，不等式可变为，1x(1)(3)4xx 即4，解得 x0，24x 又 x1， x0； 若，不等式可变为，
2、12x(1)(3)4xx 即 14， 不存在满足条件的 x； 若，不等式可变为，3x (1)(3)4xx 即4， 解得 x424x 又 x3， x4 综上所述，原不等式的解为 x0，或 x4 解法二 ： 如图 111，表示 x 轴上坐标为 x 的点 P 到坐标为 1 的点 A1x 之间的距离|PA|， 即|PA|x1|； |x3|表示 x 轴上点 P 到坐标为 2 的点 B 之间的 距离|PB|，即|PB|x3| 所以，不等式4 的几何13xx 意义即为 |PA|PB|4 由|AB|2，可知 点P 在点C(坐标为0)的左侧、或点P 在点 D(坐标为 4)的右侧 x0，或 x4 练 习 1若，则
3、 x=_；若，则 x=_.5x4x 2.如果，且，则 b_；若，则 c_.5 ba1a21c 13 A B x04 CD x P |x1| |x3| 图 111 试题为高清版 下载可打印 试题为高清版 下载可打印 3.下列叙述正确的是 _. （1）若，则 （2）若，则 abababab （3）若，则 （4）若，则abababab 4化简：|x5|2x13|（x5） 1.1.2. 乘法公式乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 ； 22 ()()ab abab （2）完全平方公式 222 ()2abaabb 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： （1）立方和公式
4、 ； 2233 ()()ab aabbab （2）立方差公式 ； 2233 ()()ab aabbab （3）三数和平方公式 ； 2222 ()2()abcabcabbcac （4）两数和立方公式 ； 33223 ()33abaa babb （5）两数差立方公式 33223 ()33abaa babb 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明 例例 1 计算： 22 (1)(1)(1)(1)xxxxxx 解法一：解法一：原式= 2222 (1) (1)xxx = 242 (1)(1)xxx = 6 1x 解法二：原式= 22 (1)(1)(1)(1)xxxxxx = 33 (1)(1)
5、xx = 6 1x 例 2 已知，求的值4abc4abbcac 222 abc 解： 2222 ()2()8abcabcabbcac 练 习 1填空： （1）（ ） ； 22 1111 () 9423 abba （2） ；(4m 22 )164(mm) (3 ) 2222 (2)4(abcabc) 2若是一个完全平方式，则等于_ 2 1 2 xmxkk 3.不论，为何实数，的值_ ab 22 248abab （1）总是正数 （2）总是负数 （3）可以是零 （4）可以是正数也可以是负数 1.1.3二次根式二次根式 一般地，形如的代数式叫做二次根式根号下含有字母、且不能(0)a a 试题为高清版
6、下载可打印 试题为高清版 下载可打印 够开得尽方的式子称为无理式. 例如 ，等是无理式， 2 32aabb 22 ab 而，等是有理式 2 2 21 2 xx 22 2xxyy 2 a 1分母（子）有理化 把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化分母（子）有理化为了进行分母（子） 有理化，需要引入有理化因式的概念两个含有二次根式的代数式相乘，如果它 们的积不含有二次根式， 我们就说这两个代数式互为有理化因式， 例如与22 ，与，与，与，等等 一般地，3 aa36362 33 22 33 2 与，与，与互为有理化因式a xxa xbya xbya xba xb 分母有理化的方法是分母和分子
7、都乘以分母的有理化因式， 化去分母中的根 号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中 的根号的过程 在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行， 运算中要运用公式； 而对于二次根式的除法，通常先写(0,0)a bab ab 成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加 减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式 2二次根式的意义 2 a 2 aa ,0, ,0. aa a a 例1将下列式子化为最简二次根式： （1）； （2）； （3）12b 2 (0)a b a 6 4(0)x y x 解： （1）；122
