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1、试题为高清版 下载可打印 试题为高清版 下载可打印 1984 年全国高中数学联赛试题 第一试 1选择题(本题满分 40 分，每小题答对得 5 分答错得 0 分，不答得 1 分) 集合 S=|argZ=， 为常数在复平面上的图形是( ) 2 Z A射线 argZ=2 B射线 argZ=2 C射线 argZ= D上述答案都不对 下列四个图形的阴影部分(不包括边界)满足不等式 logx(logxy2)0 的是( ) 对所有满足 1nm5 的 m，n，极坐标方程 =表示的不同双曲线条数是( ) 1 1C n mcos A15 B10 C7 D6 方程 sinx=lgx 的实根个数是( ) A1 B2
2、C3 D大于 3 若 a0，a1，F(x)是一个奇函数，则 G(x)=F(x)( + )是 1 ax1 1 2 A奇函数 B偶函数 C不是奇函数也不是偶函数 D奇偶性与 a 的具体数值有关 若 F()=x，则下列等式中正确的是( ) 1x 1 +x AF(2x)=2F(x) BF(x)=F() 1 +x 1x CF(x1)=F(x) DF(F(x)=x 若动点 P(x，y)以等角速度 在单位圆上逆时针运动，则点 Q(2xy，y2x2)的运动方式是 A以角速度 在单位圆上顺时针运动 B以角速度 在单位圆上逆时针运动 C以角速度 2 在单位圆上顺时针运动 D以角速度 2 在单位圆上逆时针运动 若四
3、面体的一条棱长是 x，其余棱长都是 1，体积是 F(x)，则函数 F(x)在其定义域上 A是增函数但无最大值 B是增函数且有最大值 C不是增函数但无最大值 D不是增函数但有最大值 2填充题(本题满分 10 分，每小题 5 分) 如图， AB 是单位圆的直径， 在 AB 上任取一点 D， 作 DCAB， 交圆周于 C， 若点 D 的坐标为 D(x， 0)， 则当 x 时，线段 AD、BD、CD 可以构成 锐角三角形 方程 cos =cosx 的通解是 ，在(0，24)内不相同的解有 x 4 个 试题为高清版 下载可打印 试题为高清版 下载可打印 第二试 1(本题满分 15 分)下列命题是否正确？
4、若正确，请给予证明否则给出反例 若 P、Q 是直线 l 同侧的两个不同点，则必存在两个不同的圆，通过 P、Q 且与直线 l 相切； 若 a0，b0，且 a1，b1，则 logab+logba2 设 A、B 是坐标平面上的两个点集，Cr=(x，y)|x2+y2r2，若对任何 r0，都有 CrACrB，则 必有 AB 2(本题满分 10 分)已知两条异面直线 a、b 所成的角为 ，它们的公垂线 AA的长度为 d，在直线 a、b 上分别取点 E、F，设 AE=m，AF=n，求 EF(A在直线 a 上，A 在直线 b 上) 3 (本题满分15分)如图， 在ABC中， P为边BC上任意一点， PEBA，
5、 PFCA， 若SABC=1， 证明 ： SBPF、 SPCE、SPEAF中至少有一个不小于 (SXYZ表示多边形 XYZ 的面积) 4 9 4(本题满分 15 分) 设 an是 12+22+32+n2的个位数字，n=1，2，3，试证：0.a1a2an是有理数 5(本题满分 15 分) 设 x1，x2，xn都是正数，求证：+x1+x2+xn x 2 1 x2 x 2 2 x3 x 2 n1 xn x 2 n x1 试题为高清版 下载可打印 试题为高清版 下载可打印 1984 年全国高中数学联赛试题解答 第一试 1选择题(本题满分 40 分，每小题答对得 5 分答错得 0 分，不答得 1 分)
6、集合 S=|argZ=， 为常数在复平面上的图形是( ) 2 Z A射线 argZ=2 B射线 argZ=2 C射线 argZ= D上述答案都不对 解：由于 argZ0.2)，故不存在答案 Barg=2，故选 D Z 下列四个图形的阴影部分(不包括边界)满足不等式 logx(logxy2)0 的是( ) 解：当 0y2x0；当 x1 时，得 y2x1选 D 对所有满足 1nm5 的 m，n，极坐标方程 =表示的不同双曲线条数是( ) 1 1C n mcos A15 B10 C7 D6 解 ： 由 e=C ，若表示双曲线，则 e1，由 C 1，可得 m、n 的不同取值为 C =5，C =10，C
7、 =4，C =6，C n m n m 1 5 2 5 1 4 2 4 =3，C =2，共有 6 个不同的值，故选 D 1 3 1 2 方程 sinx=lgx 的实根个数是( ) A1 B2 C3 D大于 3 解：作 y=sinx 及 y=lgx 的图象，当 x10 时，lgx1故二者只在(0，10)内可能有交点经作图可知， 二者在(0，)内有一交点，在(2，3)内有一交点选 C 若 a0，a1，F(x)是一个奇函数，则 G(x)=F(x)(+ )是 1 ax1 1 2 A奇函数 B偶函数 C不是奇函数也不是偶函数 D奇偶性与 a 的具体数值有关 解：G(x)=F(x) ，故 G(x)=G(x)