8、3bb （2）； 2 (0)a baba b a （3） 633 422(0)x yxyxy x 例例 2 计算：3(33) 解法一： 3(33) 3 33 3 (33) (33)(33) 3 33 93 3( 31) 6 31 2 解法二解法二： 3(33) 3 33 3 3( 31) 1 31 31 ( 31)( 31) 31 2 例 3 试比较下列各组数的大小： （1）和； （2）和.12111110 2 64 2 26 试题为高清版 下载可打印 试题为高清版 下载可打印 解： （1）， 1211( 1211)( 1211)1 1211 112111211 ， 1110( 1110)(
9、1110)1 1110 111101110 又，12111110 12111110 （2） 2 26(2 26)(2 26)2 2 26, 12 262 26 + + 又 42，2 42，662 . 2 64 2 26 例 4 化简： 20042005 ( 32)( 32) 解： 20042005 ( 32)( 32) 20042004 ( 32)( 32)( 32) 2004 ( 32) ( 32)( 32) 2004 1( 32) 32 例 5 化简：（1）； （2）94 5 2 2 1 2(01)xx x 解：（1）原式 54 54 22 ( 5)2 252 2 (25)2552 （2）
10、原式=， 2 1 ()x x 1 x x ，01x ， 1 1x x 所以，原式 1 x x 例 6 已知，求的值 3232 , 3232 xy 22 353xxyy 解： ， 22 3232 ( 32)( 32)10 3232 xy ， 3232 1 3232 xy 2222 3533()113 1011289xxyyxyxy 试题为高清版 下载可打印 试题为高清版 下载可打印 练 习 1填空： （1）_ _； 13 13 （2）若，则的取值范围是_ _ _； 2 (5)(3)(3) 5x xxxx （3）_ _；4 246 543 962 150 （4）若，则_ _ 5 2 x 1111
11、1111 xxxx xxxx (5)等式成立的条件是_ 22 xx xx 2若，求的值 22 11 1 aa b a ab 3比较大小：2 （填“”，或“”） 354 1.1.分式 1分式的意义 形如的式子，若 B 中含有字母，且，则称为分式分式当 M0 时， A B 0B A B 分式具有下列性质： A B ； AA M BBM AAM BBM 上述性质被称为分式的基本性质 2繁分式 像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式繁分式 a b cd 2 mnp m np 例 1 若，求常数的值 54 (2)2 xAB x xxx ,A B 解： ， (2)()254 2(2)(2)(2)
12、 ABA xBxAB xAx xxx xx xx x 试题为高清版 下载可打印 试题为高清版 下载可打印 5, 24, AB A 解得 2,3AB 例 2 （1）试证：（其中 n 是正整数） ； 111 (1)1n nnn （2）计算：； 111 1 22 39 10 （3） 证明 ： 对任意大于1 的正整数n， 有 1111 2 33 4(1)2n n （1）证明：， 11(1)1 1(1)(1) nn nnn nn n （其中 n 是正整数）成立 111 (1)1n nnn （2）解：由（1）可知 111 1 22 39 10 11111 (1)()() 223910 1 1 10 9 1
13、0 （3）证明： 111 2 33 4(1)n n 111111 ()()() 23341nn ， 11 21n 又 n2，且 n 是正整数， 一定为正数， 1 n1 111 2 33 4(1)n n 1 2 例 3 设，且 e1，2c25ac2a20，求 e 的值 c e a 解：在 2c25ac2a20 两边同除以 a2，得 2e25e20， (2e1)(e2)0， e 1，舍去；或 e2 1 2 e2 试题为高清版 下载可打印 试题为高清版 下载可打印 练 习 1对任意的正整数 n， ()； 1 (2)n n 11 2nn 2 若，则_ 22 3 xy xy x y 3正数满足，求的值,
14、 x y 22 2xyxy xy xy 4计算 1111 . 1 22 33 499 100 习题习题 11 A 组组 1解不等式： (1) ； (2) ；13x327xx (3) 116xx 已知，求的值1xy 33 3xyxy 3填空： （1）_； 1819 (23) (23) （2）若，则的取值范围是_； 22 (1)(1)2aaa （3）_ 11111 1223344556 B 组组 1填空： （1），则_ _； 1 2 a 1 3 b 2 22 3 352 aab aabb （2）若，则_ _； 22 20xxyy 22 22 3xxyy xy 2已知：，求的值 11 , 23 xy
15、 yy xyxy C 组组 1 若，则 a、b 与 0 从小到大的顺序为_. 2ababba 2.计算等于_. 1 a a 3解方程 2 2 11 2()3() 10xx xx 试题为高清版 下载可打印 试题为高清版 下载可打印 4计算： 1111 1 32 43 59 11 5试证：对任意的正整数 n，有 111 1 2 32 3 4(1)(2)n nn 1 4 12 分解因式分解因式 因式分解的主要方法有 ： 十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法， 另外还应了解求根法及待定系数法 1十字相乘法 例 1 分解因式： （1）x23x2； （2）x24x12； （3）； （4） 22 (
16、)xab xyaby1xyxy 解：（1）如图 121，将二次项 x2分解成图中的两个 x 的积，再将常数 项 2 分解成1 与2 的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为3x，就 是 x23x2 中的一次项，所以，有 x23x2(x1)(x2) 说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图 121 中的 两个 x 用 1 来表示（如图 122 所示） （2）由图 123，得 x24x12(x2)(x6) （3）由图 124，得 22 ()xab xyaby()()xay xby （4）xy(xy)11xyxy (x1) (y+1) （如图 125 所示） 2提取公因式法与分组分解
17、法 例 2 分解因式： （1）； （2） 32 933xxx 22 2456xxyyxy 1 2 x x 图 121 1 2 1 1 图 122 2 6 1 1 图 123 ay by x x 图 124 1 1 x y 图 125 试题为高清版 下载可打印 试题为高清版 下载可打印 解： （1）= 32 933xxx 32 (3)(39)xxx 2( 3)3(3)xxx = 2 (3)(3)xx 或 32 933xxx 32 (331)8xxx 3 (1)8x 33 (1)2x 22 (1)2(1)(1) 22 xxx 2 (3)(3)xx （2）= 22 2456xxyyxy 22 2(4
18、)56xyxyy = 2 2(4)(2)(3)xyxyy(22)(3)xyxy 或 = 22 2456xxyyxy 22 (2)(45 )6xxyyxy =(2)()(45 )6xy xyxy =(22)(3)xyxy 3关于 x 的二次三项式 ax2+bx+c(a0)的因式分解 若关于若关于 x 的方程的两个实数根是、， 则二次三项式的方程的两个实数根是、， 则二次三项式 2 0(0)axbxca 1 x 2 x 就可分解为就可分解为. 2 (0)axbxc a 12 ()()a xxxx 例 3 把下列关于 x 的二次多项式分解因式： （1）； （2） 2 21xx 22 44xxyy 解
19、： （1）令=0，则解得， 2 21xx 1 12x 2 12x = 2 21xx( 12)( 12)xx =(12)(12)xx （2）令=0，则解得， 22 44xxyy 1 ( 22 2)xy 1 ( 22 2)xy = 22 44xxyy2(12) 2(12) xy xy 练 习 1多项式的一个因式为_ 22 215xxyy 2分解因式： （1）x26x8； （2）8a3b3； （3）x22x1； （4）4(1)(2 )xyy yx 习题习题 12 1分解因式： （1） ； （2）； 3 1a 42 4139xx （3）； （4） 22 222bcabacbc 22 35294xxyyxy 2在实数范围内因式分解： 试题为高清版 下载可打印 试题为高清版 下载可打印 （1） ； （2）； 2 53xx 2 2 23xx （3）； （4） 22 34xxyy 222 (2 )7(2 ) 12xxxx 3三边，满足，试判定的形状ABCabc 222 abcabbccaABC 4分解因式：x2x(a2a)