8、，且 G(x)的定义域是 F(x)的定义域与x|x0，xR的交集， ax+ 1 2(ax1) 为以原点为对称的区域，故选 B 若 F()=x，则下列等式中正确的是( ) 1x 1 + x AF(2x)=2F(x) BF(x)=F() 1 + x 1x CF(x1)=F(x) DF(F(x)=x 解：令 t=，得 x=，即 F(t)=，经一一验证，知 F(2x)=2F(x)，选 A 1x 1 + x 1t 1 +t 1t 1 +t 若动点 P(x，y)以等角速度 在单位圆上逆时针运动，则点 Q(2xy，y2x2)的运动方式是 A以角速度 在单位圆上顺时针运动 试题为高清版 下载可打印 试题为高清
9、版 下载可打印 B以角速度 在单位圆上逆时针运动 C以角速度 2 在单位圆上顺时针运动 D以角速度 2 在单位圆上逆时针运动 解：令 x=cost，y=sint则2xy=sin2t=cos(2t) 3 2 y2x2=cos2t=sin(2t)显然2t 与 t 旋转方向相反故选 C 3 2 若四面体的一条棱长是 x，其余棱长都是 1，体积是 F(x)，则函数 F(x)在其定义域上 A是增函数但无最大值 B是增函数且有最大值 C不是增函数但无最大值 D不是增函数但有最大值 解：定义域为 0a2，即(1x)(1+x)+(1x)2(1+x)2，解得 0x0，b0，且 a1，b1，则 logab+log
10、ba2 设 A、B 是坐标平面上的两个点集，Cr=(x，y)|x2+y2r2，若对任何 r0，都有 CrACrB，则 必有 AB 解：若 PQl，则只能作出一个圆过 P、Q 且与直线 l 相切； 若 a1，0b1，则 logab+logba2； A=(x，y)|x2+y2r2，B=(x，y)|0x2+y2r2，于是 CrACrB 恒成立，但不满足 AB 2(本题满分 10 分)已知两条异面直线 a、b 所成的角为 ，它们的公垂线 AA的长度为 d，在直线 a、b 上分别取点 E、F，设 AE=m，AF=n，求 EF(A在直线 a 上，A 在直线 b 上) 解：EF=(证明见课本)m2+n2+d
11、2 2mncos 3 (本题满分15分)如图， 在ABC中， P为边BC上任意一点， PEBA， PFCA， 若SABC=1， 证明 ： SBPF、 SPCE、SPEAF中至少有一个不小于 (SXYZ表示多边形 XYZ 的面积) 4 9 证明 ： 如图， 三等分 BC于 M、 N， 若点P在BM上(含点 M)， 则由于 PEAB， BC A E F P MN 试题为高清版 下载可打印 试题为高清版 下载可打印 则CPECBA CPCB 于是 SPCE 同理，若 P 在 NC 上(含点 N)， 则 SBPF 2 3 4 9 4 9 若点 P 在线段 MN 上连 EF，设=r( r )，则=1r
12、BP BC 1 3 2 3 CP BC SBPF=r2， SPCE=(1r)2 SBPF+SPCE=r2+(1r)2=2r22r+1=2(r1 2 )2+ 2( - )2+ = 1 2 1 3 1 2 1 2 5 9 于是 SAEPF 4 9 故命题成立 4(本题满分 15 分) 设 an是 12+22+32+n2的个位数字，n=1，2，3，试证：0.a1a2an是有理数 解 由于 12+22+n2的个位数字只与 1 到 n 的个位数字的平方和有关，故只要考虑这些数的个位数字 的平方： 但 121224，329，426，525，626，729，824，921，020(mod 10) a1=1，
13、a2=5，a3=4，a4=0，a5=5，a6=1，a7=0，a8=4，a9=5，a10=5， a11=6，a12=0，a13=9，a14=5，a15=0，a16=6，a17=5，a18=9，a19=0，a20=0 由 a20=0 知，a20k+r=ar(k，rN，0r19，并记 a0=0)，即 0.a1a2an是一个循环节为 20 位数的循环 小数，即为有理数其一个循环节为“15405104556095065900” 5(本题满分 15 分) 设 x1，x2，xn都是正数，求证：+x1+x2+xn x 2 1 x2 x 2 2 x3 x 2 n1 xn x 2 n x1 证明 +x22x1，+x32x2，+x42x3，+x12x1 x 2 1 x2 x 2 2 x3 x 2 3 x4 x 2 n x1 上述各式相加即得 BC A E F P MN